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专题5.29 相交线与平行线常见几何模型（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）如图， ， ， ，则
的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
2．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图所示， ， ， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·广东广州·八年级校考期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示
意图，已知 ，若 与 的夹角为 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ，一个含有30°的角的三角尺按如图所示位置摆放，若
，则 的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．65°
5．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面
与 平行，入射光线 与出射光线 平行．若入射光线 与镜面 的夹角 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线 ， 平分 ，过点C作
， 平分 分别交 于点H，G，过点A作 于点M．设 ，
，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
8．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图， ， ，设 ， ，
则 与 之间的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与 没有数量关系
9．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知 ， 于点 ，
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图， 平分
交 于点E， ， ，M，N分别是 延长线上的点， 和 的平
分线交于点F．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 为定值．其
中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图， ， ， ，则
．
12．（2020上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）潜望镜中的两面镜子是互相平
行放置的，如图所示的光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，则可判断进入潜望镜和离开潜望镜的光
线是平行的，依据是： ．
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，直线 ，小亮把一把含
30°的三角尺的直角顶点放在直线a上，把30°的顶点放在直线b上，若 ，则 的度数为
．
14．（2023下·七年级课时练习）如图， ， ， ，则
．15．（2023下·七年级课时练习）如图，已知 ，则 的度数为 ．
16．（2023下·七年级课时练习）如图， ， ， ， 表示图中三个角的角度，则 ，
， 三者之间的数量关系是 ．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图， ，
的平分线与 的平分线交于点M， ， ， ，则 ．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知 ，点 是 上方一点，点
分别在直线 、 上，连结 、 ， 平分 ， 交 的反向延长线于点 ，若
，且 ，则 度数为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪
蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着
角的数量关系．
（1）如图①， ，E为 之间一点，连接 ，得到 ．试探究 与
之间的数量关系，并说明理由．
（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】如图②， ，线段 与线段 相交于点E， ， ，
平分 交直线 于点F，则 °．
20．（8分）（2022下·山东济南·六年级统考期末）如图1，已知点A是 外一点，连接 ．
求 的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作 ，
所以 ， ．
又因为 ，
所以 ．
（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
如图2，已知 ，试说明
（3）如图3，已知 ， 平分 ， 平分 ，若 ，则 的度数
为 °；
（4）如图4，已知 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，
平分 ， 平分 …，若 ，则 的度数为 ；（用含a的代数式表示）
21．（10分）（山西省晋中市寿阳县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含 的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图
1，已知两直线a，b且 和 ， ， ， ．
（1）在图1中， ，求 的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把 的位置改变，发现 ，请说明
理由；【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3， 平分 ，
此时发现 与 又存在新的数量关系，请直接写出 与 的数量关系．
22．（10分）（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知 ，点 在 上，点 在 上，
点 为射线 上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明： ．（完成下面的填空部分）
证明：过点 作直线 ，
∵ ，
∴_______①_______ ．
∵ ，
∴_______②_______ ．
∵ ，
∴ _______③_______（_______④_______）．
∴ ．
（2）【类比探究】如图2，当点 在线段 延长线上时，请写出 、 、 三者之间的数
量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，点 与点 重合， 平分 ，且 ， ，那么
的度数为________．23．（10分）（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前2
世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》，书中记载的现象：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”
即潜望镜的雏形．如图，是一个潜望镜模型示意图，光线 经过互相平行的镜子 和镜子 反射后，
形成光线 ，人眼在 点即可看到 点的光线．已知 ，求证 ．请完成下面的证
明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据．
证明： （已知），
（ ）
（已知），
（ ）
（等式的性质）．
，
（平角的定义），
，
（ ）．
24．（12分）（2018下·江苏南京·七年级校联考期中）模型与应用.【模型】
（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.
【应用】
（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ．
如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为 ．
（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM M 的角平分线M O与∠CM Mn 的角平分线M O交于点O，若
1 2 1 n －1 n
∠M OM ＝m°．
1 n
在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示）
参考答案：1．C
【分析】过O作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出 ，然后根据平行于同
一条直线的两直线平行可得MN//CD，进而可求出 ，从而求出 ．
解：过O作直线MN//AB，如下图所示，
∵MN//AB，
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∴ ，
∵MN//AB，AB//CD， ，
∴MN//CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．
2．C
解：本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．假设 与 的交点为 ，因为 ，
所以 ；根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，可得 ，所以
．故选C．
3．C
【分析】过点B作 ，则 ，利用平行线的性质，进行求解即可．
解：如图，过点B作 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线．
4．B
【分析】过三角尺的顶点作平行线，根据平行线的性质求出∠4，故可求出 的度数．
解：如图，三角尺的顶点作平行线 ，则
∴∠3= ，∠4=90°-∠3=25°
故 =∠4=25°
故选B．
．
【点拨】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据题意作出平行线进行求解．
5．B
解：试题解析：延长DC交直线m于E．如图所示：
∵l∥m，
∴∠CEB=65°．
在Rt△BCE中，∠BCE=90°，∠CEB=65°，
∴∠α=90°-∠CEB=90°-65°=25°；
故选B．考点：平行线的性质.
6．B
【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
由题意知， ， ，由 ，可得 ，进而可求 ．
解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7．D
【分析】由三角形内角和定理和垂直的定义得 ， ，则
，由 得到 ，由 平分 得到
，由 ，则 ，由 平分 得到
，由 得到 ，整理即可得到答
案．
解：如图，
∵ 于点M．
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D
【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，
熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．
8．A
【分析】过C作 ∥ ，得到 ∥ ，因此 ， ，由垂直的
定义得到 ，由邻补角的性质即可得到答案．
解：过C作 ∥ ，
∥ ，
，
， ，
，
，
，
，
，故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，关键是过C作 ，得到 ，由平行线的性质来解决
问题．
9．C
【分析】如图，过点H作 ，过点F作 ，根据平行线的性质定理进行解答即可．
解：如图，过点H作 ，过点F作 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平
分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF= ×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的
计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
11．20
【分析】由 得到∠ABC+∠C=180°，再根据∠C=70°，BE⊥BC，即可求得∠ABE=180°-90°-
70°=20°．
解：∵ ，
∴∠ABC+∠C=180°，
又∵∠C=70°，BE⊥BC，
∴∠ABE=180°-90°-70°=20°．
故答案为：20．
【点拨】考查了平行线的性质和垂线的定义，解题关键是根据图形和利用“两直线平行，同旁内角互
补”进行求解．
12．内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质和判定即可求解．
解：∵AB CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠EFG＝∠FGH，∴EF GH（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点拨】此题主要是综合考查了平行线的判定和性质，牢记内错角相等，两直线平行．
13．
【分析】过点 作 ，可得 ， ，可得 ，进而可求 的度数．
解：如图，过点 作 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判断，解决本题的关键是正确作出辅助线．
14．130°
【分析】根据 ， ， 可以得到AD∥BC，∠DCB=50°，
∠DCB+∠ADC=180°，即可求解.
解：∵
∴AD∥BC
∴∠DCB+∠ADC=180°
∵
∴∠DCE=90°
∵
∴∠DCB=50°
∴∠ADC=130°
故答案为：130°.
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识
进行求解.
15．25°【分析】要求∠D的度数，只需根据三角形的外角的性质求得该三角形的外角∠1的度数．显然根据
平行线的性质就可解决．
解：∵AB∥ED，∠B=60°，∠C=35°，
∴∠1=∠B=60°．
∵∠1=∠C+∠D，
∴∠D=∠1-∠C=60°-35°=25°．
故答案为：25°．
【点拨】本题考查了平行线的性质和外角的性质，根据两直线平行同位角相等和三角形外角的性质解
答．
16．
【解析】略
17． /88度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐
点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解
决问题；过点 、 、 分别作 ，根据平行线的传递性得出
，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
解：过点 、 、 分别作 ，
∵
，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
，，
，
，
故答案为： ．
18． /52度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点 作 ，过 作 ，设
， ，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线
构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
解：如图，过点 作 ，过 作 ，
设 ， ，
∵ ， 交于 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
19．（1） ，理由见分析；（2）58
【分析】（1）过E作 ，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
解：（1） ，
理由如下：
过E作 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）同（1）方法可知： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
【点拨】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判
定和性质是解题关键．
20．（1） ；（2）见分析；（3）130；（4）
【分析】（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）过点B作 ，得到 ，利用两直线平行内错角相等得到
，由此得到结论；
（3）过点B作 ，则 ，根据平行线的性质推出 ，再根据
角平分线求出 的度数；
（4）依据（2）（3）的结论推理计算可得答案．
（1）解：过点A作 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
故答案为： ；
（2）解：过点B作 ，如图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点B作 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
根据（2）的结论可得： ，
故答案为：130；
（4）由（3）得 ，，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21．（1） ；（2）见分析；（3） ，理由见分析．
【分析】（1）根据 及 的和为 可求出 ，根据平行线的性质解答；
（2）过点 作 ，根据平行线的性质得到 ， ，结合图形计算，证
明结论；
（3）过点 作 ，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
（1）解：如答图1，∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：理由如下：
如答图2，过点B作 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（3）解： ．
理由如下：
如答图3，过点C作 ．∴ ．
∵ 平分 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
22．（1） ； ； ；两直线平行，内错角相等；（2） ，理由见分析；
（3）
【分析】（ ）过点 作直线 ，根据平行线的性质与判定即可求解；
（ ）过点 作直线 ，同理可得 ， ，则
；
（ ）利用平行线的性质求出 的值，再利用平行线的性质进行计算即可；
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
解：（1）过点 作直线 ，
∵ ，
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行），
，
∴ ，
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），∴ ；
故答案为： ； ； ；两直线平行，内错角相等；
（2）如图所示，过点 作直线 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
23． ；两直线平行，内错角相等；等量代换； ； ； ；内错角相等，两直线平行.
【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，又由于 ，可得
，由平角的定义可得 ， ，由此可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明 ．
解：证明： （已知），
（两直线平行，内错角相等）
（已知），
（等量代换）
（等式的性质）．
，
（平角的定义），
，
（内错角相等，两直线平行）
故答案为： ；两直线平行，内错角相等；等量代换； ； ； ；内错角相等，两直
线平行.
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
24．（1）证明见分析；（2）900° ，180°（n－1）；（3）（180n－180－2m）°
【模型】（1）证明：过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠1＋∠MEF＝180°，
同理∠2＋∠NEF＝180°
∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°
【应用】（2）分别过E点，F点，G点，H点作L ，L ，L ，L 平行于AB，利用（1）的方法可得
1 2 3 4
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°（n－1），
故答案是：900° ， 180°（n－1）；
（3）过点O作SR∥AB，
∵AB∥CD，
∴SR∥CD，
∴∠AM O＝∠M OR
1 1
同理∠C M O＝∠M OR
n n
∴∠A M O＋∠CM O＝∠M OR＋∠M OR，
1 n 1 n
∴∠A M O＋∠CM O＝∠M OM ＝m°，
1 n 1 n
∵M O平分∠AM M ，
1 1 2
∴∠AM M ＝2∠A M O，
1 2 1
同理∠CM M ＝2∠CM O，
n n-1 n
∴∠AM M ＋∠CM M ＝2∠AM O＋2∠CM O＝2∠M OM ＝2m°，
1 2 n n-1 1 n 1 n
又∵∠A M M ＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CM M ＝180°（n－1），
1 2 n n-1
∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝（180n－180－2m）°
点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，
准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．
