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第 2 讲 立体几何解答题
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
突破二：已知线线角求其它量
突破三：线面角的向量求法
突破四：已知线面角求其它量
突破五：面面角向量求法
突破六：已知面面角求其它量
突破七：点到平面距离
突破八：空间角的最值问题
第二部分：冲刺重难点特训
第一部分：重难点题型突破
突破一：异面直线夹角的向量求法
1．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图所示，三棱柱 中， ， ， ，
， ， ，N是AB中点．
(1)若点M是棱 所在直线上的点，设 ， ，当 时，求实数 的值；
(2)求异面直线CB与 所成角的余弦值．
2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）如图，正方体 的棱长为2, 分别是 的
中点.(1)求证：点 四点共面；
(2)求异面直线 与 所成的角.
3．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知 是底面为正方形的长方体， ，
， 为 的中点，
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°， 为 与 的交点.若 ， ， .
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求对角线 的长；
(3)求异面直线 与 夹角的余弦值.
5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面四
边形 为菱形且 ， ， 为 的中点， 为 的中点.
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
突破二：已知线线角求其它量1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-ABC 中，侧面AABB为正方
1 1 1 1 1
形，AB=BC=2，且 ，E，F分别为AC和CC 的中点，D为棱 上的点．
1
(1)证明： ；
(2)在棱AB 上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不
1 1
存在，说明理由．
2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥 的底面是边
长为 的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q： 经过O、A、C三点．点B在y轴正半
轴上， 平面OABC，侧棱OP与底面所成角为 ．
(1)求m的值；
(2)若 是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为 ，
写出M、N两点之间的距离 ，并求 的最小值；
(3)是否存在一个实数 ，使得当 取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理
由．
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC= ，BC=4．将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使得平面ADE⊥平面BCED，
1 1
如图2．
(1)求证：AO⊥BD；
1
(2)求直线AC和平面ABD所成角的正弦值；
1 1
(3)线段AC上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为 ?若存在，求出 的值；若不存
1
在，说明理由．
4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）如图①，平面四边形 由直角梯形 和 组
成， ， ， ， .如图②，沿着直线 将直角梯形 折起
至点 和点 重合，点 和点 重合，使得二面角 的大小为 .
(1)求点 到直线 的距离；
(2)若点 是线段 上的动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？若存
在，求出 的长度；若不存在，请说明理由.
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方形 和矩形 所在平面互相垂直， ，， 是线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)试在线段 上确定一点 ，使 与 所成角是60°.
6．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ， .
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)设 为棱 上的点，满足异面直线 与 所成的角为 ，求 的长.
突破三：线面角的向量求法1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面
ABCD，四边形ABCD为正方形， ，E，F分别是AD，PB的中点．
(1)证明：EF 平面PCD；
(2)求直线PA与平面CEF所成角的度数．
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知正方形 的边长为2，点 分别是边 的中
点，沿着 将 ，折起，使得点 重合为一点 ，得到一个三棱锥
，点 分别是线段 的中点，在折起后的图形中：
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
3．（2022·湖北·咸丰春晖学校高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，PD=4，底面 是边长为2的正方形， 分别为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值.
4．（2022·江西·高二阶段练习）在斜三棱柱 中，点 在底面 的射影为边 的中点，
为正三角形，侧面 与底面 所成角的正切值为2，
(1)证明: ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
5．（2022·山东枣庄·高二期中）四棱锥 底面为平行四边形，且， 平面 .
(1)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 .若存在，确定 点位置；若不存在，说明理由.
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
突破四：已知线面角求其它量
1．（2022·新疆·伊宁县第二中学高二期中（理））已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，
以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明
直线OD∥平面EMC；
(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求线段AM的长，若不存在，请说
明理由．
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，AB⊥侧面BBC C，已知
1 1 1 1 1∠BCC = ，BC=1，AB=C C=2，E是棱C C的中点.
1 1 1
(1)求二面角A—EB—A 的余弦值；
1 1
(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面ABE所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
1 1
若不存在，请说明理由.
3．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱 中，侧棱 ⊥底面 ，
， ， ， ， 为 的中点．
(1)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(2)设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求线段 的长．
4．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）已知四棱锥 中，底面 是矩形，且 ，是正三角形， 平面 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点．
(1)求平面 与平面 所成角的大小；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的大小为 ，若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由．
5．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，已知四边形 是边长为 的
正方形，点 在底面 上的射影为底面 的中心 ，点 在棱 上，且 的面积为1.
(1)若点 是 的中点，证明：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出点 的位
置；若不存在，说明理由.
6．（2022·河南·高二阶段练习（理））如图，四棱锥 的底面 是矩形， 底面，点 分别在 上， 且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
7．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
， 平面 ，且 ，点 在棱 上，点 为 中点.
(1)证明：若 ，则直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)是否存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请
说明理由.
突破五：面面角向量求法1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形.
， ，点E是棱PC的中点.
(1)证明：PC⊥BD.
(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图， 是三棱锥 的高， ，
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正弦值．
3．（2022·湖北·高二阶段练习）如图1，在梯形 中， ， 于 ，且，将梯形 沿 折叠成如图2所示的几何体， ， 为直线 上一点，
且 于 ， 为线段 的中点，连接 ， .
(1)证明： ；
(2)若图1中， ，求当四棱锥 的体积最大时，平面 与平面 所成锐角的正弦值.
4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形，
， ， ， 、 分别是 、 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成角的正弦值.
5．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，，四边形 是边长为 的菱形， .
(1)证明： ；
(2)若 ，求平面 和平面 夹角的余弦值.
6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）如图 ，梯形 中， ， ， ，
将 沿对角线 翻折，使点 至点 ，且使平面 平面 ，如图 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，当四面体 体积最大时，求二面角 的大小．7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图， 为三棱锥 的高，
， 在棱 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
突破六：已知面面角求其它量
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）如图1，在等腰梯形 中， 分别是 的中点，
， ，将 沿着 折起，使得点 与点 重合，平面
平面 ，如图2.
(1)当 时，证明： 平面 ；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.2．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）如图1，在边长为4的菱形 中， ，点 分别
是边 ， 的中点， .沿 将 翻折到 的位置，连接
，得到如图2所示的五棱锥 .
(1)在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 体积最大时，求点 到面 的距离；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？
若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
3．（2022·浙江·高二阶段练习）如图1，在四边形 中，
.将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
(2)若点 在线段 上（点 不与端点重合），平面 与平面 夹角的正弦值为 ，求 的值.4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中，
，四边形ACFE为矩形，且 平面 ， ．
(1)求证： 平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为
．
5．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）在四棱锥 中，底面 是正方形，平面
底面 ， ，E是 的中点．
(1)求证： 面 ；
(2)若 ，则棱PB上是否存在一点F，使得平面 与平面EBD的夹角的余弦值为 ？若存在，
请计算出 的值，若不存在，请说明理由.6．（2022·山西大同·高二期中）如图，在三棱锥 中，侧面 是等边三角形， ，
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，则在棱 上是否存在动点 ，使得平面 与平面 所成二面角的大小为 .
7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高三阶段练习（理））如图，直角梯形 中，
，点 为 的中点， 沿着 翻折至 ，点 为 的中
点，点 在线段 上.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，平面 与平面 所成的锐二面角为 ，求 的值.突破七：点到平面距离
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））在直棱柱 中，点 为棱 的中点，底面 为
等腰直角三角形，且 ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
2．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）已知：在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱
平面 ，点 为 中点， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．3．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）如图，矩形 和梯形 ， ， ，平
面 平面 ，且 ， ，过 的平面交平面 于 ．
(1)求证： ；
(2)当 为 中点时，求点 到平面 的距离；
4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图1，已知梯形ABCD中， ，E是AB边
的中点， ， ， .将 沿DE折起，使点A到达点P的位置，且
，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.5．（2022·福建福州·高二期中）如图，菱形ABCD中，AB=2， ，P为平面ABCD外一点，且
平面PAD 平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
6．（2022·福建南平·高二期中）如图，四边形 为平行四边形，点 在 上， ，且
．以 为折痕把 折起，便点 到达点 的位置，且 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求点 到平面 的距离．突破八：空间角的最值问题
1．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥 平面 ，底面 是菱形， ，平面
平面 .
(1)证明： ；
(2)设 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
2．（2022·上海市进才中学高二期中）如图，在四棱锥 中，已知 平面ABCD，且四边形
ABCD为直角梯形， ， ， .
(1)证明： ；
(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说
明理由；
(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.3．（2022·山东潍坊·高二期中）如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形，
分别是线段 的中点，二面角 为直二面角.
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期中）如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面
为正三角形， 为 的中点， 为线段 上的点.
(1)若 为线段 的中点，求证： //平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值的范围.5．（2022·山西太原·高二期中）如图，在四棱椎 中，底面 为平行四边形， 平面
，点 分别为 的中点，且 .
(1)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦
值的取值范围.
6．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）如图①所示，长方形 中， ，
，点 是边 靠近点 的三等分点，将△ 沿 翻折到△ ，连接 ， ，得到图②
的四棱锥 .
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.7．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知四棱锥 的底面ABCD是平行四边形，侧棱 平
面ABCD，点M在棱DP上，且 ，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
(1)若N是棱PC中点，完成：
（i）画出 的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证： 平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且 ，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取
最大值.
8．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面
平面 为正三角形，E，F分别是 上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.第二部分：冲刺重难点特训
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥 中， ， ， ，
， 平面 ， 与平面 所成角 ，又 于 ， 于 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，已知 为圆锥 底面的直径，点C在圆锥底面
的圆周上， ， ， 平分 ，D是 上一点，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值.3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠BAD＝
60°，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，连接EB交AD于点F，如图1.将 沿AD折起，使
得点E到达点P的位置，如图2.
(1)证明：直线 平面BFP；
(2)若∠BFP＝120°，求点F到平面BCP的距离．
4．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，在长方体 中，已知
，E为BC中点，连接 ，F为线段 上的一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．5．（2022·河南开封·一模（理））如图， 是正三角形，在等腰梯形 中， ，
．平面 平面 ，M，N分别是 ， 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
6．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知三棱锥 （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形
为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中：
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求二面角 的余弦值.7．（2022·上海松江·一模）已知 平面 ，
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值大小.
8．（2022·全国·模拟预测）如图，在直线三棱柱 中，己知 ， ， ，
D为棱AC的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.9．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，点 在
底面 内的投影恰为 中点，且 ．
(1)若 ，求证： 面 ；
(2)若平面 与平面 所成的锐二面角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
10．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥 中， ，且 ， 为 的
中点，点 在棱 上， ，若 是边长为1的等边三角形，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.11．（2022·云南云南·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，
， ， .
(1)求证： 平面ABCD；
(2)设 ，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为 时，求 的值.
12．（2022·北京西城·二模）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的菱形，
，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面 与棱 交于点E.
(1)求证： ；
(2)若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面 所
成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；条件③： .13．（2022·天津二中模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
， ．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若点E在棱 上，且 平面 ，求线段 的长．
14．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱 中，
， ．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)设P是棱 上一点，且 ，求三棱锥 体积．15．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面
平面 为正三角形，E，F分别是 上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
16．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
， ， ，点 ， 分别是 ， 上的点，且 ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ，求三棱锥 的体积．
