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第 2 讲 立体几何解答题
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
突破二：已知线线角求其它量
突破三：线面角的向量求法
突破四：已知线面角求其它量
突破五：面面角向量求法
突破六：已知面面角求其它量
突破七：点到平面距离
突破八：空间角的最值问题
第二部分：冲刺重难点特训
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
1．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图所示，三棱柱 中， ， ， ，
， ， ，N是AB中点．
(1)若点M是棱 所在直线上的点，设 ， ，当 时，求实数 的值；
(2)求异面直线CB与 所成角的余弦值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：由 ， ，
知 ，
由 ，得 ，所以 ，
即 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
解得 ．
（2）解： ．
因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
故 ，
， ，
故 ，
所以异面直线CB与 所成角的余弦值为 ．
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）如图，正方体 的棱长为2, 分别是 的
中点.
(1)求证：点 四点共面；
(2)求异面直线 与 所成的角.
【答案】(1)证明见详解；
(2) ；【详解】（1）
证明：以D为原点，分别以 的方向为 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系.则
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
所以， ，所以，点 四点共面.
（2）由（1）可得， ，又 ，
则， ， .
所以，异面直线 与 所成的角为 .
3．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知 是底面为正方形的长方体， ，
， 为 的中点，
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，四边形 为长方形， 为 中点，又 为 中点， ，
，又 ， 四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）方法一：取 中点 ，连接 ，
分别为 中点， ，
即为异面直线 与 所成角，
平面 ， 平面 ，又 平面 ， ；
， ， ， ， ，
， ， ，
，即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
方法二： ， ， ， ， ；
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ，
，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都
是1，且它们彼此的夹角都是60°， 为 与 的交点.若 ， ， .
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求对角线 的长；
(3)求异面直线 与 夹角的余弦值.
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）连接 ， ， ，如图所示，
∵ ， ， .在 ，根据向量减法法则可得： ，
∵底面 是平行四边形，∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
又∵ 为线段 中点，∴ ，
在 中 .
（2）∵顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 .
∴ ， ，
由（1）可知 ，
∴平行四边形 中，故： ，
，
∴ ，故对角线 的长为 .
（3）∵ ， ，
，
∴
.
所以异面直线 与 夹角的余弦值为 .5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面四
边形 为菱形且 ， ， 为 的中点， 为 的中点.
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：作 于点 ，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图空间
直角坐标系．则 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
即 ，取 ，解得 ；
所以 ， 平面 ，
平面 ；
（2）解：设 与 所成的角为 ，
， ，
，
与 所成角的余弦值为 ；
（3）解：设点 到平面 的距离为 ，
则 为向量 在向量 上的投影的绝对值，
由 ，得 ，
所以点 到平面 的距离为 ．突破二：已知线线角求其它量
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-ABC 中，侧面AABB为正方
1 1 1 1 1
形，AB=BC=2，且 ，E，F分别为AC和CC 的中点，D为棱 上的点．
1
(1)证明： ；
(2)在棱AB 上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不
1 1
存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；M是AB 中点
1 1
【详解】（1）证明：由直三棱柱ABC-ABC 可得 平面 ，且 ，故以 为原点，
1 1 1
， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，设 ，且 ，
则 ， ， ，由 ，
（2）可设 ，且 ，则 ， ， ，
由异面直线MF与AC所成的角为30°可得 ，
整理得 ，即 或 （舍），
所以存在点M，M是AB 中点.
1 1
2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥 的底面是边
长为 的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q： 经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上， 平面OABC，侧棱OP与底面所成角为 ．
(1)求m的值；
(2)若 是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为 ，
写出M、N两点之间的距离 ，并求 的最小值；
(3)是否存在一个实数 ，使得当 取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理
由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：由四棱锥 是底面边长为 的正方形，则 ，
则 ，
所以 ；
（2）解：因为 平面OABC，
所以 即为直线 与平面 所成角的平面角，
即 ，
因为点 到平面OABC的距离为 ，
则点 ，
由 是抛物线Q上的动点，则 ，即 ，
则 ，
令 ，设 ，对称轴为直线 ，
①当 时，即当 时，函数 在 上单调递增，
则 ，此时 ；
②当 时，即当 时，
此时函数 在 取得最小值，
即 ，
此时 ，
综上 ；
（3）解：当 时，此时点 与原点重合，
则直线 与 为相交直线，不符；
当 时，则当 取最小值时， ，
不妨设 ，则 ，
，
则 ，
当异面直线 与 垂直时， ，
即 ，无解，
综上所述，不存在一个实数 ，使得异面直线 与 垂直.
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为
DE的中点，AB=AC= ，BC=4．将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使得平面ADE⊥平面BCED，
1 1
如图2．(1)求证：AO⊥BD；
1
(2)求直线AC和平面ABD所成角的正弦值；
1 1
(3)线段AC上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为 ?若存在，求出 的值；若不存
1
在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3)存在， .
【详解】（1） ，且D，E分别为AB，AC的中点，
所以 ，即 ，又O为DE的中点，
所以 ，
又平面ADE⊥平面BCED，平面ADE 平面BCED ，
1 1
所以 平面BCED，而 平面BCED，
所以AO⊥BD.
1
（2）过点 作 交 于点 ，
因为AB=AC= ，BC=4，所以 ，
， ， ，
以点 为原点，分别以 方向为 轴建立空间直角坐标系如下图所示：则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面ABD的法向量为 ，
1
则有 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，
设直线AC和平面ABD所成角为 ，
1 1
则 ,
所以直线AC和平面ABD所成角的正弦值为 .
1 1
（3）设线段AC上是否存在点F，且 ，
1
， ，
则 ，
因为直线DF和BC所成角的余弦值为 ，
则 ，
即有 ，
解得： 或 （舍）
即点F与点 重合时，直线DF和BC所成角的余弦值为 ，
此时： .
4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）如图①，平面四边形 由直角梯形 和 组
成， ， ， ， .如图②，沿着直线 将直角梯形 折起
至点 和点 重合，点 和点 重合，使得二面角 的大小为 .(1)求点 到直线 的距离；
(2)若点 是线段 上的动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？若存
在，求出 的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由已知得 ， ，则 为二面角 的平面角，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 .
以点 为坐标原点，过点 在平面 内作 的垂线为 轴，以 ， 所在直线分别为 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设 ， 的夹角为 ，则 ，
所以 ，设点 到直线 的距离为d,则 .（2）由（1）得 ，设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 是平面 的一个法向量，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
即 ，
令 ，则 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即 ，解得 或 （舍）.
所以存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，此时 .
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方形 和矩形 所在平面互相垂直， ，
， 是线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；(2)试在线段 上确定一点 ，使 与 所成角是60°.
【答案】(1)证明见解析
(2) 点应在线段 的中点处
（1）
设 ，连接 ，因为 是正方形，所以 是 中点，
又因为 是矩形， 是线段 的中点，所以 , ,
所以四边形 为平行四边形，所以 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）
如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，
依题意设 ，
则 ， ，
因为 ， ， ，
与 所成角是 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，解得 或 （不合题意舍去），
从而 ，因此 点应在线段 的中点处．
6．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ， .(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)设 为棱 上的点，满足异面直线 与 所成的角为 ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【详解】（1） 平面 ， 平面 ，
，
， ， 、 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
；
（2）如图所示，过点 作 于 ，连接 ，
由（1）知， 平面 ，
，
又 ，
平面 ，
即为平面 与平面 所成的角．
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．（3）以 为原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，
异面直线 与 所成的角为 ，
，解得 或 （舍），
．.
突破三：线面角的向量求法
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面
ABCD，四边形ABCD为正方形， ，E，F分别是AD，PB的中点．(1)证明：EF 平面PCD；
(2)求直线PA与平面CEF所成角的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）如图，取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， ， 分别为 ， ， 的中点，
∴ ， ，∴四边形 为平行四边形， ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 .
（2）
如图，以 原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，
， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ， ，所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
因为 ，所以 .
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知正方形 的边长为2，点 分别是边 的中
点，沿着 将 ，折起，使得点 重合为一点 ，得到一个三棱锥
，点 分别是线段 的中点，在折起后的图形中：
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
（2）如图所示建立空间直角坐标系，则有
，设平面 的一个法向量为 ，则令 ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
，又 ，
所以 .
3．（2022·湖北·咸丰春晖学校高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，PD=4，底
面 是边长为2的正方形， 分别为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为底面 是正方形，
所以 .
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）因为 平面 ，所以 .因为底面 是正方形，
所以 .
如图建立空间直角坐标系 .
因为 ，底面 为边长为2的正方形，
所以 ， .
设平面 法向量 ，
由 可得
令 ，则 ，所以
设直线 与平面 所成角为 ，
则
，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .
4．（2022·江西·高二阶段练习）在斜三棱柱 中，点 在底面 的射影为边 的中点，
为正三角形，侧面 与底面 所成角的正切值为2，(1)证明: ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
由题意知： 面 ， 面 ，则 ， ，
又底面 为正三角形，所以 ，故 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间坐标系：
设正三角形 的边长为2， ，过 作 于 ，连接 ，
由 平面 ，所以 ，
又 ， ， 面 ，所以 面 ，
又 平面 ，所以 ，
综上， 为侧面 与底面 所成角的平面角，在 中， ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，故 ；
（2）解：因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，所以 ，令 ，则 ，
设直线 与面 所成角为 ，则 .
5．（2022·山东枣庄·高二期中）四棱锥 底面为平行四边形，且
， 平面 .
(1)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 .若存在，确定 点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)存在点 ，且 ，理由见解析；
(2) .
【详解】（1）存在点 ，且 时 平面 ，理由如下：
连接 相交于点 ，连接 ，则平面 平面 ，
若 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ， ，所以 ， ，
所以 时 平面 ；
（2）因为 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
由 可得 ， ，又 平面 ，
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
设直线 与平面 所成角的为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .突破四：已知线面角求其它量
1．（2022·新疆·伊宁县第二中学高二期中（理））已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，
以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明
直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求线段AM的长，若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)点O在EA的延长线上，且AO＝2，证明见解析
(2)存在；AM＝1或3
【详解】（1）证明：直线MF 平面ABFE，故点O在平面ABFE也在平面ADE内，
所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，如图所示，
⊂
因为AO∥BF，M为AB的中点，
所以 ，
所以OM＝MF，AO＝BF，
所以点O在EA的延长线上，且AO＝2，
连结DF交EC与点N，因为四边形CDEF为矩形，所以点N是EC的中点，
连结MN，因为MN为△DOF的中位线，所以MN∥OD，
又因为MN 平面EMC， 平面EMC，所以直线OD∥平面EMC；
（2）由已知
⊂
可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，AE，DE 平面ADE，
所以EF⊥平面ADE，又EF 平面ABFE，所以平面ABFE⊥平
⊂
面ADE，
取AE的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
⊂则 ，
所以 ，
设 ，则 ，
设平面EMC的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
因为直线DE与平面EMC所成的角为60°，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
故存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°，
当 时， ，又 ，所以 ；
当 时， ，又 ，所以 ．
所以 或3．
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，AB⊥侧面BBC C，已知
1 1 1 1 1
∠BCC = ，BC=1，AB=C C=2，E是棱C C的中点.
1 1 1
(1)求二面角A—EB—A 的余弦值；
1 1(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面ABE所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
1 1
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在， 或 .
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，所以 .
因为 侧面 ，所以 .又因为 平面 ，
所以直线 平面 ，
以 为原点， 和 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则知点 .
设平面 的一个法向量为 ，
因为 所以 令 ，则 ，所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
因为 所以 令 ，则 ，所以 .
因为 ，
所以 .
设二面角 为 ，则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
（2）假设存在点 ，因为 ，所以 ，所以 点坐标为 ，所以 .
由（1）知平面 的一个法向量为 ，
所以 ，得 ，即 ，
所以 或 ，
所以 或 .
3．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱 中，侧棱 ⊥底面 ，
， ， ， ， 为 的中点．
(1)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(2)设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求线段 的长．
【答案】(1) ；
(2) .【详解】（1）由题意得，四棱柱 中， ⊥底面 ， ， ，
∵ 面 ，
∴ ， ，建立空间直角坐标系如下图所示：
， ， 为 的中点
∴ ， ， ， ， ， ， ， ，
，
在面 中，设法向量为 ， ，
∴ ，解得 ，当 时 ，
在面 中，设法向量为 ， ，
∴ ，解得 ，当 时 ，
平面角 与平面 夹角为 ，
，
∴ ，
（2）由题意，（1）及几何知识得，
在四棱柱 中， ， ，
设 ，
∴ ，
在面 中，其中一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为∵直线 与平面 所成角的正弦值是
∴ ，解得 ，
∴ ， .
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）已知四棱锥 中，底面 是矩形，且 ，
是正三角形， 平面 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点．
(1)求平面 与平面 所成角的大小；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的大小为 ，若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）解：因为 是正三角形， 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
因为 且 ， 、 分别为 、 的中点，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， 、 、 、 、 、 、，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，
即平面 与平面 所成的锐二面角得余弦值为 ，
因此平面 与平面 所成的锐二面角为 ；
（2）解：假设线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的大小为 ，
设 ，其中 ，
，
由题意可得 ，
整理可得 ，因为 ，解得 ，
因此在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的大小为 ，且 .
5．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，已知四边形 是边长为 的
正方形，点 在底面 上的射影为底面 的中心 ，点 在棱 上，且 的面积为1.(1)若点 是 的中点，证明：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出点 的位
置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点 为棱 上靠近端点 的三等分点
【详解】（1）证明：∵点 在底面 上的射影为点 ，∴ 平面 ，
∵四边形 是边长为 的正方形，∴ ，
∵ ，∴ ，即： ，
∴ ，又∵ ，点 是 的中点，
∴ ，同理可得： ，
又∵ ，且 平面 ，
∴ 平面 ，又∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）如图，连接 ，易知 ， ， 两两互相垂直，
分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
假设存在点 使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，
∵点 在棱 上，不妨设 ， ，又 ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ，∴ ，
又 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
∴ ，
即 ，解得： 或 （不合题意，舍去），
∴存在点 符合题意，点 为棱 上靠近端点 的三等分点.
6．（2022·河南·高二阶段练习（理））如图，四棱锥 的底面 是矩形， 底面
，点 分别在 上， 且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 或 ．
【详解】（1）依题意，BC，BA，BP两两垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在的直线分别为x，y，z
轴，建立空间直角坐标系 ，如图，设 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
，
，显然 ，即 ，
因此 是平面ABP的一个法向量，而 ，
于是得 ，又 平面ABP，
所以 平面ABP.
（2）由（1）知， ， ， ， ，
设平面ADF的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设直线PA与平面ADF所成角为 ，则 ，
整理得 ，而 ，解得 或 ，
所以 或 ．
7．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
， 平面 ，且 ，点 在棱 上，点 为 中点.(1)证明：若 ，则直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)是否存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请
说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点 ，此时 或
【详解】（1）
如图所示，在线段 上取一点 ，使 ，连接 ， ，
，
，
平面
平面
又 ， ，
，四边形 为平行四边形，
，
平面
平面
又 ，
所以平面 平面 ，
平面 ，
平面 ；（2）
如图所示，以点 为坐标原点，以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
又 是 中点，则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
（3）存在， 或
假设存在点 ，设 ，即 ， ，
由（2）得 ， ， ，且平面 的法向量 ，
则 ， ，
则 ，
，
解得 或 ，故存在点 ，此时 或 .
突破五：面面角向量求法
1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形.
， ，点E是棱PC的中点.
(1)证明：PC⊥BD.
(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1） ，四边形 为菱形，
，又 ， 为等边三角形， ，
， ， ，
， ，
， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
过点 作 ，则 ， ， ，
分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴如图建立空间直角坐标系.
， ， ， ， .
， ， ， ， ，， ，
， .
（2） ， ， 为 中点， ，
设平面 的法向量为 ，
， ，
， .
设平面 的法向量为 ，
， ，
， ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
平面 与平面 所成角的余弦值为 .
2．（2022·全国·高三专题练习）如图， 是三棱锥 的高， ，
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，延长 交 于点 ，连接 ，因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ，又 ， 平面ABC，
所以 ， ，又PA＝PB，所以 ，即 ，
所以 ，则
又 ，所以 ，则 ，
所以在 中，
又 ，所以 ，又 平面PAC， 平面PAC，
所以 平面PAC．
（2）解：过点 作 ，以 为原点， ， 分别为 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
由于 ， ，由（1）知 ，
又 ，则 ，
， ，
又 ，则 ，所以
由正弦定理 得， ，所以
则
设平面 的一个法向量为 ，又 ，则 ，则可取 ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
设锐二面角 的平面角为 ，则 ，
，即二面角 正弦值为 ．
3．（2022·湖北·高二阶段练习）如图1，在梯形 中， ， 于 ，且
，将梯形 沿 折叠成如图2所示的几何体， ， 为直线 上一点，
且 于 ， 为线段 的中点，连接 ， .
(1)证明： ；
(2)若图1中， ，求当四棱锥 的体积最大时，平面 与平面 所成锐角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知得 ， ，且 ， 平面 ,
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
在梯形 中， ，
因为 为线段 的中点，所以 ，故 ，
又因为 ，且 ， 平面 , 所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）过点 作 于点 ，又因为 平面 , 平面 ,所以 ，
又 ， 平面 , 所以 平面 ，
所以线段 的长度为点 到平面 的距离.设 ，则 ，
则四棱锥 的体积 ，
令 ， ， ，
则 时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减，
所以 ，即当 时，四棱锥 的体积最大，此时 ， ，
以点 为坐标原点，直线 ， 分别为 轴、 轴，在平面 内过点 作与 垂直的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则有 ，可取 ，
因为 平面 ，所以 即为平面 的一个法向量，
则 ，故 ，
所以平面 与平面 所成锐角的正弦值为 .
4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形，
， ， ， 、 分别是 、 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图所示：
取 的中点 ，连接 、 .
因为 是 的中点，所以 ，且 .
因为四边形 是矩形，所以 且 ，
所以 ，且 .
因为 是 的中点，所以 ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，所以 、 、 两两垂直.
以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 令 ，得 .
因为 ，则 ，
所以平面 和平面 所成角的正弦值为 .
5．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，
，四边形 是边长为 的菱形， .
(1)证明： ；
(2)若 ，求平面 和平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，因为四边形 为菱形，则 ， ，则 为等边三角形，
因为 为 的中点，则 ，
因为 ， 、 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ， .
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
平面 ，又因为 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 、 、 、 ，
， ，
因为 ，则 ，解得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
，因此，平面 和平面 夹角的余弦值为 .
6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）如图 ，梯形 中， ， ， ，
将 沿对角线 翻折，使点 至点 ，且使平面 平面 ，如图 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，当四面体 体积最大时，求二面角 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， .
（2）取 中点 ，连接 ，
，即 ， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ；
分别为 中点， ， 平面 ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设 ， ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
即 ， ，
；
，即 ， ，
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得最大值，即四面体 体积取得最大值，
此时 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ， ；
二面角 为锐二面角， 二面角 的大小为 .
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图， 为三棱锥 的高，， 在棱 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接OA，延长 交 于点 ，连接PE
由 平面 ，得 ，
，
，又
则 ，又 ，则
设
由 ，可得
又 平面 平面 平面 .
（2）由（1）得 平面 ， ，过点A作 平面 ，
以A为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系如图，设 ，又
则 ，解之得 ，则
则
设平面 和平面 的一个法向量分别为
则 ，令 则 ，则
，令 则 ，则
设二面角 平面角为 ，
则
又 ，则
突破六：已知面面角求其它量
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）如图1，在等腰梯形 中， 分别是 的中点，， ，将 沿着 折起，使得点 与点 重合，平面
平面 ，如图2.
(1)当 时，证明： 平面 ；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 ，所以 是 的中点，
因为 分别是 中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
因为 分别是 的中点，所 ，
因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .
因为 平面 ，且 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .（2）
取 的中点 ，连接 ，
由条件可知，四边形 和 是平行四边形，且 ,
所以 ， ， 是等边三角形，
所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ,
所以 两两垂直，则以 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向建立如图所示的
空间直角坐标系.
因为 ，所以 ， ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
所以 ，解得 .2．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）如图1，在边长为4的菱形 中， ，点 分别
是边 ， 的中点， .沿 将 翻折到 的位置，连接
，得到如图2所示的五棱锥 .
(1)在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 体积最大时，求点 到面 的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？
若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)总有平面 平面 ，证明详见解析
(2)
(3)存在， 是 的中点，理由见解析.
【详解】（1）折叠前，因为四边形 是菱形，所以 ，
由于 分别是边 ， 的中点，所以 ，
所以 ，
折叠过程中， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
（2）当平面 平面 时，四棱锥 体积最大，
由于平面 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，由于 平面 ，所以 ，
由此以 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，故可设 ，
所以 到平面 的距离为 .
（3）存在，理由如下：
， ，
设 ，则 ，
平面 的法向量为 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
故可设 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
由于平面 与平面 所成角的余弦值为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以当 是 的中点时，平面 与平面 所成角的余弦值为 .
3．（2022·浙江·高二阶段练习）如图1，在四边形 中，.将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
(2)若点 在线段 上（点 不与端点重合），平面 与平面 夹角的正弦值为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明： ，且 .
平面 平面 ，且交线为 ，又 平面 ，
平面 ，又 是平面 与平面 的交线，
平面
.
（2）解：由（1）知， 平面 ， 平面 平面 ，且交线为 ，又
平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴､ 轴，过 作 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，设 ，
则 ，
所以 .设 是平面 的法向量，
则 ，取 .
由（1）知， 平面
是平面 的一个法向量.
平面 与平面 夹角的正弦值为
，
，整理得： ，
解得 ，即 .
4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中，
，四边形ACFE为矩形，且 平面 ， ．
(1)求证： 平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为
．
【答案】(1)证明见解析
(2)当点 与点 重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为
【详解】（1）因为四边形 为梯形， ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，即 .
又因为 平面 ， ，则 ，
因为 、 都在平面 内， ，所以 面 .
（2）如图所示，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.设 ， ， ，
则 ， 、 、 .
， ，
设 为平面 的法向量，则有
可得 ，取 ，则 .
由题可知， 是平面 的一个法向量，所以
，
因为 ，所以当 时， ，即 .
所以当点 与点 重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为 .
5．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）在四棱锥 中，底面 是正方形，平面
底面 ， ，E是 的中点．
(1)求证： 面 ；
(2)若 ，则棱PB上是否存在一点F，使得平面 与平面EBD的夹角的余弦值为 ？若存在，请计算出 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 的值为 或0
【详解】（1）连结 交 于 ，连结 .
为正方形， 为 中点，又 为 中点，
.
又 平面EDB， 平面EDB，
平面EDB.
（2） ， ，
即 ， 平面PAD⊥平面ABCD，平面 平面ABCD=AD，
且 平面 ， 平面ABCD.
以 为基底建立空间直角坐标系， ，
设 ， ， 设 ，
， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，
同理可求得平面 的法向量为
由于平面 与平面EBD的夹角的余弦值为 ，
则 ，
解得 或 .
答：存在，且 的值为 或0.6．（2022·山西大同·高二期中）如图，在三棱锥 中，侧面 是等边三角形， ，
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，则在棱 上是否存在动点 ，使得平面 与平面 所成二面角的大小为 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在.M为靠近P三等分点
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
在 中，有 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）不妨设 ，在 中， ，所以 ，
在底面 内作 于点 ，则 两两垂直，
以点 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立空间直角坐
标系，如图所示：则 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，
令 ，可得 ， ，所以 ，
可取平面ABC的一个法向量为 ，
所以 ，
整理可得 ，即 ，解得 或 （舍去）.
所以 ，所以当 时，二面角 的大小为 .
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高三阶段练习（理））如图，直角梯形 中，
，点 为 的中点， 沿着 翻折至 ，点 为 的中
点，点 在线段 上.
(1)证明：平面 平面 ；(2)若平面 平面 ，平面 与平面 所成的锐二面角为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意可得， ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
以 分别为 轴建立空间直角坐标系，不妨设 ，设 ，
，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，
，
同理可求得平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
，解得 ，
所以 的值为 .
突破七：点到平面距离1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））在直棱柱 中，点 为棱 的中点，底面 为
等腰直角三角形，且 ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为三棱柱 为直棱柱，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ，
平面 ，
所以 平面 ；
（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，设 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，
所以 .
2．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）已知：在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱
平面 ，点 为 中点， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【详解】（1）证明： 平面 ， 为正方形，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线
为 轴，以 所在的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系．
由已知可得 ， ， ， ，
为 的中点， ，所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，
又点 为 中点， ，所以 ，
， 平面 ， 平面 ，
又因为 平面 ,故平面 平面 ．
（2）设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ， ，
，设点 到平面 的距离为d，
, 点 到平面 的距离为 ．
3．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）如图，矩形 和梯形 ， ， ，平
面 平面 ，且 ， ，过 的平面交平面 于 ．
(1)求证： ；
(2)当 为 中点时，求点 到平面 的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为矩形 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为过 的平面交平面 于 ，
由线面平行性质定理，得 ；
（2）解：由平面 平面 其交线为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又四边形 为矩形，所以以 为原点，以 为 轴建立如图空间直角坐标系．由 ， ，得 ， ， ，
则 ，
设平面 法向量 ，
则 ，取 得 ．
因为 ，所以点 到平面 的距离 .
4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图1，已知梯形ABCD中， ，E是AB边
的中点， ， ， .将 沿DE折起，使点A到达点P的位置，且
，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因为图1中 ，所以图2中 ， ，又 ，
所以分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，
， .
因为 ， ， ，DE， 平面BCDE，
所以 平面BCDE，所以 是平面BCDE的一个法向量，
设平面MCN的法向量 ，由 得 取 ，则 ， ，所以平
面MCN的一个法向量 ，
设平面MCN与平面BCDE的夹角为 ，则 ，
所以平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值为 .
（2）由（1）知 是平面MCN的一个法向量，
又 ，
所以点P到平面MCN的距离 .
5．（2022·福建福州·高二期中）如图，菱形ABCD中，AB=2， ，P为平面ABCD外一点，且
平面PAD 平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若 为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取PB的中点N，连结MN，AN，MO，
⸪M、N为PC、PB的中点 ⸫ 且
又⸪菱形ABCD，O为AD中点，⸫ 且
⸫ 且 ，⸫四边形 为平行四边形
⸫ ，又 平面 ， 平面
⸫ 平面
（2）连结PO、OC，又⸪菱形 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
⸫ 平面 ，⸪ 为正三角形，⸫ 且
如图建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0， ），A（1，0，0），B（2， ，0），M（0， ， ）
设平面PAB的法向量为 ，则 ，取 且
⸫M到平面 的距离
即点M到平面PAB的距离为
6．（2022·福建南平·高二期中）如图，四边形 为平行四边形，点 在 上， ，且
．以 为折痕把 折起，便点 到达点 的位置，且 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，EB∩EF＝E
平面 ， 平面 ，
∴DE⊥平面BEF，又∵ 平面BCD，
∴平面 平面
（2）由（1）知 平面 ，而 平面 ， ，
∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，
∴ ，
∴FB⊥EB ∵DE∩BE＝E， 平面 ， 平面 ，
∴BF⊥平面BCDE
，则直线 与平面 所成角的正切值为 ，解得 ，
如图所示建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 得 ，
点 到平面 的距离
突破八：空间角的最值问题
1．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥 平面 ，底面 是菱形， ，平面
平面 .
(1)证明： ；
(2)设 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，过点 作 ，垂足为
. 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
平面 .
.
平面 平面 .
又 ， 平面 ，
平面 .（2）由已知及（1）得四边形 是正方形，从而 两两垂直，
以 为 轴正方向如图建立空间直角坐标系.
设 ，则
设 ，则 ，
设平面 的法向量 ，则 即 ，
取 ，则 .即 .
当 时，上式最大为 ，.
所有 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
2．（2022·上海市进才中学高二期中）如图，在四棱锥 中，已知 平面ABCD，且四边形
ABCD为直角梯形， ， ， .(1)证明： ；
(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说
明理由；
(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.
【答案】(1)证明见解析.
(2)存在，线段AM的长为 .
(3)
【详解】（1）由题意，
在四棱锥 中，
⊥面ABCD， , ，
∴ ，
在直角梯形 中， ，
∵ ，
∴
∵
∴
（2）由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，
在四棱锥 中， ，
作出空间直角坐标系如下图所示：由几何知识得， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设 ，则 ,
∴
∴ ，
若AM⊥面PCD
解得：
∴
（3）由题意及（1）（2）得，
， ，
设
∴ ，
设 ， ，
∴
当且仅当 即 时， 最大，为 ，在 中， 上是减函数，
∴ 最大时，直线CQ与DP所成的角最小，
∵ ，
∴ ，
∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为 .
3．（2022·山东潍坊·高二期中）如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形，
分别是线段 的中点，二面角 为直二面角.
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ，由题设知四边形 为菱形， ，
分别为 中点， ；
又 为 中点， ，因为二面角 为直二面角，
即平面 平面 ，平面 平面 平面
平面 ，又 平面 ；
又 平面 平面 .
（2） ，
为等边三角形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 ，
则以 为坐标原点， 所在直线为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ，
设 ，则 ，
；
由（1）知： 平面 平面 的一个法向量 ；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ；
，令 ，则 ；
，
即锐二面角 的余弦值的取值范围为 .
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期中）如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面
为正三角形， 为 的中点， 为线段 上的点.
(1)若 为线段 的中点，求证： //平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值的范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）取 中点为 ，连接 ,
在 中，∵ 为 的中点， 为 中点，
∴ ,
在正方形 中，∵ 为 的中点，∴ ,
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）在正三角形 中， 为 的中点，
∴ ，
当 时，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴AM⊥平面 ，
又∵ 平面PCD，
∴AM⊥DC，
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，
又 平面 ， 平面 ，
∴DC⊥平面PAD，
又∵ 平面PAD，
∴直线PO⊥直线CD，
显然PO⊥AD,AD⊥CD,
∴可以取 的中点 ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（ 为BC的中点），
设AD＝2，则 ， ， ， （ ）， ， ，
，， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ，
设平面PBC的法向量为 ，
，令 ，则 ，
∴ （ ）.
令 ，则 ，
∴ ,设 ，
,
∴ 在 上单调递增，∴ 在 上单调递增，
又∵ ，
∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值的取值范围是 .
5．（2022·山西太原·高二期中）如图，在四棱椎 中，底面 为平行四边形， 平面
，点 分别为 的中点，且 .
(1)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；(2)若直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦
值的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，则 ，即 ，
又因为 平面 ，所以 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，
故 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
.
（2）设 ，则 ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
易得平面 的一个法向量为 ，又 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
即 ，解得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，即 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值的取值范围为 .
6．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）如图①所示，长方形 中， ，
，点 是边 靠近点 的三等分点，将△ 沿 翻折到△ ，连接 ， ，得到图②
的四棱锥 .
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)平面 和平面 夹角余弦值的最小值为
【详解】（1）解：取 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
当平面 平面 时， 点到平面 的距离最大，四棱锥 的体积取得最大值，此时 平面 ，且 ，
底面 为梯形，面积为 ，
则四棱锥 的体积最大值为 ；
（2）解：连接 ，
因为 ，所以 ，
所以 为 的平面角，即 ，
过点 作 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
过 作 于点 ，由题意得 平面 ，
设 , , ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
则 ，令 ，可得： ，
设两平面夹角为 ，
则
令 ，所以 ，则
所以 ，所以当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为 .
7．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知四棱锥 的底面ABCD是平行四边形，侧棱 平
面ABCD，点M在棱DP上，且 ，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出 的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证： 平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且 ，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取
最大值.
【答案】(1)答案见解析.
(2)当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大.
（1）（i）设AC与BD的交点为O，连接PO与AN交于点G，点O为AC中点，点N为PC中点，
PO与AN的交点G为 的重心，
，
又 PO为 在BD边上的中线，
点G也为 的重心，即重心点G在线段AN上.
（ii）
证明：连接DG并延长交PB于点H，连接 ，
点G为 的重心，
，
又 ，
即 ，又MG在平面AMN内，BP不在平面AMN内，
所以PB∥平面AMN.
（2）
四边形ABCD是正方形，且 平面ABCD，
AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点， 方向为x轴正方形建立空间直角坐标系 ，如图所示，则点 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 则 ，
，
设平面AMN的法向量为 ，
则有 ，
化简得： ，
取 则， ，
设直线PA与平面AMN所成角为 ，
则 ，
当 时 的值最大，
即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，最大值为 .
8．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面
平面 为正三角形，E，F分别是 上的动点.(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .
所以
（2）由E，F分别是 的中点，连结 ，所以 ，由（1）知 ，
所以 ，所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角.
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以
所以在平面 中，过点A作 的平行线即为直线l.以C为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直
角坐标系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而
由已知E，F分别是 的中点，所以
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
第二部分：冲刺重难点特训
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥 中， ， ， ，
， 平面 ， 与平面 所成角 ，又 于 ， 于 .(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过 作 ，则四边形 为矩形，
以 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，因为 与平面 所成角 ，
所以 ，所以 ，所以 ,
， ，
设 ，
所以 ，即 ,
因为 ，所以 ,解得 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 .（2）由（1）可知 平面 ，
则 为平面 的一个法向量.
,所以 ,即 ，
又因为 平面 ， 平面 ,所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
则 为平面 的一个法向量.
则
所以二面角 的余弦值为 .
2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，已知 为圆锥 底面的直径，点C在圆锥底面
的圆周上， ， ， 平分 ，D是 上一点，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 ，且 平分 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）取 的中点M，连接 ，则 两两垂直，
以O为坐标原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建立如图空间直角坐标系则 ，， ， ， ，
由（1）知 平面 ，所以 是平面 的一个法向量.
设平面 的法向量 ，
因为 ， ，
则
取 ，则 ，
因此 ，
所以二面角 的正弦值为 .
3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠BAD＝
60°，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，连接EB交AD于点F，如图1.将 沿AD折起，使
得点E到达点P的位置，如图2.
(1)证明：直线 平面BFP；
(2)若∠BFP＝120°，求点F到平面BCP的距离．
【答案】(1)证明过程见详解(2)
【详解】（1）在平行四边形 中，因为 ,
由题意可知： ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
则 ，且 ，
折叠后：因为 ，且 ，
所以 平面 .
（2）由（1）知： 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，
在平面 中过 作 ，垂足为 ，则 平面 ，
所以 即为点 到平面 的距离.
在 中， ， ，由余弦定理可得：
，则 ，
由面积相等可得： ，
所以 ，也即点 到平面 的距离为 .
4．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，在长方体 中，已知
，E为BC中点，连接 ，F为线段 上的一点，且 ．(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接DE．依题意，可作图如下：
由 为 中点，则 ，则 ，∴ ，
即 ，∵ 平面ABCD， 平面ABCD，∴ ．
又 ，∴ 平面 ， 平面 ， 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ，
同理，可知 ，则 ，
∴ ，即 ，∴ ．∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，且 ，∴ 平面 ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则
即 ，令 ，则 ，有 ， ， ，
∴ ，即平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
5．（2022·河南开封·一模（理））如图， 是正三角形，在等腰梯形 中， ，
．平面 平面 ，M，N分别是 ， 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【详解】（1）解：取 的中点 ，连接 ， ，
∵M，N分别是 ， 的中点，∴ ， ，
又∵ 平面ABC， 平面ABC，∴ 平面 ．
又 ，∴ ，同理可得， 平面 ．
∵ 平面MND， 平面MND， ，
∴平面 平面 ．∵ 平面MND，∴ 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ， ．
由已知得 ，∴ 是平行四边形，∴ ．
∵ 是正三角形，∴ ，∵平面 平面 ，
平面 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
设 ， ．
在Rt 中，由 ，解得 ，即 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图所示．
则 ， ， ， ， ，
，由已知易得，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 即
取 ，则平面 的一个法向量为∴ ，
∵二面角 为锐角，∴二面角 的余弦值为 ．
6．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知三棱锥 （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形
为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中：
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如下图所示：
设 的中点为 ，连接 ， ，
由题意得 ， ， ；
在 中， ， 的中点为 ， .又 在 中， ， ， ，
， ；
又 平面 ， 平面 ；
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面
（2）由（1）可知， ， ，
平面 ，即 为直线 与平面 所成的角，
且 ，
所以，当 最短时，即 为 的中点时， 最大；
由图可知，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ；
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，即 ；
易知，平面 的法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，
则
所以，二面角 的余弦值为 .
7．（2022·上海松江·一模）已知 平面 ，(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值大小.
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【详解】（1）∵ 平面 ， 平面 ,∴ ，
又∵ 且 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ,
∴平面 平面 ．
（2）∵ 平面 , 平面 ，则 ,
∴ 即为直线 与平面 所成的角，
， ， ，∴ ﹐
又 平面 ， 平面 ,∴ ，
而 ，∴ ，
∴在 中， ，
又 ，
故线 与平面 所成角的正弦值为 .
8．（2022·全国·模拟预测）如图，在直线三棱柱 中，己知 ， ， ，
D为棱AC的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
连接 ，交 于点O，连接OD，则O为 的中点，
∵D为AC的中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）
由（1）知点 到平面 的距离与点C到平面 的距离相等.
∵ ，D为AC的中点，∴ ，
连接 ，则 ，
∴ .
如图，以D为坐标原点，以DA，BD所在直线分别为x，y轴，以过点D且垂直平面ABC的直线为z轴建
立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，故 ，取 ，则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，取 ，则 ，得 .
∴ ，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
9．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，点 在
底面 内的投影恰为 中点，且 ．
(1)若 ，求证： 面 ；
(2)若平面 与平面 所成的锐二面角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接 ， .已知 ，不妨设 ， .
已知点 在底面的投影落在 中点，所以四棱锥 为正四棱锥，
即 ，
底面 为正方形， ，得 ，同理得 ，
为 的中点， ， ，得 ，
， ，同理可得 ，
平面 ， 平面 ，且 ， 平面 .
（2）如图，过 点做底面垂线，垂足为 中点 .
以 所在直线为 轴，以过 点且与 平行的直线为 轴，以 所在直线为 轴如图建立空间直角坐
标系.
不妨假设底面正方形 的边长为 ， .
因此得 ， ， ， ， ， .
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，解得： ， ， ，故 ；
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，解得： ， ， ，故 ；
由平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
得 ，解得 或 （舍）.得 ， ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
10．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥 中， ，且 ， 为 的
中点，点 在棱 上， ，若 是边长为1的等边三角形，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1） ， 为 中点， ，
又在 中， ， ， ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）如图，在 中，过点 作 的垂线交 于点 ，
由（1）知， ， ，故以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐
标系 ，
则 ， ， ， ， ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，
故直线AD与平面BCE所成角的正弦值为 .
11．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，
， ， .
(1)求证： 平面ABCD；
(2)设 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 时，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取CD的中点E，连接BE，
四边形ABCD为直角梯形， ，且E为CD的中点， 且
，所以，四边形ABED为矩形，
，
，
，
，
， 平面 ， 平面 ， 平面PAD，
平面PAD， ，
， 平面 ， 平面 ， 平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA､AB､AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AB､AD､AP所在直线为x､y､z轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以， ，
设平面PBD的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，得 .
，
设平面PAM的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
，
由于平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 ，
则 ，整理可得 ，
，解得 .
12．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的菱形，
，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 与棱 交于点E.(1)求证： ；
(2)若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面 所
成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；条件③： .
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）在三棱柱 中， ，又 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又面 面 ， 面 ，
所以 .
（2）选①②：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，所以 ，
又面 面 ，面 面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故 .
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选②③：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，故 ，且 ，又 ， .
所以 ，则 .
又 ， 面 ，所以 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故 .
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选①③：取 中点 ，连接 ， .
在 中，因为 ，所以 ，且 ， .
又面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
在 中， ，又 ， ，
所以 ，则 .
由 ， 面 ，则 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故 .
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
13．（2022·天津二中模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
， ．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若点E在棱 上，且 平面 ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)(3)
【详解】（1）证明：因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
因为 ，且 平面
所以 平面 ．因为 平面 ，所以 ．
（2）解：在 中，因为 ，
所以 ，所以 ．
所以，建立空间直角坐标系 ，如图所示．
所以 ，
易知平面 的一个法向量为 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ．
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
（3）解：因为点E在棱 ，所以 ．
因为 ．
所以 ．
又因为 平面 ， 为平面 的一个法向量，
所以 ，即 ，所以 ．
所以 ，所以 ．
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱 中，， ．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)设P是棱 上一点，且 ，求三棱锥 体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
连接 .
三棱柱 中， ， ．
则 ，
则 ，则 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
又 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）
取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴ ，又由（1）知平面 平面 ，平面 平面
则 平面 ，且 ．
则三棱锥 的体积为 ，
则三棱柱 的体积为6，
∵ ，∴在四边形 中， ，
又∵四棱锥 的体积为 ，
∴三棱锥 的体积为 ．
15．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面
平面 为正三角形，E，F分别是 上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .所以
（2）由E，F分别是 的中点，连结 ，所以 ，由（1）知 ，
所以 ，所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角.
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以
所以在平面 中，过点A作 的平行线即为直线l.
以C为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直
角坐标系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而
由已知E，F分别是 的中点，所以
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，则 .设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
16．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
， ， ，点 ， 分别是 ， 上的点，且 ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：如下图，取 的中点 ，取 上一点 ，使得 ，连接 ， ， ．
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， ．
又 ， ，所以 ， ．
因为 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）
如下图，作 交 于点 ．
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ．因为 ， ，
所以 ．又 ，所以四边形 为矩形，所以 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
