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专题 5.2 平行线的判定与性质之八大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】.........................................................1
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】....................................................................................................4
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】.........................................................5
【考点四 添加一条件使两条直线平行】........................................................................................................8
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】................................................................................................9
【考点六 平行线的性质在生活中的应用】..................................................................................................12
【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】..........................................................................................14
【考点八 命题的判定与逆命题】..................................................................................................................21
【过关检测】............................................................................................................................................................22
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】
例题：（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知 ，垂足为 ， ，垂足为
， ，试说明直线 与 平行．
解∶∵ ，垂足为B，垂足为D， (已知)，
∴ ____ ， ____ (_____)
即 ， ，
又∵ (___)，∴ ____= ____(___)，
∴ (___)．
【答案】 、 、垂直的定义、已知、 、 、等量代换、同位角相等，两直线平行．
【分析】根据垂直的性质，平行线的判定求证即可．
【详解】证明：∵ ，垂足为B，垂足为D， (已知)，
∴ ， (垂直的定义)
即 ， ，
又∵ (已知)，
∴ (等量代换)，
∴ (同位角相等，两直线平行)．
故答案为： 、 、垂直的定义、已知、 、 、等量代换、同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．
【变式训练】
1．（2023下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果 ，
求证： ； ．
观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
证明：∵ （已知），
（______________），
∴ （_______________），
又∵ （已知），
∴ （____________）（等式的性质）
∴ （_______________）
又∵ （_____________），
∴ （等式的性质）
∵ （已知），
∴ ，
∴ （___________________________）【答案】对顶角相等；等量代换； ；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线
平行
【分析】根据对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理，进行作答即可．
【详解】证明：∵ （已知），
（对顶角相等），
∴ （等量代换），
又∵ （已知），
∴ （ ）（等式的性质）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
又∵ （邻补角互补），
∴ （等式的性质）
∵ （已知），
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；等量代换； ；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直
线平行．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图， ， 与 互余．
(1) 与 平行吗？为什么？
(2)若 ，则 与 平行吗？为什么？
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【详解】解：（1） ．理由如下：
， ，
与 互余， ，
， ．（2） ．理由如下：
由（1）知 ，
， ，
．
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】
例题：（2022上·广东梅州·八年级校考期末）如图， ， ，垂足分别是 ， ，
．
(1)判断 与 的位置关系；（不需要证明）
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；
（2）根据 可得 ，则 ，即可求证．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
（2）证明： ， ，
（等式的性质），
即 ，
（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角
相等，两直线平行．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线 相交于点O， 平分 ，
平分 ， ，垂足为点H， 与 平行吗？说明理由．【答案】 ，理由见解析
【分析】由 平分 ， 平分 ，可得 ， ，由
，可得 ，即 ，由 ，可得 ．
【详解】解： ，理由如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】
例题：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ，垂足分别为D、
F， ．
求证： ．
（ ）：∵ ， （已知）
∴ （ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）∴ （ ）
∵ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
【答案】证明；垂直的定义； ；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相
等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先根
据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后利用平行线的性质可得 ，
从而利用同角的补角相等可得 ，进而可得 ，最后利用平行线的性质可得 ，
即可解答．
【详解】证明：∵ ， （已知）
∴ （垂直的定义）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∵ （已知）
∴ （同角的补角相等）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，同位角相等）
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，已知 ， ，求证：
．
【答案】见解析，
【分析】本题考查了邻补角，平行线的判定与性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意可得， ，证明 ，进而可得 ，证明 ，进而可证 ．【详解】证明：由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）推理填空：如图： ，
．求证： ．
证明：因为 （已知）， （____________），
得 ，
所以 （____________），
得 ，
因为 （已知），
得 （等量代换），
所以 （____________），
所以 （____________）．
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可求证结论，解题的关键是掌握平
行线的判定及性质．
【详解】证明：因为 （已知）， （对顶角相等），
得 ，
所以 （同位角相等，两直线平行），
得 ，因为 （已知），
得 （等量代换），
所以 （内错角相等，两直线平行），
所以 （两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【考点四 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图：请写出一个条件： ，使 ．理由是：
．
【答案】 内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定即可求解．
【详解】解：可以写一个条件： ；理由如下：
，
∴ （内错角相等，两直线平行），
故答案是： ，内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同
旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，要使 ，需添加的一个条件是 （写出一个
即可）
【答案】【分析】根据同位角相等两直线平行，图中 和 为同位角，所以加上 即可．
【详解】解：∵图中 和 为同位角，
根据同位角相等两直线平行，则加上 ，可得 ．
【点睛】本题比较简单，记住平行线的判定定理即可．
2．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：① ；② ；
③ ；④ ；其中一定能判定 的条件有 （填写所有正确条件的序号）．
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：① ，
，符合题意；
② ，
，故本选项错误；
③ ，
，故本选项正确；
④ ；
，故本选项错误；
故选答案为：①③．
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，点 在同一条直线上，点 在同一条直
线上，连接 ，过点 作 ，已知 ．
(1)求证： ；(2)若 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、利用邻补角求角的度数，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得 ，从而得出 ，从而即可得出 ；
（2）由角平分线的定义可得 ，利用邻补角求出 ，从而得出
，最后由平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
．
；
（2）解： 平分 ，
，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在 中，点 在 边上， 分别交
， 于点 ， ， 平分 ， ，
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质
和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直
线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在 中， ，F、G是 、 上的两点，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【考点六 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图， 的一边 是平面镜， ，点C是
上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜 上的点D反射后沿射线 射出，已知
，要使反射光线 ，则 的度数是 度．
【答案】
【分析】利用平行线的性质，求解即可．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质．【变式训练】
1．（2023下·全国·七年级专题练习）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发
生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行，光线变成 ，点 在射线 上，
，则 ．
【答案】25
【分析】根据平行线的性质知 ，结合图形求得 的度数．
【详解】解： ，
．
，
．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
2．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．
当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板 与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使
，需将电池板 逆时针旋转 度， ．
【答案】
【分析】先根据 与太阳光线互相垂直，得出 ，再根据平行线的性质可得当 时，，即可得出结论．
【详解】解：∵ 与太阳光线互相垂直，
∴ ，
当 时， ，
∴需将电池板 逆时针旋转 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）如图，已知 ， ．点P是射线AM上一动点
（与点A不重合）、BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
(1)求 的度数．
(2)当点P运动到使 时， 的度数是多少？为什么？
(3)当点P运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关
系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)不变，
【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由（1）知 ，再根据角平分线的定义知 、 ，可得
，即 ；（2）由 得 、 ，根据 平分 知 ，从而可计
算；
（3）由 得 、 ，根据 平分 知 ，从而可得
结果．
【详解】（1） ，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
（2） ，
，
，
，
；
由（1）可知： ， ，
，
；
（3）不变， ．
，
， ，
平分 ，
，
．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线 ，且 和 分别交于A、B两点，点P在直
线 上．(1) 之间的关系为 ；
(2)如果点P在A、B两点之间运动时， 之间的关系为 ；
(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时， 之间关系为 ．
【答案】(1)∠3=∠1+∠2；
(2)∠3=∠1+∠2
(3) 或
【分析】本题考查了平行线性质：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两条直线平行．
（1）过点P作 ，如图1，由于 ，则 ，根据平行线的性质得 ， ，所以
；
（2）由（1）中的证明过程，可知 之间的关系不发生变化；
（3）根据题意，画出图形，分点P在 延长线上和点P在 延长线上两种情况；利用平行线的性质可
推出 之间的关系．
【详解】（1）解：如图1，过点P作 ，
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ （已知），
∴ （平行于同一条直线的两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴∠3=∠1+∠2（等量代换）；
故答案为：∠3=∠1+∠2；（2）解：由（1）的证明过程知， 之间的关系不发生变化；
故答案为：∠3=∠1+∠2；
（3）解：过点P作 ，
∵ ，
∴ ；
当点P在 延长线上时，如左图，
则 ，∠1=∠CPQ=∠3+∠4，
∴ ，
即 ；
当点P在 延长线上时，如右图，
∵ ，
∴ ，∠2=∠CPQ=∠3+∠4，
∴ ，
即 ；
综上， 或 ．
故答案为： 或 ．2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如
图1，若 ，点P在 、 内部，探究 ， ， 的关系．小明只完成了（1）的部分
证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点 作 ．
∵ ，
∴____ ____（ ）
∴ ____（ ）
又∵
∴
∴ ________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作 来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图
2，若 ，点P在 、 外部， ， ， 的关系是否发生变化？若发生变化请写出它
们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若 ，如图3，图4，请直接写出小于平角的 ， ， 之间的数量关系．【答案】(1) ； ；平行于同一条直线的两条直线平行； ；两直线平行内错角相等；
(2)
(3) ；
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）首先过点P作 ，根据平行线的性质，可得 ， ，从而证得
；
（2）同（1）的方法可得， ， ，进而即可得出结论；
（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出 ， ， 的关系，即可求解．
【详解】（1）解：过点 作 ．
∵ ，
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行）
∴ （两直线平行内错角相等）
又∵
∴
∴ ．
故答案为： ； ；平行于同一条直线的两条直线平行； ；两直线平行内错角相等； ．
（2）发生变化，应是 ．
证明：如图2，
过点 作 ．
∵ ，∴ （平行于同一条直线的两条直线平行）
∴
又∵
∴
∴ ．
即
（3）如图3，过点 作 ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵
∴
∴ ．
即
如图4，过点 作 ，∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴ ．
即
【考点八 命题的判定与逆命题】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）命题“同角的补角相等”是 命题．写成“如果…那
么…”的形式 ．
【答案】 真 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果．．．那么．．”形式是解
决问题的关键．
把命题的题设和结论，写成“如果．．．那么”的形式即可；
【详解】解：命题“同角的补角相等”是真命题，把命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．那么”
的形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：真；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【变式训练】
1．（2023上·湖南娄底·八年级校考阶段练习）命题“同位角相等”的条件是 结论是
，它是 命题．
【答案】 如果两个角是同位角 那么这两个角相等 假
【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以
写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．据此解答即可．
【详解】解：命题“同位角相等”的条件是“如果两个角是同位角”，结论是“那么这两个角相等”．此
命题是错误的，故是假命题．
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，假
2．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…，那
么…”的形式： ．【答案】如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行
【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
【详解】解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线
平行”．
故答案为：如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行
一、单选题
1．（2023上·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等
C．若 ，则 D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角、同
位角、等式的性质和平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是假命题；
B、两直线平行，同位角一定相等，是假命题；
C、若 ，则 或 ，是假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题；
故选：D．
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，直线a，b被直线c所截， ，
，则∠2的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角．根据平行线的性质可得 ，再根据
，即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上，连接 ，过点
作 ，交直线 于点 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角
相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出 ，结合已知条件
即可求出 的度数．
【详解】解：如图所示，∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．（2023下·七年级课时练习）如图，下列能判定 的条件有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】略
5．（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凹透镜的折射后，折射光线 ，
的反向延长线交于主光轴 上一点P．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】首先求出 和 ，再根据平行线的性质求出 和 即可．
【详解】解：∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定
的条件 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定方法解答即可.
【详解】解：添加 ，则根据同位角相等，两直线平行可得 ；
故答案为： （答案不唯一）.
【点睛】本题考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，
两直线平行；熟练掌握平行线的判定方法是关键.
7．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图， 平分 ， ， ，则
．【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线．熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
由平行线的性质，角平分线的定义可得， ， ，计算求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三
角板画平行线 、 ，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法
的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意， ，得出 ，即可求解．
【详解】解：∵根据题意， ，
∴ ，依据为：内错角相等，两直线平行
故答案为：内错角相等，两直线平行．
9．（2023下·浙江·七年级专题练习）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下
的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示， 垂直于地面 于A， 平行于地面 ，则
°．
【答案】270【分析】过点B作 ，如图，由于 ，则 ，根据两直线平行，同旁内角互补得
，由 得 ，即 ，于是得到结论．本题主要考查了平行线
的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
故答案为：270．
10．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将 的三角尺ADE固定
不动，将含 的三角尺 绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边
互相平行，如图 ：当 时， ，则 （ ）其它所有可能符合条件
的度数为 ．
【答案】 或 或 或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即
可，掌握平行线的性质是解答此题的关键．
【详解】解：当 时， ；当 时， ；
当 时，则： ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ．
故答案为： 或 或 或 ．
三、解答题
11．（2023上·七年级课时练习）如图，已知 于点 于点 ．试说明：
．
解： （已知），（__________）．
同理， ．
（__________），
即 ．
（已知）
_______（___________）．
∴_____ _____（____________）．
【答案】垂直的定义，等量代换， ，等量代换， ， ，内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂直的定义得到 ，推出 ，得到 ，由此证
得 ．
【详解】解： （已知），
（垂直的定义）．
同理， ．
（等量代换），
即 ．
（已知）
（等量代换）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
12．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图， 平分 ， 平分 ，且
求证： ．
证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 平分 （已知），
∴ ______（角的平分线的定义）．∴ （______）．
即 ．
∵ （已知），
∴ ______（______）．
∴ （______）．
【答案】角平分线的定义， ，等式性质， ，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．先根据角平分
线的定义，得到 ，再根据 ，即可得到 ，
进而判定 ．
【详解】证明：∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角的平分线的定义）．
∴ （等式性质）．
即 ．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义， ，等式性质， ，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
13．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，在三角形 中，点D在 上， 交 于点E，点
F在 ， ．
(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的度数．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角
的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定
和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（1）先根据平行线的性质得到 ，再根据 证得 ，根据同位角相等，
两直线平行证得结论；
（2）已知 ，可求得 ，进而求得 ，再利用 证得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
14．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线 ，点 分别在 和
上， ， 平分 ．
(1)试说明： ；
(2)如图2，若 于点 ，请问 与 有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到 ；
（2）依据 ， 可得 ，进而得出 ，再依据 即
可得证．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
，
；
（2）解： ，
理由如下：
， ，
，
，
，
，
，
．
15．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线 上（直角三角
板 和直角三角板 ， ， ， ， ，
），保持三角板 不动，将三角板 绕点C以每秒 的速度顺时针旋转，旋转
时间为t秒，当 与射线 重合时停止旋转．(1)如图②，当 为 的平分线时， ____________；
(2)当 时，求 的度数；
(3)在旋转过程中，当三角板 的 边平行于三角板 的某一边时（不包含重合的情形），直接写
出 的值．
【答案】(1)3
(2)
(3) 的值为15或27或35
【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．
（1）根据角平分线的定义求出 ，然后求出t的值即可；
（2）当 时，旋转角为 ，可求出 ，即可求出 ；
（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．
【详解】（1）解：如图2，∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
（2）当 秒时， 的旋转角度为 ，
即 ，如图，
∴；
（3）①当 时，如图，
此时 与 重合，旋转角度为 ，
∴ ；
②当 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
