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专题 07 一次函数中规律、最值、平移与新定义型综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一次函数中的规律探究问题..................................................................................................................1
题型二、一次函数中求线段和最值问题..............................................................................................................4
题型三、一次函数中直线平移的综合问题..........................................................................................................8
题型四、一次函数中分段函数探究问题............................................................................................................12
题型五、一次函数中的新定义型综合问题........................................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一次函数中的规律探究问题
1．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ；点 与点
关于直线 对称；过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ；点 与点 关于直线 对称；
过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ；按 此规律作下去，则点 的坐标为 ， 的坐标为
．
2．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的表达式为 ，点
的坐标为 ，以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；
以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心，
为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，
点 的横坐标是 ．（结果要求最简形式）题型二、一次函数中求线段和最值问题
3.平面直角坐标系内，已知点 和点 ，点 为 轴上一动点，当 最小时．点 的坐标
为 ．
4.一次函数 的图象交 轴、 轴分别于点 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，
若 是 上一动点．当 周长最小时， 的坐标是 ．
5.如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为(1,4)和 ，点 是 轴上的一个动点，且 ， ，
三点不在一条直线，上，当 的周长最小时，点 的坐标是 ， 周长的最小值是 ．
6.如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．(1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；
(2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时， 的值最小，直接写出
最小值．
题型三、一次函数中直线平移的综合问题
7.在平面直角坐标中，直线 分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作 交x轴于点
C．过点C作y轴的平行线交 于点D．
(1)求线段 与 的长度；
(2)现将线 沿A至C向右平移2个单位长度得线段 （如图），求线段 在整个平移过程中扫过图形
的面积；
(3)试探索在平移过程中，在直线 上是否存在点M，使 是以 为斜边的等腰直角三角形，若存
在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8.在平面直角坐标系中， ， ， ，且 ．
(1)直接写出点A，B的坐标及c的值；
(2)如图1，若三角形 的面积为9，求点C的坐标；
(3)如图2，将线段 向右平移m个单位长度得到线段 （点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系．
题型四、一次函数中分段函数探究问题
9.小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面
的过程．
(1)函数 的自变量 的取值范围是___________．
(2)下表是 与 的几组对应值：
0 1 2 3
1 3
写出表中 的值；
(3)如图，在平面直角坐标系 中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(4)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点 ，若 ，则 _________ (填“>”，“=”或“<”)；
②当 时，若对于 的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值，则 的取值范围
是_________．
10.探究函数 的图象与性质．
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究：
(1)在函数 中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 4 …y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a …
表格中a的值为________；
(2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象；
(3)结合图象回答下列问题：
①函数的最大值为________；
②写出该函数的一条性质________．
11．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是该小组
的探究过程，请补充完整：
(1)列表：
x … 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
其中， ______；
(2)描点并连线；
在下面平面直角坐标系中画出函数 的图象；
(3)根据图象直接写出函数 图象的两条性质．
题型五、一次函数中的新定义型综合问题
12.我们规定：如果两个一次函数的图像都经过坐标轴上的同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴
一次函数”，如：一次函数 与 的图像都经过 轴上的同一个点 ，所以这两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数 与 的图像都经过 轴上的同一个点 ，所
以这两个函数为“交轴一次函数”．
(1)一次函数 与 是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，
并写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”．
(2)已知一次函数 ， ，若 与 互为“交轴一次函数”，求 的值．
13．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线 ， 为常数）是点 的关联直线，点
是直线 的关联点；特别地，当 时，直线 的关联点为 ．
如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
【定义辨析】
（1）直线 的关联点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【定义延伸】
（2）点 的关联直线与直线 交于点 ，求点 的坐标；；
【定义应用】
（3）点 的关联直线与 轴交于点 ， ，求 的值．
14．定义：在平面直角坐标系中，将直线 的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的
倍，得到新的直线 ，则称直线 为直线 的“k倍伴随线”．
【定义辨析】
（1）若点 在 上，则下列四个点① 、② 、③ 、 ④ ，在 的 “k 倍伴随
线” 上的点有______（填序号）；
（2）下列函数图像是直线 的“2倍伴随线”的是（ ）；
A． B． C． D．
【定义延伸】
（3）若直线 的“k倍伴随线”记为 ．现给出两个关系式：① ；②
．其中正确是是______（填序号）；
【定义应用】
（4）如图，已知直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点
C，能使 为等腰直角三角形，求k的值．一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线 上的动点， ，
是x轴上的两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：对于给定的一次函数 （ 为常数，且 ），
把形如 的函数称为一次函数 的“相依函数”，已知一次函数 ，若点
在这个一次函数的“相依函数”图象上，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图， ，将直线 以每秒2
个单位长度向右平移 秒，当直线 与四边形 有公共点时， 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在过原点的直线 上，以点
O为圆心， 长为半径画弧交直线 于点 ，过点 作 轴交 于点 ；以点O为圆心，
长为半径画弧交直线 于点 ，过点 作 轴交 于点 ；…按此规律，则点 的坐标为（
）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，直线 与 轴、
轴分别交于点 ， ，点 是直线 上的一个动点，则线段 的最小值为 ．
6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，把 放在直角坐标系内，其中 ， ，
点 ， 的坐标分别为 ， ，将 沿 轴向右平移，当点 落在直线 上的点 时，
线段 的长为 ．7．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 在直线 上，过
点 作 轴于点 ，作等腰直角三角形 （ 与原点O重合），再以 为腰作等腰直角三角
形 ，以 为腰作等腰直角三角形 ；按照这样的规律进行下去，那么 的坐标为
8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 （ ）的点叫做
这个函数图像的“ 阶方点”．例如：点 是函数 图像的“ 阶方点”；点 是函数
图像的“2阶方点”．如果 关于 的一次函数 图像的“2阶方点”有且只有一个，那么
的值为 ．
三、解答题
9．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在
坐标轴上．
(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；
(2)若点M在y轴上，求 的最小值；
(3)若点M在x轴，当 最大时，求点M的坐标．
10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，已知直线 ： 交 轴于 ，交 轴于
．(1)求直线 的表达式；
(2)如图2，直线 的表达式为 ，点 为线段 的中点，在直线 上找一点 ，使得
最小，并求出最小值；
(3)如图3，已知点 ，点 为直线 右侧一点，且满足 ，求 的值．
11．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图①，直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
直线 ： 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，且 ．
(1)直线 的函数表达式为______，
(2)点 为直线 上一动点，若有 ，求点 的坐标；
(3)如图②，在 轴负半轴有一点 ， ， ，将直线 平移过点 得直线 ，连接 ，
若点 为直线 上一动点，是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
12．（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究
并解决了相关问题，请补全下面的过程．
(1)下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 …
y … m …写出表中m的值： ___________．
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于图象上两点 ， ，若 ，则 ___________ （填“ ”，“ ”或“ ”）；
②对于函数 ，当 时，y的取值范围是___________；
③写出由函数 的图象得到 的图象的平移方式．
13．（24-25九年级下·海南海口·自主招生）在平面直角坐标系 中，对于任意两点 与
的“特别距离”，给出如下定义∶若 ，则点 与点 的“特别距离”为 ；若
，则点 与点 的“特别距离”为 ． 例如∶点 ，点 ，因为
，所以点 与点 的“特别距离”为 ，也就是图1中线段 与线段 长度的较大
值(点 为垂直于 轴的直线 与垂直于 轴的直线 交点)．
(1)已知点 ， 为 轴上的一个动点．
①若点 与点 的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点 的坐标；
②直接写出点 与点 的“特别距离”的最小值．
(2)已知 是直线 上的一个动点，如图2，点 的坐标是 ，求点 与点 的“特别距离”的最小值及相应的点 的坐标．
14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于
，到另一条坐标轴的距离不大于 的点叫做该函数图象的“ 阶界点”．例如：直线 上的
点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ， ，所以点 是它的“3阶界点”．
(1)若 三点的坐标分别为 ，则 三点中，是直线 的“1阶界
点”的有点 （直接填空）；
(2)如图，直线 与直线 相交于点 ．
①求点 的坐标；
②已知直线 上有两个“ 阶界点” 和 ，点 在点 的下方，直线 上有两个“ 阶界
点” 和 ，点 在点 的下方，连接 ．设 的面积为 ，求 与 之间的函数表达式，并写出
的取值范围．
