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专题 5.2 平行线的判定与性质之八大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】.........................................................1
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】....................................................................................................4
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】.........................................................5
【考点四 添加一条件使两条直线平行】........................................................................................................8
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】................................................................................................9
【考点六 平行线的性质在生活中的应用】..................................................................................................12
【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】..........................................................................................14
【考点八 命题的判定与逆命题】..................................................................................................................21
【过关检测】............................................................................................................................................................22
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】
例题：（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知 ，垂足为 ， ，垂足为
， ，试说明直线 与 平行．
解∶∵ ，垂足为B，垂足为D， (已知)，
∴ ____ ， ____ (_____)
即 ， ，
又∵ (___)，∴ ____= ____(___)，
∴ (___)．
【变式训练】
1．（2023下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果 ，
求证： ； ．
观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
证明：∵ （已知），
（______________），
∴ （_______________），
又∵ （已知），
∴ （____________）（等式的性质）
∴ （_______________）
又∵ （_____________），
∴ （等式的性质）
∵ （已知），
∴ ，
∴ （___________________________）
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图， ， 与 互余．
(1) 与 平行吗？为什么？
(2)若 ，则 与 平行吗？为什么？
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】
例题：（2022上·广东梅州·八年级校考期末）如图， ， ，垂足分别是 ， ，．
(1)判断 与 的位置关系；（不需要证明）
(2)求证： ．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线 相交于点O， 平分 ，
平分 ， ，垂足为点H， 与 平行吗？说明理由．
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】
例题：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ，垂足分别为D、
F， ．
求证： ．
（ ）：∵ ， （已知）
∴ （ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）∴ （ ）
∵ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，已知 ， ，求证：
．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）推理填空：如图： ，
．求证： ．
证明：因为 （已知）， （____________），
得 ，
所以 （____________），
得 ，
因为 （已知），
得 （等量代换），
所以 （____________），所以 （____________）．
【考点四 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图：请写出一个条件： ，使 ．理由是：
．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，要使 ，需添加的一个条件是 （写出一个
即可）
2．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：① ；② ；
③ ；④ ；其中一定能判定 的条件有 （填写所有正确条件的序号）．
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，点 在同一条直线上，点 在同一条直
线上，连接 ，过点 作 ，已知 ．(1)求证： ；
(2)若 平分 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在 中，点 在 边上， 分别交
， 于点 ， ， 平分 ， ，
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在 中， ，F、G是 、 上的两点，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数．【考点六 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图， 的一边 是平面镜， ，点C是
上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜 上的点D反射后沿射线 射出，已知
，要使反射光线 ，则 的度数是 度．
【变式训练】
1．（2023下·全国·七年级专题练习）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发
生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行，光线变成 ，点 在射线 上，
，则 ．
2．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．
当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板 与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使
，需将电池板 逆时针旋转 度， ．【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）如图，已知 ， ．点P是射线AM上一动点
（与点A不重合）、BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
(1)求 的度数．
(2)当点P运动到使 时， 的度数是多少？为什么？
(3)当点P运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关
系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线 ，且 和 分别交于A、B两点，点P在直
线 上．(1) 之间的关系为 ；
(2)如果点P在A、B两点之间运动时， 之间的关系为 ；
(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时， 之间关系为 ．
2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如
图1，若 ，点P在 、 内部，探究 ， ， 的关系．小明只完成了（1）的部分
证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点 作 ．
∵ ，
∴____ ____（ ）
∴ ____（ ）
又∵
∴
∴ ________．(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作 来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图
2，若 ，点P在 、 外部， ， ， 的关系是否发生变化？若发生变化请写出它
们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若 ，如图3，图4，请直接写出小于平角的 ， ， 之间的数量关系．
【考点八 命题的判定与逆命题】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）命题“同角的补角相等”是 命题．写成“如果…那
么…”的形式 ．
【变式训练】
1．（2023上·湖南娄底·八年级校考阶段练习）命题“同位角相等”的条件是 结论是
，它是 命题．
2．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…，那
么…”的形式： ．一、单选题
1．（2023上·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等
C．若 ，则 D．平行于同一条直线的两直线平行
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，直线a，b被直线c所截， ，
，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上，连接 ，过点
作 ，交直线 于点 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·七年级课时练习）如图，下列能判定 的条件有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凹透镜的折射后，折射光线 ，
的反向延长线交于主光轴 上一点P．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定
的条件 .
7．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图， 平分 ， ， ，则
．
8．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三
角板画平行线 、 ，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法
的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
9．（2023下·浙江·七年级专题练习）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示， 垂直于地面 于A， 平行于地面 ，则
°．
10．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将 的三角尺ADE固定
不动，将含 的三角尺 绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边
互相平行，如图 ：当 时， ，则 （ ）其它所有可能符合条件
的度数为 ．
三、解答题
11．（2023上·七年级课时练习）如图，已知 于点 于点 ．试说明：
．
解： （已知），
（__________）．
同理， ．
（__________），
即 ．
（已知）
_______（___________）．
∴_____ _____（____________）．12．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图， 平分 ， 平分 ，且
求证： ．
证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 平分 （已知），
∴ ______（角的平分线的定义）．
∴ （______）．
即 ．
∵ （已知），
∴ ______（______）．
∴ （______）．
13．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，在三角形 中，点D在 上， 交 于点E，点
F在 ， ．(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的度数．
14．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线 ，点 分别在 和
上， ， 平分 ．
(1)试说明： ；
(2)如图2，若 于点 ，请问 与 有何数量关系，并说明理由．
15．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线 上（直角三角
板 和直角三角板 ， ， ， ， ，
），保持三角板 不动，将三角板 绕点C以每秒 的速度顺时针旋转，旋转
时间为t秒，当 与射线 重合时停止旋转．(1)如图②，当 为 的平分线时， ____________；
(2)当 时，求 的度数；
(3)在旋转过程中，当三角板 的 边平行于三角板 的某一边时（不包含重合的情形），直接写
出 的值．
