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专题 07 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一次函数中的规律探究问题..................................................................................................................1
题型二、一次函数中求线段和最值问题..............................................................................................................4
题型三、一次函数中直线平移的综合问题..........................................................................................................8
题型四、一次函数中分段函数探究问题............................................................................................................12
题型五、一次函数中的新定义型综合问题........................................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一次函数中的规律探究问题
1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ；点 与点
关于直线 对称；过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ；点 与点 关于直线 对称；
过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ；按 此规律作下去，则点 的坐标为 ， 的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴
对称的性质．
先根据题意求出 点的坐标，再根据 点的坐标求出 的坐标，以此类推总结规律便可求出点 、 的
坐标．
【详解】解： 点 坐标为 ，
，
过点 作 轴的垂线交直线于点 ，
∴将 代入 得 ，∴ 点的坐标为 ，
点 与点 关于直线 对称，
，
，
点 的坐标为 ，同理可得 的坐标为 ，
点 与点 关于直线 对称．
故点 的坐标为 ，同理 的坐标为 ，
以此类推便可求出点 的坐标为 ，同理点 的坐标为 ．
故答案为： ， ．
2．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的表达式为 ，点
的坐标为 ，以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；
以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心，
为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，
点 的横坐标是 ．（结果要求最简形式）
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，
作 轴于点 ，依次求出 ，找出规律即可解决．
【详解】解：作 轴于点 ，∵ 均在直线 上，
，
，
，
，
，
，
∴由勾股定理得： ，
，
同理， ，
，
同理， ，
，
即点 的横坐标是 ，
故答案为： ．
题型二、一次函数中求线段和最值问题
3.平面直角坐标系内，已知点 和点 ，点 为 轴上一动点，当 最小时．点 的坐标
为 ．
【答案】
【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，一次函数的实际应用；
作点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接 ，根据轴对称求最短路径的方法可知此时点
P即为 最小时点的位置，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，进而可求点 的坐标．
【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接 ，则 ，
∴ ，
∴ 与x轴的交点P即为 最小时点的位置，
∵ ，
∴
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，解得： ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
4.一次函数 的图象交 轴、 轴分别于点 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，
若 是 上一动点．当 周长最小时， 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称 最短路线问题，由点 ， 的坐标及点 ， 分别是 ， 的中点，可得出点 ， 的坐标，作点 关于 轴的
对称点 ，连接 交 于点 ，此时 周长最小，由点 的坐标可得出点 的坐标，由点 ，
的坐标，利用待定系数法可求出直线 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当
周长最小时 点的坐标．
【详解】解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是 的中点，点 为 的中点，
点 的坐标为(2,0)，点 的坐标为 ．
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 周长最小，如图所示．
点 的坐标为(2,0)，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
当 时， ，
此时点 的坐标为(0,2)．
故答案为： (0,2)．
5.如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为(1,4)和 ，点 是 轴上的一个动点，且 ， ，
三点不在一条直线，上，当 的周长最小时，点 的坐标是 ， 周长的最小值是 ．
【答案】 (0,3)【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查了最短路线问题以及运用待定系数法求函数的解析式，作 点关于 轴对称点 点，连
接 ，交 轴于点 ，根据题意确定点 的位置是解题的关键．
【详解】如图，作 点关于 轴对称点 点，连接 ，交 轴于点 ，
∵ ，
∴两点之间线段最短，则点 即为所求；
∴ ，
∵ ，
则对称点 ，
设 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴ 解析式为 ，
当 时， ，则点 ，
∵ ，
∴ 周长的最小值是 ，
故答案为： ， ．
6.如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
(1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；(2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时， 的值最小，直接写出
最小值．
【答案】(1) ，
(2)当点P运动到 时， 的值最小，最小为
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值；
（1）分别令 、 求解即可；
（2）点 关于x轴的对称点为 ，连接 交x轴相交，当点P运动到 与x轴的交点处时，
连接BP，此时 的值最小，据此求解即可．
【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
∴点C纵坐标为1，
当 时， 解得 ，
∴ ，
当 时， 解得 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）点 关于x轴的对称点为 ，则 ，
连接 交x轴相交，当点P运动到 与x轴的交点处时，
连接BP，此时 的值最小，
设直线 的表达式为
将点 和点 分别代入上式，得
解得 ，
∴直线 的表达式为当 时，解得 ，
∴点P的坐标为
当点P运动到 时， 的值最小，最小值为 ．
题型三、一次函数中直线平移的综合问题
7.在平面直角坐标中，直线 分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作 交x轴于点
C．过点C作y轴的平行线交 于点D．
(1)求线段 与 的长度；
(2)现将线 沿A至C向右平移2个单位长度得线段 （如图），求线段 在整个平移过程中扫过图形
的面积；
(3)试探索在平移过程中，在直线 上是否存在点M，使 是以 为斜边的等腰直角三角形，若存
在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)4
(3)存在， 或
【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、平移性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性
质，添加合适的辅助线求解是解答的关键．
（1）求得点A、B坐标即可求解；
（2）根据平移性质得到线段 在整个平移过程中扫过图形是平行四边形 ，且 ，利用平行四
边形的面积公式求解即可；
（3）设平移距离为b，则 ， ，设 ，利用勾股定理求得 ，则设，分当M在 下方时和当M在 上方时两种情况，利用全等三角形的判定与性质，结合坐
标与图形列方程求的b值即可．
【详解】（1）解：对于 ，
当 时， ，则 ，
∴ ；
当 时，由 得 ，
则 ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
根据平移性质，线段 在整个平移过程中扫过的图形是平行四边形 ，且 ，
∴线段 在整个平移过程中扫过图形的面积为 ；
（3）解：存在．理由如下，
设平移距离为b，则 ， ，
设 ，由题意， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴设 ，
当M在 下方时，如图，过M作 轴，过E作 轴交 于P，过F作 轴交 于
H，则 ，∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得 ，则 ；
当M在 上方时，如图，
同理可证 ， ，
∴ ， ，
解得 ，则 ，
综上，满足条件的点E的坐标为 或 ．
8.在平面直角坐标系中， ， ， ，且 ．(1)直接写出点A，B的坐标及c的值；
(2)如图1，若三角形 的面积为9，求点C的坐标；
(3)如图2，将线段 向右平移m个单位长度得到线段 （点A与D对应，点B与E对应），若直线
恰好经过点C，求m，n之间的数量关系．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
(3)
【知识点】坐标与图形、一次函数图象平移问题、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）由 ，可得 ，计算求解，然后作答即可；
（2）由 ， ，可知 轴，则 ，计算求解，然后作答即可；
（3）待定系数法求直线 的解析式为 ，则平移后的解析式为 ，将
代入得， ，整理即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ， ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 轴，
∴ ，
解得， 或 ，
∴ 或 ；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得 ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴平移后的解析式为 ，
将 代入得， ，整理得， ．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平
移．熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解
题的关键．
题型四、一次函数中分段函数探究问题
9.小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面
的过程．
(1)函数 的自变量 的取值范围是___________．
(2)下表是 与 的几组对应值：
0 1 2 3
1 3
写出表中 的值；
(3)如图，在平面直角坐标系 中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点 ，若 ，则 _________ (填“>”，“=”或“<”)；
②当 时，若对于 的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值，则 的取值范围
是_________．
【答案】(1)全体实数
(2)0
(3)见详解
(4)①<；② 且
【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
（1）由图表可知可以是任意实数；
（2）把 代入 即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可解决问题．
【详解】（1）解：函数 中自变量 可以是任意实数；
故答案为：任意实数；
（2）当 时， ，
∴ ．
（3）函数图象如图所示；
（4）观察该函数图象：
①对于图象上两点 ，若 ，则 ；②当x>2时，若对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，则 的取值
范围是 且 ．
故答案为：① ；② 且 ．
10.探究函数 的图象与性质．
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究：
(1)在函数 中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a …
表格中a的值为________；
(2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象；
(3)结合图象回答下列问题：
①函数的最大值为________；
②写出该函数的一条性质________．
【答案】(1)0
(2)见解析；
(3)①4；②函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）．
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想．
（1）代入x的值即可求出a即可得出答案；
（2）描点，连线即可；
（3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
故答案为：0；
（2）解：描点，画出函数图象如图所示：；
（3）解：根据函数图象可知：
①函数最大值为4；
故答案为：4；
②由图象可知该函数的一条性质：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
故答案为：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）．
11．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是该小组
的探究过程，请补充完整：
(1)列表：
x … 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
其中， ______；
(2)描点并连线；
在下面平面直角坐标系中画出函数 的图象；
(3)根据图象直接写出函数 图象的两条性质．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)①当 时， 随 值的增大而增大，当 时， 随 值的增大而减小；②函数 图象关于直
线 对称（答案不唯一）【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值
【分析】
本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数
的性质．
（1）把 代入函数解析式，求出y的值即可；
（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（3）根据函数图象即可得出结论．
【详解】（1）解：当 时， ．
∴ ，
故答案为：2．
（2）描点、连线，画出函数图象，如图所示．
（3）观察函数图象，可知：
①当 时， 随 值的增大而增大，当 时， 随 值的增大而减小；
②函数 图象关于直线 对称；
③当 时，函数有最小值1．
题型五、一次函数中的新定义型综合问题
12.我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴
一次函数”，如：一次函数 与 的图像都经过 轴上的同一个点 ，所以这两个函
数为“交轴一次函数”，又如一次函数 与 的图像都经过 轴上的同一个点 ，所
以这两个函数为“交轴一次函数”．
(1)一次函数 与 是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，
并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”．
(2)已知一次函数 ， ，若 与 互为“交轴一次函数”，求 的值．
【答案】(1)不是，理由见详解，一次函数 与 是“交轴一次函数”
(2) 与 互为“交轴一次函数”时， 的值为 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）根据一次函数以坐标轴的交点坐标的计算方法，“交轴一次函数”的定义即可求解；（2）根据 与 互为“交轴一次函数”，分类讨论，①当 与 的图像都经过 轴上的同一个点时，即
；②当 与 的图像都经过 轴上的同一个点时，即 ；由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，在 中，令 时， ；令 时， ；
∴一次函数 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ；
同理，一次函数 中，令 时， ；令 时， ；
∴一次函数 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ；
∴一次函数 与 的图像与 轴的交点不同，与 轴的交点不同，
∴一次函数 与 不是“交轴一次函数”；
当 时，则 时， ，
∴一次函数 中，函数值 ，即一次函数 与 的图像都经过 轴上的同一个点
，
∴一次函数 与 是“交轴一次函数”．
（2）解：∵一次函数 ， ，若 与 互为“交轴一次函数”，
①当 与 的图像都经过 轴上的同一个点时，即 ，
∴在 中， ，
∴一次函数 ， 的图像都经过 轴上的同一个点 ，
∴在 中， ，解得， ；
②当 与 的图像都经过 轴上的同一个点时，即 ，
∴在 中， ，
∴一次函数 ， 的图像都经过 轴上的同一个点 ，
∴在 中， ，解得， ；
综上所述， 与 互为“交轴一次函数”时， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义新运算，掌握一次函数图形的性质，一次函数与坐标轴交点的计算
方法代入求值是解题的关键．
13．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线 ， 为常数）是点 的关联直线，点
是直线 的关联点；特别地，当 时，直线 的关联点为 ．
如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．【定义辨析】
（1）直线 的关联点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【定义延伸】
（2）点 的关联直线与直线 交于点 ，求点 的坐标；；
【定义应用】
（3）点 的关联直线与 轴交于点 ， ，求 的值．
【答案】（1）D；（2）C的坐标为 ；（3） 的值为 或 ．
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解；
（2）求出点 的坐标为 ，根据题中所给新定义可得点 的关联直线为 ，联立直线
即可求解；
（3）根据题中所给新定义可得点 的关联直线为 ，则点 ，分两种情况：①当点 在
直线 左侧时，②当点 在直线 右侧时，分别求解即可．
【详解】解：（1） 直线 ， 为常数），点 是直线 的关联点，
直线 的关联点的坐标是 ，
故答案为：D；
（2）直线 ，当 时， ，解得 ，
点 的坐标为 ，
直线 ， 为常数）是点 的关联直线，
点 的关联直线为 ，
联立得 ，解得 ，
的坐标为 ；
（3）点 的关联直线为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
当 时， ，点 的坐标为 ，
①如图1，当点 在直线 左侧时，过点 作 ，交直线 于点 ，过点 作 垂直 轴于点
．
，
，
，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
， ，
的坐标为 ，
把点 代入 得， ；
②如图2，当点 在直线 右侧时，同理可证 ，
， ，
点 的坐标为
把点 代入 得， ，
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点
的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，
正确进行分类讨论是解题的关键．
14．定义：在平面直角坐标系中，将直线 的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的
倍，得到新的直线 ，则称直线 为直线 的“k倍伴随线”．
【定义辨析】
（1）若点 在 上，则下列四个点① 、② 、③ 、 ④ ，在 的 “k 倍伴随
线” 上的点有______（填序号）；
（2）下列函数图像是直线 的“2倍伴随线”的是（ ）；
A． B． C． D．
【定义延伸】
（3）若直线 的“k倍伴随线”记为 ．现给出两个关系式：① ；②
．其中正确是是______（填序号）；
【定义应用】
（4）如图，已知直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点
C，能使 为等腰直角三角形，求k的值．
【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4） 或3．
【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据“k倍伴随线”求解即可；
（2）依据“k倍伴随线”求解即可；（3）先求出直线 与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以 ，得 ，再
将 代入 可得结果；
（4）先求出 ， ，再求出直线 的“k倍伴随线”为 ，
再分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）∵将 横、纵坐标都乘以2，得到 ，
将 横、纵坐标都乘以3，得到 ，
∴在 的“k 倍伴随线” 上的点有② 、 ④ ，
故答案为：②④；
（2）直线 经过 ，将这两点横、纵坐标都乘以2，得 ，
设直线 的“2倍伴随线”关系式为 ，
将 代入得：
，解得： ，
∴直线 的“2倍伴随线”关系式为 ，
故选：B；
（3）直线 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ 经过 ，将这两点横、纵坐标都乘以 ，得 ，
∵直线 的“k倍伴随线”记为 ．
∴将 代入 得： ，
故答案为：②；
（4）直线 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ， ，
设直线 的“k倍伴随线”为 ，
将 横、纵坐标都乘以 ，得到 ， ，
∴ ，
∴直线 的“k倍伴随线”为 ，
为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论：当 且 时，得 ，
∴ ，
∴ ，
当 且 时，得 ，
∴ ，
∴ ，
当 且 时，得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或3
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线 上的动点， ，
是x轴上的两点，则 的最小值为（ ）A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
首先作出点A关于 的对称点 ，从而得到 ，故此 ，由两点之间线段最短
可知 即为所求．
【详解】解：由题意知，作 关于直线 的对称点 ，交y轴于 ，连接 ，则 ，如
图所示：
，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴
∴ ，
由两点之间线段最短可知：当点 、P、B在一条直线上时， 有最小值，
，
∴ ,
在 中， ，利用勾股定理得
，
故选：C．2．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：对于给定的一次函数 （ 为常数，且 ），
把形如 的函数称为一次函数 的“相依函数”，已知一次函数 ，若点
在这个一次函数的“相依函数”图象上，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了求一次函数的函数值，正确理解一次函数的“相依函数”的定义是解题关键．先求出
一次函数 的“相依函数”，再将 代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：一次函数 的“相依函数”为 ，
∵点 在一次函数 的“相依函数”图象上，且 ，
∴ ，
故选：A．
3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图， ，将直线 以每秒2
个单位长度向右平移 秒，当直线 与四边形 有公共点时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线
经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题．
【详解】解：将 代入 得 ，
解得 ，
所以直线l与x轴的交点坐标为 ．
令平移后的直线函数解析式为 ，
当平移后的直线经过点B时， ，
解得 ，
所以此时直线的函数解析式为 ，
则 ．当平移后的直线经过点D时，
，
解得 ，
所以此时直线的函数解析式为 ，
令 得， ，
解得 ，
所以 ，
所以当直线l与四边形 有公共点时，t的取值范围是： ．
故选：A．
4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在过原点的直线 上，以点
O为圆心， 长为半径画弧交直线 于点 ，过点 作 轴交 于点 ；以点O为圆心，
长为半径画弧交直线 于点 ，过点 作 轴交 于点 ；…按此规律，则点 的坐标为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股
定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由 ，则
， ，结合 在直线 上，设 ，可得 ，
则 ，同理可得 ， ， ， ， ， ，最后即
可判断得解．
【详解】解：由题意，∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，代入 ，得 ，∴ ，
∵ 在直线 上，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ （负值舍），
∴ ，
又∵ 轴，
∴ 纵坐标为1，
∴代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ， ， ， ．
∴当 时， ．
故选：C．
二、填空题
5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，直线 与 轴、
轴分别交于点 ， ，点 是直线 上的一个动点，则线段 的最小值为 ．【答案】
【分析】连接 ，过点P作 于点M，根据垂线段最短，当点Q 与点M重合时，取得最小值，利
用三角形面积不变性，列式解答即可．
本题考查了垂线段最短，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握垂线段最短，是解题的关键．
【详解】解：连接 ，过点P作 于点M，根据垂线段最短，
当点Q 与点M重合时，取得最小值，
∵直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，
∴ , ,
∴ ,
∴ ,
∵点 的坐标为 ，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
故答案为： ．
6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，把 放在直角坐标系内，其中 ， ，
点 ， 的坐标分别为 ， ，将 沿 轴向右平移，当点 落在直线 上的点 时，
线段 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时
要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
依据题意，由 ，则 ，又由勾股定理得 ，故 ，又设平移距离为 ，
平移后点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，又点 在直线 上，故
，可得 ，则 ，进而计算可以得解．
【详解】解： ，
，
设平移距离为 ，
平移后点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
又 点 在直线 上，
．
∴ ，
，
线段 的长为 ，
故答案为： ．
7．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 在直线 上，过
点 作 轴于点 ，作等腰直角三角形 （ 与原点O重合），再以 为腰作等腰直角三角
形 ，以 为腰作等腰直角三角形 ；按照这样的规律进行下去，那么 的坐标为【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题
意可得点 在x轴上，且 ，求出 ， ，
，得出规律 ，即可得解．
【详解】解：由题意可得：点 在x轴上，且 ，
∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴直线为 ，
∴ ， ， ，
…，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 （ ）的点叫做
这个函数图像的“ 阶方点”．例如：点 是函数 图像的“ 阶方点”；点 是函数
图像的“2阶方点”．如果 关于 的一次函数 图像的“2阶方点”有且只有一个，那么
的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，新定义，根据题意得到当 时， 经过
或 ；当 时， 经过 或 ；计算即可.
【详解】解：∵ 关于 的一次函数 图像的“2阶方点”有且只有一个，
∴当 时， 经过 或 ，∴ 或 ，
解得： （舍去）或 ；
当 时， 经过 或 ，
∴ 或 ，
解得： （舍去）或 ；
综上所述， 的值为 或 .
故答案为： 或 .
三、解答题
9．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在
坐标轴上．
(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；
(2)若点M在y轴上，求 的最小值；
(3)若点M在x轴，当 最大时，求点M的坐标．
【答案】(1)1，2
(2) 的最小值为 ．
(3)
【分析】（1）根据点 到y轴的距离为 即可得出答案；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 达到最小，且最小为 ，过
点 作 轴的平行线，过点 作 轴的垂直线，两线相交于点 ，然后利用勾股定理求得答案即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，此时 ，那么
达到最大，且最大值为 ，然后用待定系数法求出直线 的解析式，然后
再求出直线 与 轴的交点即可．
【详解】（1）解： 已知点 ， ，
到y轴的距离为 ， 到y轴的距离为2；（2）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，如图所示：
关于 轴对称， ，
， ，
，
取得最小值，且最小值为 ，
过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的垂直线，两线相交于点 ，
，
， ，
， ，
，
的最小值为 ．
（3）解：
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，此时 ，那么
达到最大，且最大值为 ，
关于 轴对称， ，
，
设直线 为 ，代入 ，
，，
直线 为 ，
当 时， ，解得 ，
故 ．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一
次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，已知直线 ： 交 轴于 ，交 轴于
．
(1)求直线 的表达式；
(2)如图2，直线 的表达式为 ，点 为线段 的中点，在直线 上找一点 ，使得
最小，并求出最小值；
(3)如图3，已知点 ，点 为直线 右侧一点，且满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则此时 的值最小，最小值为
(3)
【分析】（1）把 ， 代入 ，即可求解；
（2）如图：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则此时 最小，设 交 于点
，则点 是 的中点，先根据中点坐标公式求出点 的坐标为 ，进而求出直线 的解析式为
，然后求出点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，根据两点之间的距离公式得出
， ，根据勾股定理，列出方程，求出 的值，得出点 的坐
标为 ；先根据中点坐标公式求出点 的坐标为 ，根据两点之间的距离公式求出 的值，即可求解；
（3）作 关于 轴的对称点 ，以 为直角顶点， 为直角边在 右侧作等腰直角三角形 ，
过 作 轴于 ，根据等腰直角三角形的判定和性质推得 ，根据直角三角形两个锐
角互余和等角的余角相等得出 ，根据全等三角形的判定和性质得出 ，
，推得点 的坐标为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ．得出点 的
坐标，结合题意，列出方程，即可求出 的值．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
故直线 的表达式为 ．
（2）解：如图：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则此时 最小，
理由： ，
设 交 于点 ，则点 是 的中点，
∵ ， ，点 为线段 的中点，
∴点 的坐标为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
令 ，则 ，
解得： ，
即点 的坐标为 ；
则 ，设点 的坐标为 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
故点 的坐标为 ；
又∵点 是 的中点，
∴点 的坐标为 ，
∴ ；
即 最小值为 ．
（3）解：作 关于 轴的对称点 ，以 为直角顶点， 为直角边在 右侧作等腰直角三角形
，过 作 轴于 ，如图：
则 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在直线 上，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
∵点 在直线 上，故当 时， ，
即点 的坐标为 ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全
等三角形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图①，直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
直线 ： 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且 ．
(1)直线 的函数表达式为______，(2)点 为直线 上一动点，若有 ，求点 的坐标；
(3)如图②，在 轴负半轴有一点 ， ， ，将直线 平移过点 得直线 ，连接 ，
若点 为直线 上一动点，是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， 或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、含 角的直角三角形的特征、一次函数图象
的平移，熟练掌握相关知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）当 时，得 ，进而可得 ，进而可得 ，再求出 ，利用待定系数法即
可求解；
（2）过点 作 轴垂线交 于点 ，设 ，则 ，根据 得
，进而可求解；
（3）先求出 ，可得 ，进而可得 ，由 ，根据由平移的性质得出直线
的解析式为 ，然后分两种情况分析：当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连
接 并延长交 于点M；当点M在y轴左侧时，过点B作 轴交交 于点M，分别利用一次函数的
性质及平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
解得： ，
，
，
，
，
∵ 在 上，
∴ ，故点 ，将 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ．
（2）解：∵ ， ，
，
∴ ，
过点 作 轴垂线交 于点 ，如图：
设 ，则 ，
，
即：
∴ ，
或 ，
∴ 或 ．
（3）存在，理由如下：
由（1）得： ，令 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
∵将直线 平移过 点得直线 ，直线 的解析式 ，
∴设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接 并延长交 于点M，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，符合题意，
设直线 的函数解析式为 ，将点B、M代入得：
，
解得： ，∴直线 的函数解析式为 ，
联立 ，
解得： ，
∴ ；
当点M在y轴左侧时，过点B作 轴交交 于点M，如图所示：
∵ ，
，
，
∵ ，直线 的解析式为 ，
∴当 时， ，
解得 ，
∴ ，
综上可得： 或 ．
12．（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究
并解决了相关问题，请补全下面的过程．
(1)下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 …y … m …
写出表中m的值： ___________．
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点 ， ，若 ，则 ___________ （填“ ”，“ ”或“ ”）；
②对于函数 ，当 时，y的取值范围是___________；
③写出由函数 的图象得到 的图象的平移方式．
【答案】(1)0
(2)见解析
(3)① ；② ；③向左平移1个单位，向下平移 个单位
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
（1）把 代入 即可求得；
（2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（3）观察图象即可解决问题．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ；
故答案为：0；
（2）解：函数 图象如图所示；；
（3）解：观察该函数图象：
①对于图象上两点 ，若 ，则 ；
②对于函数 ，当 时，y的取值范围是 ；
③当 时， ，当 时， ，
∴函数 的图象得到 的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移 个单位．
故答案为：① ；② ；③向左平移1个单位，向下平移 个单位．
13．（24-25九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系 中，对于任意两点 与
的“特别距离”，给出如下定义∶若 ，则点 与点 的“特别距离”为 ；若
，则点 与点 的“特别距离”为 ． 例如∶点 ，点 ，因为
，所以点 与点 的“特别距离”为 ，也就是图1中线段 与线段 长度的较大
值(点 为垂直于 轴的直线 与垂直于 轴的直线 交点)．
(1)已知点 ， 为 轴上的一个动点．
①若点 与点 的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点 的坐标；
②直接写出点 与点 的“特别距离”的最小值．
(2)已知 是直线 上的一个动点，如图2，点 的坐标是 ，求点 与点 的“特别距离”的
最小值及相应的点 的坐标．【答案】(1)①点B的坐标是 或 ；②
(2) ，
【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了新定义“特别距离”、点的坐标、绝对值等知识，本题综合
性强，弄清楚题干中的已知条件，正确理解“特别距离”的定义是解题的关键．
（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为 ，由“特别距离”的定义可以确定 ，据
此可以求得y的值；
②设点B的坐标为 ．根据 ，“特别距离”为 即可求得最小值；
（2）设点C的坐标为 ．根据材料可知C、D两点的“特别距离”取最小值时，
，据此可以求得最小值和点C的坐标．
【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为 ．
∵ ，
∴ ，
解得 或 ；
∴点B的坐标是 或 ；
②设点B的坐标为 ，
当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知 ，
∴ ，
∴当 时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为 ；
（2）解：当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知 ，
∵C是直线 上的一个动点，点D的坐标是 ，∴设点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∴若 ，
解得 ，此时较大值为 ；
当 ，
解得 ，此时较大值为 ，
∴当 时，
∴点C与点D的“特别距离”的最小值为 ，
此时 ．
14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于
，到另一条坐标轴的距离不大于 的点叫做该函数图象的“ 阶界点”．例如：直线 上的
点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ， ，所以点 是它的“3阶界点”．
(1)若 三点的坐标分别为 ，则 三点中，是直线 的“1阶界
点”的有点 （直接填空）；
(2)如图，直线 与直线 相交于点 ．
①求点 的坐标；
②已知直线 上有两个“ 阶界点” 和 ，点 在点 的下方，直线 上有两个“ 阶界
点” 和 ，点 在点 的下方，连接 ．设 的面积为 ，求 与 之间的函数表达式，并写出
的取值范围．【答案】(1)A，C
(2)①（2，2）；②当2＜a＜6时 ；当a≥6时
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义“ 阶界点”，通过联立方程求交点坐标，利用坐
标求三角形面积，关键是理解新定义并准确计算．
（1）根据“a阶界点”的定义，分别计算点A、B、C到坐标轴的距离并判断；
（2）①联立直线方程求解交点坐标；②结合图形，先根据“a阶界点”定义确定 的坐标，再
根据三角形面积公式求解；
【详解】（1）解： ，‘
点A到x，y轴的距离都等于于，满足“1阶界点”定义；
点B到x轴的距离是3，到y轴的距离是1， ，不满足“1阶界点”定义；
点C到x轴距离是1，到y轴的距离是0， ，满足“1阶界点”定义；
故答案为： ；
（2）①直线 与直线 相交于点 ，
解方程组 ，
解得， ，
点E的坐标为 ；
② 直线 上有两个“ 阶界点”，
，
如图，
对于 ，若到 轴距离为 ，则 或 ，
当 时，即 ，
，
此时过 作 轴交 于点 ，则 ，
，；
当 时，
当 时，解得 ；
当 时，解得 ，
， ，
对于 ，若到 轴距离为 ，则 或 ，
， ；
以 为底，高为 ， 的长度为 ，
，
综上， ．
