文档内容
第 2 讲 椭圆
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：椭圆的定义
突破二：利用椭圆定义求方程
突破三：椭圆上点到焦点的距离及最值
突破四：椭圆上点到焦点和定点距离和，差最值
突破五：椭圆中焦点三角形问题
突破六：椭圆中轨迹方程问题
突破七：椭圆离心率问题
突破八：直线与椭圆的位置关系
突破九：椭圆中的中点弦问题
突破十：椭圆的弦长问题
突破十一：椭圆中定点，定值问题
突破十二：椭圆中定直线问题
突破十三：椭圆中向量问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
F F
1、椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点
1
、
2
的距离之和等于常数
(| PF |+| PF |=2a>|F F |)
，
1 2 1 2这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点（ , ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（ ）叫作椭圆的焦
距.
说明：
(| PF |+| PF |=|F F |)
若 ， 的轨迹为线段F F ；
1 2 1 2 P 1 2
(| PF |+| PF |<|F F |)
若 ， 的轨迹无图形
1 2 1 2 P
2、椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
（ （
标准方程
） ）
范围 ， ，
， ，
顶点
，
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝
焦点
焦距
对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点
离心率 ，
3、直线与椭圆的位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系
将直线的方程 与椭圆的方程 联立成方程组，消元转化为关于 或 的一
元二次方程，其判别式为 .
① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
（2）直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）①弦长公式：若直线l: y=kx+b与圆锥曲线相交与A、B两点， A（x ,y ),B(x ,y )则：
1 1 2 2
弦长|AB|= √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 = √ (x −x ) 2 +(kx−kx ) 2 = √1+k2 |x −x |
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= √1+k2√ (x +x ) 2 −4x x
1 2 1 2
√ 1
弦长 |AB|= 1+
k2
|y
1
−y
2
|
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
②结论1：已知弦 是椭圆 （ ）的一条弦，中点 坐标为 ，则 的斜
率为
运用点差法求 的斜率，设 ， ； 、 都在椭圆上，
两式相减得： ，
即 ，故
b2
结论2：弦 的斜率与弦中心 和椭圆中心 的连线的斜率之积为定值：−
a2
x2 y2
③.已知椭圆方程 + =1(a>b>0)，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点，
a2 b2 A
1
A
2
F
1
F
2 P
∠F
1
PF
2
=α ．求： ΔF
1
PF
2
的面积（用a、b、α 表示）．
设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．
由余弦定理知： |F F | 2 =|PF| 2 +|PF| 2 −2|PF|·|PF|cosα=4c2 ①
1 2 1 2 1 2
2b2
由椭圆定义知： |PF 1 |+|PF 2 |=2a ②，则 ② 2－① 得 |PF 1 |⋅|PF 2 |= 1+cosα
1 1 2b2 α
故S = |PF|¿|PF|sinα = sinα =b2tan
ΔF
1
PF
2
2 1 2 2 1+cosα 2
第二部分：重难点题型突破突破一：椭圆的定义
1．（2022·浙江·杭师大附中高二期中）椭圆 上一点P与焦点 的距离为5，则点P与另一个焦
点 的距离为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】根据椭圆的定义知， ，
因为 ，所以 ．
故选：B.
2．（2022·北京市海淀外国语实验学校高二阶段练习）设定点 ， ，动点P满足条件
，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．双曲线
【答案】C
【详解】解：定点 ， ， ，
常数 ， ，
所以动点 满足条件 或 ，则点 的轨迹是线段或椭圆．
故选：C．
3．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知 分别是椭圆 的两个焦点，点
在 上，若 的最大值为2，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．16
【答案】B
【详解】根据椭圆的定义得 ，则 ，当且仅当
时，等号成立.
故选:B
4．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习）已知椭圆 上一点 到椭圆一个焦点的距
离是7，则 点到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．7
【答案】B【详解】解：由 知长半轴长 ， ，
点 到另一个焦点的距离为 .
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）设定点 ， ，动点 满足条件 ，
则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在
【答案】D
【详解】错解：
选A，由题中坐标得： ，又 ， 点 的轨迹为椭圆.
错因：
忽略了椭圆的定义中 这一条件.
正解：
由题中坐标得： ，又又 ，
则当 时，点 的轨迹为线段 ；当 时，点 的轨迹为椭圆；当 时，点 的轨迹不存
在.
故选：D.
突破二：利用椭圆定义求方程
1．（2022·四川成都·高二期中（理））己知两点 ，且 是 与 的等差中项，则
动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
又 是 与 的等差中项，
所以 ，
则点P到定点 的距离之和为8，（大于 ），
所以动点P的轨迹是以 为焦点，
，则 ， ，
所以椭圆方程为： ，
故选： .2．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点 在x轴上，离心率为
.过点 的直线l与C交于A、B两点，且 周长为 ，那么C的方程为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，设椭圆方程为 .
∵ 周长为 ，∴4a ，得a .
△
又 ，∴ .
则 .
∴椭圆C的方程为： .
故选：B.
3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知动点 到两个定点 的距离之和为6，则动点 轨
迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆， ， ， ，
即动点 轨迹方程为 .
故选：D.
4．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）方程 化简后为
______．【答案】
【详解】解：∵ ，
故令 ， ，
∴ ，
∴方程表示的曲线是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆，
即 ， ， ，
∴方程为 .
故答案为： .
5．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（文））已知 为 的两个顶点， 为 的
重心，边 上的两条中线长度之和为6，求点 的轨迹的方程.
【答案】
【详解】解：因为 为 的重心，所以
且边 上的两条中线长度之和为6，
所以 ，
故由椭圆的定义可知 的轨迹 是以 为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且 ，所以 ，
所以, 的轨迹 的方程为 .
突破三：椭圆上点到焦点的距离及最值
1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知椭圆 的离心率为
为 的一个焦点， 为 上一动点，则 的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【详解】解：设椭圆 的半焦距为
，故焦点在 轴上．，离心率为 ，
，解得
．
∴根据椭圆的性质可知 ．
故选：D
2．（2022·广东·深圳科学高中高二阶段练习）椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过右焦点
作直线交椭圆C于A、B两点，若 ，则 __________．
【答案】
【详解】解：如图，
椭圆C的焦点为 ， ，
设 ，则 ，
由椭圆的定义得 ， ．
在三角形 中，由余弦定理得 ．
在三角形 中，由余弦定理得 ．
因为 ，
所以 ，
解得 ， ，所以 ．
故答案为： ．
3．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二期中）已知椭圆 的两个焦点 ， ，点P在椭圆上，且 ，则 __．
【答案】
【详解】由椭圆 知，椭圆的长半轴长 ，短半轴长 ，则半焦距 ，
由椭圆对称性不妨令焦点 ，因点P在椭圆C上，且 ，
设 ， ，则由 ，解得
即有 ，
所以 的值为 .
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的左焦点为 ， 为椭圆C上任意一点，则
的最小值为______．
【答案】1
【详解】解：由椭圆C： 知： ，故 ，
所以 ，
所以， 的最小值为 .
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求
的最小值与最大值．
【答案】 的最小值为 ，最大值为 .
【详解】设 ，则有 ， ，
，
因为 ，所以 ，
因此 ，即 的最小值为 ，最大值为 .
突破四：椭圆上点到焦点和定点距离和，差最值1．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二期中） 、 分别为椭圆 的
左、右焦点， 为椭圆上的动点，设点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在椭圆 中， ， ， ，则 、 ，连接 ，
所以，
，
当且仅当点 为射线 与椭圆的交点时，等号成立，故 的最小值为 .
故选：A.
2．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上任
一点，点Q的坐标为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据椭圆的定义可得， ，则 ，因为
，则当 三点共线时，取值最大或最小.
由已知得， ， ， ， ， .图1
如图1，当 点位于图中 时，根据三角形三边关系取值最大.
.
图2
如图2，当 点位于图中 时，根据三角形三边关系取值最大.
.
故答案为： .
3．（2022·全国·高二单元测试）已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上一点， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 在椭圆的内部，设椭圆右焦点为 ，易得 ，则
，由椭圆定义可知： ，所以 ，因为
，所以 .
故选：D.
4．（2022·全国·高二单元测试）已知点P是椭圆 上一动点，Q是圆 上一动点，点，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】如图所示：
由 ，得 ，
则 ，
则圆 的圆心是 为椭圆的左焦点，
则右焦点为 ，
由椭圆的定义得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
，
故选：C
5．（2022·黑龙江·哈九中高二阶段练习）设点 ， ，点 在椭圆 上运动，当
最大时，点 的坐标为___________.
【答案】
【详解】由椭圆方程得： ， ，则 ，
即椭圆焦点坐标为 ， ，即 与 重合，
由椭圆定义可知： ，
，即当 位于下图所示的 位置时， 取得最大值；， 直线 ，
由 得： （舍）或 ，即 ，
当 最大时，点 的坐标为 .
故答案为： .
6．（2022·广西·南宁三中高二期中）已知点P是椭圆 上一动点，Q是圆 上一动
点，点 ，则|PQ|－|PM|的最大值为______.
【答案】6
【详解】如图所示：
由 ，得 ，
则 ，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为 ， ，
则圆 的圆心 为椭圆的左焦点，
由椭圆的定义得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
，
故答案为：6.
7．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P为椭圆上一点，点
，则 的最小值为__________．
【答案】1
【详解】依题意，椭圆 的左焦点 ，右焦点 ，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆
外，
由椭圆的定义得 ，因此，
，当且仅当点P是线段 与椭圆的交点时取“=”，
所以 的最小值为1.
故答案为：1
8．（2022·全国·高二单元测试）点 在椭圆 上， 的左焦点为 ，点 在圆
上，则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】解：点 在椭圆 上，
椭圆 左焦点 ，右焦点 ，如图：
由圆 ，得 ，半径为1，
由椭圆得定义可得： ，则 ，
则 ，
当 四点共线时， 取得最小值，
则 .
故答案为：0.突破五：椭圆中焦点三角形问题
1．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）椭圆 的两个焦点为 ，且 是椭圆上的一点，则
三角形 的周长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
故选：D
2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，
是椭圆上一点（左、右顶点除外），若 的周长为8，则 （ ）
A．1 B． C．8 D．
【答案】C
【详解】因为 是椭圆上一点，
所以 的周长 ，
由椭圆方程得 ，又 ，
解得 ，
所以 ，
故选：C
3．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））设 、 为椭圆 的左、右焦点，动点P在椭
圆上，当 面积最大时， 的值等于（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B【详解】根据对称性，可设点 ， ,则 的面积为 ，则当 面积
最大时，即 最大，此时 为上顶点时，即 时最大.此时 .又 ，则 、
.
则 ， .
故选：B
4．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（文））已知 ， 是椭圆C： 的两个焦
点，P为椭圆C上一点，且 ，若 的面积为9，则 （ ）
A．3 B．9 C． D．12
【答案】A
【详解】设 ,
依题意 ，
整理得 ，即 .
故选：A
5．（2022·四川成都·高二期中（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭
圆上一点P满足 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
设 ，∴ ，∵
∴ ，∴离心率 .
故选：C．
6．（2022·四川成都·高二期中（文））设 、 为不相等的正实数，椭圆 的焦点分别为
与 ．若此椭圆上存在点P使得 为正三角形，则 （ ）
A． B． C．28 D．36
【答案】C
【详解】要使 为正三角形，则 ，
由椭圆的对称性且焦点在y轴上，要使 ，则 必在左右顶点上，
所以 ，即 ，故 ，则 .
故选：C
7．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）椭圆 的焦点为 ， ，与y轴的一个交
点为A，若 ，则m（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【详解】在椭圆 （ ）中， ， ， ，
如图，
易知 ，又 ，所以 为等腰直角三角形，
即 ，得 ，即 .
故选：A
8．（多选）（2022·山东临沂·高二期中）已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ， ，P是椭圆
上异于左、右顶点的任意一点，则（ ）A． 周长为14 B． 面积最大值为12
C．存在点P使得 D． 不可能是等腰直角三角形
【答案】BCD
【详解】因为椭圆E： ，所以 ，则 ，
对于A，不妨设 ，则 ，又 ，
所以 周长为 ，故A错误；
对于B，因为当点 在 轴上时，点 到 的距离 最大，且最大值为 ，
所以 ，即 面积最大值为12，故B正确；
对于C，假设存在点P使得 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以 是方程 的两根，显然 ，方程有两解，
所以存在点P使得 ，故C正确；
对于D，当 时， ，显然 ，所以 不是直角三角形；
当 时， ，显然 ，所以 不是直角三角形；
同理：当 时， 也不是直角三角形；
综上： 不可能是等腰直角三角形，故D正确.
故选：BCD
.
9．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））过椭圆 的一个焦点 的弦 与另一个焦点
围成的 的周长为___________.
【答案】12
【详解】在椭圆 中， ，由题意可知， 的周长为 .
故答案为： .
10．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））已知椭圆的两焦点为 ， ，点P为椭圆上
一点，且 .
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P满足 ，求 的面积.
【答案】(1) =1；
(2)3 .
【详解】（1）依题意， ，椭圆长轴长 ，即长半轴长 ，短半轴长
b，有 ，
所以椭圆的标准方程为 =1.
（2）由（1）知 ， ，在 中由余弦定理得：
，有 ，
解得 ， ，
所以 的面积是 .
突破六：椭圆中轨迹方程问题
1．（2022·上海市控江中学高一期末）定义点 对应到点 的对应法则：
，按照该对应法则，当点 在线段 上运动时（其中，点 ，点 ），点 的轨迹
方程为______.
【答案】 ， ，
【详解】线段 所在的方程为 ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，故 ， ，
在线段 上，故 ，即 ， ， .故答案为： ， ，
2．（2022·辽宁·大连八中高二期中）在平面直角坐标系中，若动点 始终满足关系式
，则动点 的轨迹方程为__________.
【答案】 .
【详解】由平面上两点间的距离公式可知， 到 与 的距离之和为8，
又 与 两点间的距离为4，且 ，
所以 轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
其中 ，所以 .
故点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
3．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知 为坐标原点，定点 ， 是圆 内
一动点，圆 与以线段 为直径的圆内切，则动点 的轨迹方程为________.
【答案】
【详解】取点 ，设线段 的中点为 ，圆 与圆 的切点为 ，
易知 为线段 的中点，则 ，
所以， ，
故点 的轨迹是以点 、 为焦点，长轴长为 （去除长轴端点）的椭圆，
且 ，则 ， ，则 ，因此，点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
4．（2022·全国·高二专题练习）若△ABC的三边长a､b､c满足 ， ､ ，则顶点B的轨
迹方程是___________.
【答案】
【详解】设点B的坐标为 ，
∵ ，即 ，又 ､ ，
∴ ，
根据椭圆的定义可知，点B的轨迹是以 ､ 为焦点，以4为长轴长的椭圆，
故顶点B的轨迹方程为 ，又B为三角形的顶点，
故所求的轨迹方程为 .
故答案为： .
5．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学高二阶段练习（文））已知 两点的坐标为 ，直
线 相交于点M，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程，并判断轨迹的形状.
【答案】轨迹方程 ，轨迹的形状见解析
【详解】设点 的坐标为 ，则
点 的坐标为
直线 的斜率为
点 的坐标为
直线 的斜率为
又
化简得点 的轨迹方程
①当 时，点 的轨迹是圆心 ，半径为 的圆除去点 和②当 且 时，点 的轨迹是椭圆除去点 和
6．（2022·陕西西安·高二期中（理））设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 交于A，B两点，P是l
上满足 的点，求点P的轨迹方程．
【答案】
【详解】将椭圆化为标准方程得， .设动直线l方程为 .
联立直线与椭圆方程 可得， .
设 ， ，则 ， .
设 ，则 ，
由 ，可得
代入整理可得， .
所以，点P的轨迹是椭圆的一部分，方程为
7．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆 与圆 ： 外切，同时与圆 ：
内切，求动点 的轨迹方程.
【答案】
【详解】因为圆 ： ，所以圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 ： ，所以圆 的圆心为 ，半径为 ；
设圆M的半径为r，由圆M与圆 ： 外切，得 ，
由圆M与圆 ： 内切，得 ，
又 ，故 ，
则动点M的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为8的椭圆，
所以 ，故 ，则 ， ，
故动点 的轨迹方程为 .
突破七：椭圆离心率问题1．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆 ，直线 与椭圆 相切，
则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】联立直线与椭圆的方程 可得， .
所以， ，解得 .
所以 ，则 ， ，所以 .
故选：B.
2．（2022·全国·高三阶段练习）已知椭圆 ，直线l过坐标原点并交椭圆于 两
点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线 交椭圆于点B，
若直线 恰好是以 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，设 ，
直线 的斜率一定存在,分别为 ，
直线 恰好是以 为直径的圆的切线,则 ,则 ,
则 ，∴ ，
∵ ，两式相减得 ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴椭圆的离心率 ，
故选:D．
3．（2022·江苏·高三阶段练习）设椭圆 的左､右焦点分别为 ，过 的直线与
交于 两点.若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令
则 ，
又 中，
，
，
中， ，
所以，离心率
故选：A.
4．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所
示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所
示，在“相似椭圆” 中，由外层椭圆 的下顶点 和右顶点 分别向内层椭圆 引切线 ，
且两切线斜率之积等于 ，则该组“相似椭圆”的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设内层椭圆 的方程为 ，
因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆 可设成 ，
设切线 的方程为 ，与 联立，得 ，
又 ，所以 .
设切线 的方程为 ，与 联立，得 ，
又 ，所以 .又 ，
所以 ，因此 .
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）设B是椭圆 的上顶点，若C上的任意一点P都满
足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知 ，设 ，则 ， ，，
上任意一点 都满足 ， ，
当 时， 取得最大值，
①当 ，即 时，
，即 ，符合题意；
此时 ，即 ，
又 ，
，
②当 ，即 时，
化简得， ，显然该不等式不成立，
综上所述，离心率 的取值范围 ，
故选：C.
6．（2022·山东·枣庄市第三中学高二期中）已知椭圆 是椭圆 上的点，
是椭圆 的左右焦点，若 恒成立，则椭圆 的离心率 的取值范围是
__________.
【答案】
【详解】设 ，则 ，
由于 恒成立，
即 ， ，，
由于 ，所以 ，
所以 ，两边除以 得 ，
即 ，解得 .
所以椭圆 的离心率 的取值范围是 .
故答案为：
7．（2022·福建·高三阶段练习）已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存
在点 ，使得由点 所作的圆 的两条切线所成的角为 ，则椭圆 的离心率的取值范围是______.
【答案】
【详解】设过 的两条直线与圆 分别切于点 ，
由两条切线所成的角为 ，知： ，
又 在椭圆 上，
所以 ，即得 ，
所以 ，
所以椭圆 的离心率 ，
又 ，所以
故答案为： .
8．（2022·四川·宜宾市翠屏区天立学校高二阶段练习（理））已知椭圆 上一点 ，它
关于原点的对称点为 ，点 为椭圆右焦点，且满足 ，设 ，且 ，则椭圆离
心率 的取值范围是_________.
【答案】
【详解】设椭圆 的左焦点为 ，连接 、 ，
由题意可知， 为 、 的中点，且 ，则四边形 为矩形，
则 ，又因为 ，所以， ，
因为 ，则 ， ，
，则 ，所以， ，
由椭圆的定义可得 ，
所以，椭圆的离心率为 .
故答案为： .
突破八：直线与椭圆的位置关系
1．（2022·黑龙江·望奎县第一中学高二期末）若直线 与 ： 没有交点，则过点的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A．至多为 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，圆心 到直线 的距离 ，即 ，
则点 在圆 内，
由椭圆几何性质知点 也在椭圆 内，
∴与椭圆 的交点个数为 .
故选：B
2．（2022·福建·高二阶段练习）已知椭圆 ，点 是椭圆第一象限上的点，直线 是椭圆在点 处
的切线，直线 分别交两坐标轴于点 ．则 面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ， ， ，直线 方程为 ，
由 ，得 ，
∵直线 与椭圆相切，
所以 ，化简得 ，
由椭圆方程知 ，
，当且仅当 ，即 时等号成
立．
所以 取得最小值2.
故选：A．
3．（2022·四川·双流中学高二期中（理））若直线 与圆 没有交点，则过点
的直线与椭圆 的交点的个数为（ ）A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2
【答案】B
【详解】由 ，可知圆心 ，半径为 ，由题意，则 ，即 ，
由 ，则点 在椭圆内，于是过点 的直线与椭圆必有两个交点.
故选：B.
4．（2022·全国·高二课时练习）定义曲线 为椭圆 的“倒椭圆”已知椭圆
，它的倒椭圆为 ，过 上任意一点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于
点B，则直线AB与椭圆 的公共点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与点P的位置关系
【答案】B
【详解】 的方程为 ，
设 ，则 ，且 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
由 消去 并化简得 ，
，
所以直线 与椭圆 有 个公共点.
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是______．
【答案】
【详解】∵椭圆 ，∴y>0时， ，∴ ，
∴x＝1时， ，即切线斜率 ，
∴椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是 ，
即 ．
故答案为： ．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 经过椭圆 的一个顶点E和
一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过 与椭圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)
（1）
依题意可知：椭圆 焦点在x轴上，
直线 与坐标轴的交点为： ， ，
∴ ，F（2，0），∴ ，c＝2， ，
∴椭圆的标准方程为 ．
（2）
由（1）可知椭圆 ， 在椭圆上，
求导 ，整理得： ，
由导数的几何意义可知：椭圆在 切线方程的斜率 ，
则直线的切线方程为： ，整理得： ，
∴过 与椭圆相切的直线方程为 ．破九：椭圆中的中点弦问题
1．（2022·福建·上杭县第二中学高三阶段练习）已知椭圆E： 的右焦点为 ，过
点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为 ，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设点 、 ，则 的中点为 ，
则 ，可得 .
若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合题意；
故直线 的斜率存在，且 ，
由于A、 两点都在椭圆 上，则 ，
两式相减得 ，即 ，
因为 在直线AB上，故 ，故 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
故选：A.
2．（2022·四川省安岳中学高二阶段练习）若椭圆 的动弦 斜率为 1 ， 则弦中点坐标可
能是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解：设椭圆上的两点为 ， ，弦 的中点为 ，
则 ， ， ， ，
由已知得， ， ，
两式相减可得： ，整理可得 ，
，
又点 在椭圆的内部，所以 .
故选：D.
3．（2022·江苏·滨海县东元高级中学高二阶段练习）将 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来
的 ，得到曲线 ，若直线 与曲线 交于 两点，且 中点坐标为 ，那么直线 的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，则设曲线 上的点坐标为 ，
故 在 上，故 ，即曲线 方程为 .
设 ，则 ， ，
利用点差法有 ， ，
又 中点坐标为 ，故 ，
即 ，直线 的斜率为 .
故直线 的方程为 ，化简可得 .
故选：B
4．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）已知椭圆C： （ ）的长轴为4，直线
与椭圆C相交于A、B两点，若线段 的中点为 ，则椭圆C的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，直线 交椭圆于 ， 两点，
若 的中点坐标为 ，所以直线 斜率 ，
代入椭圆方程得 ，
两式相减得
，
又 ，所以
所求的椭圆方程为 .
故选:B.
5．（2022·四川省冕宁中学校高二阶段练习）已知椭圆方程为 ，且椭圆内有一条以点 为
中点的弦 ，则弦 所在的直线 的方程是__________.
【答案】
【详解】设 ，由题意得 ，
两式相减化简得 ，而 是 中点，得 ，
代入得 ，故直线 方程为 ，即 ，
点 在椭圆内，故直线与椭圆相交，
故答案为：
6．（2022·江苏省灌南高级中学高二期中）在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方
程______.
【答案】
【详解】因为 ，所以点 在椭圆 内，设以点 为中点的弦的两端的坐标分别为 ，则 ， ，
两式相减，得 ，则 ，
设以点 为中点的弦所在直线斜率为 ，则 ，
所以所求直线方程为： ，即 .
故答案为： .
7．（2022·贵州·遵义一中高二阶段练习）经过点 作直线 交椭圆 于M，N两点，且P为
MN的中点，则直线 的方程为____________.
【答案】
【详解】设 ， ，则 ， ，
两式相减可得 ，即 ，
由中点 ，可得 ， ，
所以 ，即 ，
故直线 的方程为 .因为P在椭圆内，故直线必与椭圆相交，符合题意
故答案为： .
8．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）已知椭圆 ．
(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)过点 的直线 与椭圆E只有一个公共点，求直线 的方程；
(3)过点 的直线 与椭圆E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线 的方程．
【答案】(1) ；
(2) 或
(3)
【详解】（1）因为椭圆 ，所以 ，则 ，易知椭圆焦点落在 轴上，
所以椭圆的焦点坐标为 ，离心率为 .
（2）根据题意，得
当直线 斜率不存在时，则直线 为 ，易知此时与椭圆 只有一个公共点 ，满足题意；
当直线 斜率存在时，设直线 为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
因为直线 与椭圆E只有一个公共点，所以 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
所以直线 为 ，即 ；
综上：直线 为 或 .
（3）因为 ，所以 在椭圆 的内部，
设 ，则 ，
又 ，两式相减，得 ，
则 ，即 ，
所以直线 为 ，即 .
9．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P与平面上点M ，N 的距离之和等于 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若经过点E 的直线l与曲线C交于A，B两点，且点E为AB的中点，求直线l的方程．
【答案】(1) y2＝1；
(2) ．
【详解】（1）根据题意，动点P与平面上点M ，N 的距离之和等于 ．
又由 |MN|＝2，则点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其中a ，c＝1，则 ，
故动点P的轨迹C方程为 y2＝1；
（2）设A ，B ，则有
① ② 可得： ，
又由点E 是AB的中点，则有
则有 ，变形可得kAB ，
则直线AB的方程为 ，变形可得 ，经检验符合题意.
故直线AB的方程为 ．
突破十：椭圆的弦长问题
1．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）已知椭圆 ： 的左焦点为F，过点F
的直线 与椭圆C相交于不同的两点A、B，
若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－ ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求弦长|AB|．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ，
由
①－②得，
∴过点F的直线 斜率为1
∴ ，即
又 ，∴ ，∴
∴椭圆 方程为
（2） 消去得 解得
从而 ∴A（0， ），B（－ ，－ ）
∴ .
2．（2022·黑龙江·哈九中高二阶段练习）已知椭圆 内一点 引一条弦，与椭圆相交于
A，B两点，使弦被M点平分，
(1)求这条弦所在直线的方程.
(2)求弦 的长.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因 ，即点 在椭圆C内，符合条件的直线AB必存在，
设 ，因 是弦AB的中点，则 ，
由 相减得： ，即有 ，
因此直线AB的斜率为 ，直线AB的方程为 ，即 ，
所以这条弦所在直线的方程为 .
（2）由（1）得： ，消去y并整理得： ，于是得 ，
所以弦 的长 .3．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）过椭圆 内一点 引一条直线与椭圆相交于A､B两
点.
(1)若M是线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)若直线AB的斜率为2，求线段AB的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在椭圆 中，过 的直线与椭圆相交于A､B两点，
M是线段AB的中点
∴设 ， ，直线
解得：
∴
∴ ，
即
（2）由题意及（1）得
在椭圆 中，过 的直线与椭圆相交于A､B两点，
直线AB的斜率为2，
∴ ，
即
解得： 或
∴A､B两点坐标分别为 ， ，∴
4．（2022·江苏南通·高二期中）已知椭圆 的离心率为e，且过点 和
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 对称，求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知： ，∴
，∴ ，所以椭圆 ；
（2）法一 设 及AB中点 ，由题意知
， ，以上两式相减得： ，
可化为： 即 ，故 ，
又∵M在直线 上，所以 ，解得： ，
即 ，直线 ，化简为：
联立 整理得： ，由韦达定理知
由弦长公式得： ．
法二 设直线 ，
联立 ， 整理得：
，则中点 ，满足直线方程 ，解得所以AB：
联立 整理得： ，由韦达定理知
由弦长公式得： ．
5．（2022·湖北·华中师大一附中高二期中）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点
在椭圆 上， 为其左焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)试求△ 面积的最大值以及此时直线 的方程.
【答案】(1) ；
(2)最大值为 ，此时直线l的方程 .
【详解】（1）根据题意可得： ， ，
又 ，解得 ， ， ，
故椭圆 的标准方程为： .
（2）①当直线l斜率为零时， 显然不满足题意；
②直线l的斜率不为零， 设其方程为： ，
联立椭圆方程： 可得： ，
设A，B的坐标分别为 ， ，则 ， ，
，
点O到直线AB的距离 ， ，
令 ，则 ，故
对函数 ， ，易知 在 单调递增，在 单调递减，故 ，当且仅当 ，即 时取得等号；
故△ 面积的最大值为 ，此时直线l的方程 .
下证： 在 单调递增.
在 上任取 ，且 ，
故 ，
因为 ，故 ， ，即 ，
故 在 上单调递增.
6．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为
，且点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，求△ 的面积最大时 的方程．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【详解】（1）由题意可得 ，又 ，点 在椭圆 上，可得 ，
解方程可得 ， ，即有椭圆的方程为 .
（2）设过点 的直线 的方程为 ，
代入椭圆方程，可得 ，
判别式为 ，即有 ，
设 , ， , ，则 ， ，
，
又 到直线 的距离 ，则△ 的面积为 ，令 ， ，即有 ，
故当且仅当 ，即 ，面积 取得最大值，
即有△ 的面积最大时 的方程为 ，
即 或 .
突破十一：椭圆中定点，定值问题
1．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知椭圆C的焦点在x轴上， ， 分别为左、右焦点，对称中心
为坐标原点，四个顶点围成的四边形的面积为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)在椭圆 上是否存在第一象限的点 使得 ?若存在，求出点 坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1) ；
(2)存在，点 坐标为 .
【详解】（1）因为椭圆C的焦点在x轴上，对称中心为坐标原点，
所以设椭圆的标准方程为 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，离心率为 ，
所以有 ，所以椭圆的标准方程为 ；
（2）假设存在，坐标为 ，
设 ，显然 ，
由椭圆的定义可知： ，由（1）可知： ，
由余弦定理可知： ，
，
因为 ，所以 为锐角，所以 ，
，
把 代入 中，得 ，或 舍去，
所以椭圆 上存在第一象限的点 使得 ，点 的坐标为 .
2．（2022·广西广西·模拟预测（理））已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭
圆的左、右焦点，P为椭圆的下顶点，且 的面积为4.
(1)求椭圆C的方程：
(2)圆 ，点A，B分别是椭圆C和圆 上位于y轴右侧的动点，且直线PB的斜率是直线PA的
斜率的2倍，求证：直线AB恒过定点
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得 ，
又因为 ，
所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）证明：设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
因为 为 ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与椭圆方程， ，得 ，
因为点A，B分别是椭圆C和圆 上位于y轴右侧的动点，所以 ， ，
所以 ，代入直线 的方程可得 ，所以 为 ，
联立直线 与圆方程， ，得 ，
所以 ，代入直线 的方程可得 ，
所以 为 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
整理可得 ，
所以直线 恒过定点 .
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知A′，A分别是椭圆C： （a＞b＞0）的左、右顶点，B，F分
别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2 ．
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l（与x轴不重合）交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k，k，求证：kk
1 2 1 2
为定值．
【答案】(1) 1；
(2)证明见解析
【详解】（1）设 ，由x＝﹣c，可得y＝±b ± ，
则P的坐标为（﹣c， ）．
由A（a，0），B（0，b），AB∥OP，可得kAB＝kOP，
则 ，即b＝c，
又|FA′|＝2 ，可得a﹣c＝2 ，
又a2﹣c2＝b2，解得a＝2，b＝c ，所以椭圆C的方程为 1；
（2）证明：由F( ，0)，可设直线l的方程为x＝my ，
与椭圆方程x2+2y2＝4，可得(2+m2)y2﹣2 my﹣2＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，则y+y ，yy ．
1 1 2 2 1 2 1 2
又A(2，0)，可得kk •
1 2
，
所以kk 为定值．
1 2
4．（2022·江西师大附中三模（文））已知椭圆 的离心率为 ，点A､B分别是其
右顶点和上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设斜率为 的直线l与椭圆的两个交点（自上至下）分别为C､D，问：直线BC与AD的斜率之积是否
为定值？若是，求出其大小；若不是，说明理由.
【答案】(1) ；
(2)是定值，定值为 .
(1)由题意知， ，所以 ，
而 ，所以 ①，
直线AB的方程为 ，即 ，
所以 ②，
由①②解得： ，
所以椭圆的标准方程为： ；
(2)由（1）得椭圆的标准方程为 ， .直线BC的方程为 ，与椭圆的方程联立： '
化简得
解得 ，即
同理，直线AD的方程为 .联立
化为 ，
∴ ，解得 ﹐∴ ，
∴ ，
化为
∴
∴ ，为定值.
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知椭圆C： 经过点
，且椭圆C的离心率 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过定点 的直线l交椭圆C于A，B两点，椭圆C的右顶点为P，设直线PA，PB的斜率分别为
， ，求证： 恒为定值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
（1）
由题意知： ，解得 ，∴所求C的方程为： ．
（2）
由题意，直线 的斜率必存在，设 ： ，即 ，
代入椭圆整理得： ，
∴ ，又 ，
而 ， ，
∴
为定值，得证.
突破十二：椭圆中定直线问题
1．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））已知椭圆C； 的左右顶点分别为 ， ，以线
段 为边的一个正三角形与椭圆C的一个公共点为P（ ， ）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，N，直线 M， 交于点D，求证：点D在定直线
l上，并求出直线l的方程.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， .
(1)
由椭圆C经过点 ，故可得 ，
由题意可知直线 的斜率为 ，故可得 ，解得 ；把 得代人 得 ，
所以椭圆C的方程为 .
(2)
由（1）得 ， ，设 ，
由题可知直线l的斜率不为零，设其方程为 ，
联立椭圆方程 ，可得
则
设 ，由 ，D，M三点共线，可得
所以 ，
由 三点共线，同理可得
所以
所以 ，解得 ，所以点D在定直线 上.
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆 经过点 ，
离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，椭圆C的左、右顶点为 ， ，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于
， ），点M关于原点O的对称点为点P，直线 与直线 交于点Q，直线 与直线l交于点R.
证明：点R在定直线上.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)由题意知， ，解得 ，
故椭圆C的方程为 .
(2)设 ， ，则 .
直线l的方程为 ，其中 且 ，
将 代入椭圆 ，整理得 ，
由 与韦达定理得： ， ， .
由（1）知： ， ，
设 ，由 、P、Q三点共线得： ，由 、N、Q三点共线得： ，
则
，
于是直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得： ，即点R在定直线 上.
3．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知椭圆 （a>b>0）的离心率为 ，短轴的
下端点A的坐标为（0，－1）.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G在定直线上运动.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解：由椭圆E短轴的下端点A的坐标为 ，得 ，即 ；由 ，得 ，
代入上式，解得 ，从而 ，
所以椭圆E的方程为 .
(2)
解：若 轴，不符合题意；
若 与 轴不垂直，设直线BC的方程为 ，代入 并整理，得
一方面，必须 ；
另一方面，设 ， ，则 ，
设 的中点 ，则 ，
且 ，
①当 时， 轴，显然点G在y轴上.
②当 时，由AG⊥BC ，得 ，
则 即 ，化简得 ，
代入，得 ，解得 .
所以 ， ，即 ，
故点 （ ）在定直线 上运动.
综上，当 轴时，显然点G在y轴上运动；当BC与不平行不垂直时，点G在直线 上运动.
4．（2022·江西萍乡·一模（理））在平面直角坐标系中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为
且过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，
交直线 于点 ．（1）求证： ；
（2）若 在射线 上，且 ，求证：点 在定直线上．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】（1）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
由题意知 恒成立，
由韦达定理 ，所以 ，
因为 为线段 的中点，
所以 ， ，
此时 ．
所以 所在直线方程为 ，
又由题设知 ，
令 ，得 ，
即 ．
（2）由（1）知 所在直线的方程为 ，
将其代入椭圆 的方程，并由 ，
解得 ，
又 ，
由 得 ，所以 ，
所以点 在定直线 上．
突破十三：椭圆中向量问题
1．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（理））已知椭圆 ， ， 是椭圆上的两个不
同的点.
(1)若点 满足 ，求直线 的方程；
(2)若 ， 的坐标满足 ，动点 满足 （其中 为坐标原点），
求动点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
【答案】(1)
(2) ，轨迹是以 ， 为左右焦点，长轴长为 的椭圆.
【详解】（1）由已知 可得， 是线段 中点，
， ，
由已知 ， ，
两式相减化简整理得： ，
所以 ，
直线 的方程是 ；
（2）设 ， ，
由 ，可得
由 ②
结合①②可得，
又 ， 是椭圆上的点，故 ， ，
所以 ，即 ，
所以动点 的轨迹方程为 ，根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以 ， 为左右焦点，长轴长为 的椭圆.
2．（2022·山西太原·三模（理））已知椭圆 过点 离心率为
(1)求椭圆C的方程；
(2)当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足
求线段PN长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意， 解得 ，
椭圆C的方程为
（2）设A（ ， ），B（ ， ），N（x，y），
由 ，
得 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴点N在直线 上，
∴ .
3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C上动点 到定点 与定直线
的距离之比为常数 ．
(1)求曲线C的轨迹方程；(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为 的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求 的最
小值，并求此时圆T的方程．
【答案】(1)
(2)最小值为 ，
(1)
动点 到定点 与定直线 的距离之比为常数
∴ ；化简整理得：
(2)
点 与点 关于 轴对称，设 ， ，不妨设 ．
由于点 在椭圆 上，所以 ．
由已知 ，则 ， ，
∴
由于 ，故当 时， 取得最小值为 ．
此时 ，
故圆T的方程为 ．
4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知 ，直线 过椭圆 的右焦点F且与椭圆 交
于A、B两点，l与双曲线 的两条渐近线 、 分别交于M、N两点．(1)若 ，且当 轴时，△MON的面积为 ，求双曲线 的方程；
(2)如图所示，若椭圆 的离心率 ， 且 ，求实数 的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由题设 ，且双曲线 的渐近线为 ，
当 轴时， ，又 ，△MON的面积为 ，
所以 ，故 ，而 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）对于椭圆有 ，而 ，则 ，
不妨假设 ，则 且l为 ，
所以 ，又 ， ，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，而 在椭圆 上，
则 ，整理得 ，
综上，可得 .
5．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为F，右顶点为A，
且 .
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且 ，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，定点为
(1)
由题意得 ，
得 ， ，
∴ ，
∴椭圆C的标准方程为 .
(2)
设 ， ，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
代入 ，整理得 ，
则 ，
， .
由题及（1）知 ，
∴
化简得
，
∴ 或 ，
∵因为直线不过点A，
∴ 舍去
则直线l的方程为 ，即 ，直线l过定点 .
当直线l的斜率不存在时，设 ，代入 ，解得 ，由 得 ，∴ ，解得 或 （舍去），
此时直线l过点 .
综上，直线l过点 .
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·江苏江苏·三模）关于椭圆 ： ，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：
短轴长为2；丙：离心率为 ；丁：右准线的方程为 ；如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【详解】依题意，甲： ；乙： ；丙： ；丁： ；∵ ，∴甲丙丁真命题，故乙
为假命题﹒
故选：B﹒
2．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆 焦点相同的椭圆是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，椭圆C中 ， ， 即焦点坐标为 和 ；
对于A选项，椭圆焦点在 轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在 轴上， ， ， ，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在 轴上， ， ， 不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在 轴上， ， ， ，满足题意；
故答案为：D.
3．（2022·湖南湘潭·三模）椭圆 的左､右焦点分别为F
1
，F
2
，过点F
1
的直线l与E交于A，
B两点，若△ABF 的周长为12，则E的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】A【详解】因为 的周长为 ，根据椭圆的定义可得 ，解得 ，
则 ，所以 ，则椭圆 的离心率为 .
故选：A.
4．（2022·河南开封·一模（文））已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点M在C上，则
（ ）
A．有最大值4 B．有最大值3 C．有最小值4 D．有最小值3
【答案】A
【详解】由椭圆 可得 ， ， ，所以 ， ，
因为点 在 上，所以 ，
设 ， ，即 ，则
所以 ，
由 对应函数单调性可知，
当 时， 有最大值，最大值为
即 时， 最大值为 ，
当 时， 有最小值，最小值为
即 ， 时， 最小值为 ，
综上所述： 最小值为 ，最大值为
故选：A．
5．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）设 、 分别为具有公共焦点 与 的椭圆和双曲线的离心
率，P为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，不妨设 ，
由椭圆和双曲线的定义可得 ，得 ，
设 ，因为 ，由余弦定理得，
即 ，
整理得 ，故 .
又 ，即 ，
所以 ，即 的最小值为 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：A.
6．（2022·广东·模拟预测）已知 为椭圆 上一动点， 、 分别为该椭圆的左、右焦
点， 为短轴一端点，如果 长度的最大值为 ，则使 为直角三角形的点 共有（ ）个
A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个
【答案】B
【详解】当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有2个；
当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有2个；
因为 为短轴一端点，令 ， 长度的最大值为 ，
椭圆 ，
所以说明椭圆与圆 有且仅有下顶点这唯一交点，
设 ，
所以 ，即
所以 ，
因为 ，
所以 带入 中得：
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
当 带入 得：
所以 ，
所以 ，
所以 即 ，
当 时， 为下顶点，此时 最大为直角，根据对称满足的点 有2个，
当 时， 为下顶点，此时 为锐角，满足的点 有0个，
所以使 为直角三角形的点 共有4个或6个，
故选：B.
7．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））设 分别是椭圆 的左、右焦点，若在
其右准线上存在P，使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设点 ，
因为线段 的中垂线过点 ，所以 ，即 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，解得 .
故选：D.
8．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点P是椭圆上一点，
若 的最小值为 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】设 ，由 可知 ， ，
， ，
，
， 时， 的最小值为 ，解得 .
当 时， 的最大值为 .
故选：D
二、多选题
9．（2022·福建福州·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为 上一点，则
（ ）
A． 的离心率为 B． 的周长为
C． D．
【答案】CD
【详解】对于A，由椭圆方程知： ， ， 离心率 ，A错误；
对于B，由椭圆定义知： ， ，
的周长为 ，B错误；
对于C，当 为椭圆短轴端点时， ，， ，即 ，
，C正确；
对于D， ， ， ，D正确.
故选：CD.
10．（2022·江苏江苏·一模）若椭圆 的左，右焦点分别为 ，则下列 的值，能使
以 为直径的圆与椭圆 有公共点的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】解：以 为直径的圆的方程为 ，因为圆 与椭圆 有公共点，所以
，即 ，所以 ，即 ，满足条件的有A、B、C；
故选：ABC
三、填空题
11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，右准线为 ，点 在椭圆C的第
一象限上， 交 于点E，直线 交 轴于点 ，且 ，则 ______．
【答案】
【详解】由题意可知： ， 的方程为 ，设直线 与 轴交点为 ， ，
因为 ， ，
所以 与 相似， ， ，
所以 ，即 ，
即 ，代入 椭圆的方程可得 ，
因为点 在椭圆 的第一象限上，点 的坐标为 ．方法一： ．
方法二： ，由椭圆的第二定义可知， ，
所以 ．
故答案为：
12．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆 ， 、 为 的左、右焦点， 是椭圆上的动点，则
内切圆半径的最大值为________．
【答案】 ＃＃1.5
【详解】∵ ，则
∴ 的周长
∵ 内切圆半径 ，则 内切圆半径的最大即为 最大
显然当 为短轴顶点时 最大，此时
则
故答案为： ．
四、解答题
13．（2022·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知椭圆的两焦点分别为 和 ，短轴的一个端
点为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在一点 使得 ？若存在求 的面积，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)椭圆上不存在点 ，使得 ，理由见解析
（1）
椭圆的两焦点分别为 和 ，短轴的一个端点为 ，， ，
，
椭圆的标准方程为： ；
（2）
假设椭圆上存在点 ，使得 ，
则 ，
即 ，
联立 ，得： ，此方程无解．
椭圆上不存在点 ，使得 ．
14．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知椭圆C： 经过点 ，离心率 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不过原点的直线 与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E： 上，求直线 的斜率
的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
解析：（1）由已知 ，又椭圆过点 ，因此有 ，又 ，联立可解得
（2）设直线 ， ．
由
得 -----6分
Δ=(8km) 2−4(3+4k2 )(4m2−12)﹥0
即 ﹥0 （1）
又
故将 代入 得
16k(3+4k2
)
m=− ,(k≠o)−−−−(2)
9
将（2）代入（1）得：
√6 √6
解得− ≺k≺ ,且 ．即 ．--12分
8 8
考点：椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系．
15．（2022·陕西渭南·一模（文））已知椭圆 的离心率为 ，点 与椭圆的
左､右顶点可以构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜率之积等于 ，试探
求 的面积是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【详解】（1）解：椭圆 离心率为 ，即 ，
点 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形，
， ， ，故椭圆 的方程为 .
（2）解：由直线与椭圆交于 ， 两点，设 ， ，则
联立 得 ，
，则
，
.，
.
原点 到 的距离 ，
为定值.
16．（2022·贵州·模拟预测（文））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
点 在椭圆上， .若 的周长为6，面积为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设动直线 过定点 与曲线 交于不同两点 ， （点 在 轴上方），在线段 上取点 使得
，证明：当直线运动过程中，点 在某定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知 ，解得 ，
从而，椭圆 的方程为： ；
（2）设 ， ， ，设 （ ，且 ），
所以 ， ，
于是 ， ， ， ，
从而 ①， ②，
又点 ， 在椭圆上，即 ，③， ，④，
由 并结合③④可得 ，即点 总在定直线 上.
