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2022-2023 学年北师大版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 07 一次函数的应用
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·巴中期末）巴中某快递公司每天上午7：00﹣8：00为集中揽件和派件时段，甲仓
库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的
函数图象如图所示，下列说法正确的个数为（ ）
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为8件；
③8：00时，甲仓库内快件数为400件；
④7：20时，两仓库快递件数相同.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【完整解答】解：由题意结合图象可知：
15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误；
甲仓库揽收快件的速度为： （件 分），
所以 时，甲仓库内快件数为： （件 ） ，故③说法正确；
（分 ） ，
即45分钟乙仓库派送快件数量为180件，
所以乙仓库每分钟派送快件的数量为： （件 ） ，故②说法错误；
所以乙仓库快件的总数量为： （件 ） ，
设x分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得：
，解得 ，
即 时，两仓库快递件数相同，故④说法正确.
所以说法正确的有③④共2个.
故答案为：B.
【思路引导】由题意结合图象可知：15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，据此判断①；求出甲仓库
揽收快件的速度，然后计算出60分钟揽收快件的数量，加上40即可判断③；易得45分钟乙仓库派送快件
数量为180件，利用总量除以时间求出速度，据此判断②；求出乙仓库快件的总数量，设x分钟后，两仓
库快递件数相同，根据题意得：240-4x=40+6x，求解即可判断④.
2．（2分）（2021八上·南京期末）甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，
两人先相向而行，甲到达B地后停留20min 再以原速返回A地，当两人到达A地后停止骑行.设甲出发x
min后距离A地的路程为y km.图中的折线表示甲在整个骑行过程中y与x的函数关系.在整个骑行过程中，
两人只相遇了1次，乙的骑行速度（单位：km/min）可能是（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】D
【完整解答】解：由函数图象知，A、B两地的距离为25km，甲往返的时间为50+50+20=120（min），
∵两人到达A地后停止骑行，且在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，
∴乙的骑行的速度至少为25÷120= （km/min），
∵ ＞0.2， ＜0.25，
∴乙的骑行速度可能是0.25km/min，
故答案为：D.
【思路引导】由函数图象知A、B两地的距离为25km，甲往返的时间为50+50+20=120（min），由于两人到达A地后停止骑行，且在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，可求出乙的骑行的速度至少为
25÷120= （km/min），然后判断即可.
3．（2分）（2021八上·包河期末）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，
先到终点的人原地休息、已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲
出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：①乙用6分钟追上甲；②乙步行的速度为60米/分；
③乙到达终点时，甲离终点还有400米；④整个过程中，甲乙两人相聚180米有2个时刻，分别是t=18和
t=24．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②④
【答案】A
【完整解答】解：由题意可得：甲步行的速度为 （米 分）；
由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，
故①结论符合题意；
∴乙步行的速度为 米/分，
故②结论符合题意；
乙走完全程的时间 （分），
乙到达终点时，甲离终点距离是： （米），
故③结论不符合题意；
设9分到23分钟这个时刻的函数关系式为 ，则把点 代入得：，解得： ，
∴ ，
设23分钟到30分钟这个时间的函数解析式为 ，把点 代入得：
，解得： ，
∴ ，
把 分别代入可得： 或 ，
故④不符合题意；
故正确的结论有①②．
故答案为：A．
【思路引导】根据题意，结合函数图象对每个结论一一判断即可。
4．（2分）（2021八上·深圳期末）如图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘
客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公
交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏；根据这两种
意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（ ）
A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元
B．图②能反映公交公司意见C．图③能反映乘客意见
D．图②中当乘客量为1.5万时公交公司收支平衡
【答案】D
【完整解答】解：A、图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元，表达合理，该选项
不符合题意；
B、图②能反映公交公司意见，表达合理，该选项不符合题意；
C、图③能反映乘客意见，表达合理，该选项不符合题意；
D、图②中实线表示提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，表达不合理，该选项符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】根据图②中提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，判断D选项错误即可。
5．（2分）（2021八上·和平期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时
间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．有下列说法：
①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为 ；③观察第40天时，
该植物的高度为14厘米：④该植物最高为15厘米．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．②③ D．①②③④
【答案】C
【完整解答】解：∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，故①的说法不符合题意；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），{30k+b=12
∴ ，
b=6
{ 1
k=
解得 5，
b=6
∴直线AC的解析式为y= x+6（0≤x≤50），故②的结论符合题意；
当x=40时，y= ×40+6=14，
即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法符合题意；
当x=50时，y= ×50+6=16，
即该植物的高度为16厘米；故④的说法不符合题意．
综上，正确的是②③，
故答案为：C．
【思路引导】①根据平行线之间的距离相等，可知50天后植物的高度不变，也就是停止生长；②设直线
AC的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法，求出线段AC线段的解析式即可；③把x=40代入②的
结论进行计算即可得解；④把x=50代入②的结论进行计算即可得解。
6．（2分）（2021八上·深圳期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙
两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距 千米；
②乙车比甲车晚出发 小时，却早到 小时；
③乙车出发后 小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距 千米时， 或
其中正确的结论有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【完整解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为 ，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发
1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都符合题意；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为 ，
把 代入可求得 ，
，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为 ，
把 和 代入可得 ，解得 ，
，
令 可得： ，解得 ，
即甲、乙两直线的交点横坐标为 ，
此时乙出发时间为 小时，即乙车出发 小时后追上甲车，故③符合题意；
令 ，可得 ，即 ，
当 时，可解得 ，当 时，可解得 ，
又当 时， ，此时乙还没出发，
当 时，乙到达B城， ；
综上可知当t的值为 或 或 或 时，两车相距50千米，故④不符合题意；
综上可知正确的有①②③共三个，
故答案为：C．
【思路引导】结合函数图象，对每个结论一一判断即可。
7．（2分）（2021八上·淮北月考）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，
图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错
误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时 B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇 D．甲到B地比乙到A地早 小时
【答案】D
【完整解答】试题分析：A．由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，不合题意；
B．∵乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，故乙行驶全程所用时间
为： = （小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A地，故甲车整个过程所用时间为：
1.75﹣0.5=1.25（小时），故甲车的速度为：100÷1.25 =80（km/h），故B不合题意；
C．由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60=100，故两车相遇，故C不合题意；
D．由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣ = （小时），符合题意．
故答案为：D．
【思路引导】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得到答案。
8．（2分）（2021八上·长清期中）东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途
中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程
中离家的路程y（米），y（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的是（
1 2
）
①两人前行过程中的速度为200米/分；
②m的值是15，n的值是3000；
③东东开始返回时与爸爸相距1500米；
④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【完整解答】解：由图可得，
两人前行过程中的速度为4000÷20＝200（米/分），故①符合题意；
m的值是20−5＝15，n的值是200×15＝3000，故②符合题意；
爸爸返回时的速度为：3000÷（45−15）＝100（米/分），
则东东开始返回时与爸爸相距：4000−3000＋100×5＝1500（米），故③符合题意；
运动18分钟时两人相距：200×（18−15）＋100×（18−15）＝900（米），
东东返回时的速度为：4000÷（45−20）＝160（米/分），
则运动30分钟时，两人相距：1500−（160−100）×（30−20）＝900米，故④符合题意，
∴结论中正确的是①②③④．
故答案为：D．
【思路引导】根据题意和图像中的数据可以判断各个小题中的说法是否正确。9．（2分）（2021八上·宝安期末）如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，点 ，
D为线段 的中点，P为y轴上的一个动点，连接 、 ，当 的周长最小时，点P的坐标为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：如图，作点E关于y轴的对称点F，连接 ，交y轴于点Q，则 ，连接 ，
的周长 ，点 是定点，则 的长不变，
当 重合时， 的周长最小，
由 ，令 ，令 ，则
∵D是BC的中点∴D(32，2)
∵E(1，0)，点F是E关于y轴对称的点
∴F(−1，0)
设直线DF的解析式为：y=kx+b，将D(32，2)，F(−1，0)代入，
0=−k+b2=32k+b
解得k=45b=45
∴直线DF的解析式为：y=45x+45
令x=0，则y=45
即P(0，45)
故答案为：A
【思路引导】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，结合点D为线段BC的中点，可
求出点D的坐标，作点E关于y轴的对称点F，连接DF，交y轴于点Q，则QE=QF，连接PF，点D，E
是定点，则DE的长不变，利用待定系数法可求出直线DF的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，
即可求出点P的坐标。
10．（2分）（2021八上·枣庄月考）小明同学利用周末从家里出发骑自行车到某小区参加志愿服务活动、
活动结束后原路返回家中，他离家的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象如图中折线
所示，若 ，小明返回时骑行的平均速度是前往某小区时的平均速度的
，根据图中数据，下列结论中，正确的结论的是（ ）
①某小区离小明家12千米；②小明前往某小区时，中途休息了0.25小时；
③小明前往某小区时的平均速度是16千米/小时；
④小明在某小区志愿服务的时间为1小时；⑤a的值为 ．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【完整解答】解：由 的纵坐标为12，可得某小区离小明家12千米；故①符合题意；
，则小明前往某小区时，中途休息了0.25小时，故②符合题意；
由小明前 小时的平均速度为： 千米/小时，
所以小明后段的速度与前段的速度相等，
所以后段的时间为： 小时，
小明前往某小区时的平均速度为： 千米/小时，故③不符合题意；
所以小明在某小区志愿服务的时间为1小时，故④符合题意；
返程时的速度为： 千米/小时，
返程用的时间为： 小时，小时，故⑤符合题意；
综上：正确的有：①②④⑤，
故答案为：C
【思路引导】根据图象直接判断①②④；用小明前往某小区的路程除以时间即可求出平均速度，可以判断
③；求出返程的速度，然后用路程除以速度即得返回时间，再加上2即可判断⑤。
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·鄞州期末）如图，直线l：y＝x+1与x轴交于点A，与直线l：y＝ x+2交于
1 2
点B，点C为x轴上的一点，若△ABC为直角三角形，则点C的横坐标为 .
【答案】（2，0）或（5，0）
【完整解答】解：∵直线l：y＝x+1与x轴交于点A，
1
∴A（﹣1，0），
由 解得 ，
∴B（2，3），
当∠ACB＝90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同，
∴C（2，0）；
当∠ABC＝90°时，则AC2＝AB2+BC2，
设C（x，0），则AC2＝（x+1）2，AB2＝（2+1）2+32，BC2＝（2﹣x）2+32，
∴（x+1）2＝（2+1）2+32+（2﹣x）2+32，
解得x＝5，∴C（5，0），
综上，点C的坐标为（2，0）或（5，0）.
故答案为：（2，0）或（5，0）.
【思路引导】易得A（-1，0），B（2，3），当∠ACB＝90°时，C点的横坐标与B的横坐标相同，不难得
到点C的坐标；当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，设C（x，0），然后表示出AC2，AB2，BC2，利用勾
股定理求出x的值，进而可得点C的坐标.
12．（2分）（2021八上·丹东期末）如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一个圆
柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上），现将甲容器中的水匀速注入乙容器，
甲、乙两个容器中水的深度 与注水时间 （分钟）之间的关系如图2所示，若乙容器中铁块的体积
是 ，则甲容器的底面积是 ．
【答案】80
【完整解答】设甲容器的底面积为 ，乙容器的底面积为 ，
∵拐点（3，17），
∴铁块的高度为17cm，
∴铁块的底面积为 =12（ ），
设 =kx+15，
把（5，0）代入，得5k+15=0，
解得k=-3，∴ = -3x+15，
当x=3时，
=6，
∴6 =（25-17） ，
即 = ，
∵9 =（17-2）（ -12），
∴ =80（ ），
故答案为：80．
【思路引导】先利用待定系数法求出 = -3x+15，再根据6 =（25-17） ，可得 = ，结合9
=（17-2）（ -12），即可得到 =80（ ）。
13．（2分）（2021八上·普宁期末）如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线
AP⊥AB于点A若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角
线与△AOB全等，则OD的长为 ．
【答案】1+ 或3
【完整解答】解：在y＝﹣2x+2中，
当x＝0，则y＝2，当y＝0，则x＝1，∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB＝ ，
①当∠ACD＝90°时，如图1，
∵△AOB≌△DCA，
∴AD＝AB＝ ，
∴OD＝1+ ；
②当∠ADC＝90°时，如图2，
∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝2，
∴OA+AD＝3，
综上所述：OD的长为1+ 或3．
故答案为：1+ 或3．
【思路引导】在y＝﹣2x+2中，当x＝0，则y＝2，当y＝0，则x＝1，得出OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB，①当∠ACD＝90°时，②当∠ADC＝90°时，分别求出OD的长即可。
14．（2分）（2021八上·顺德期末）A、B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步
行从B地出发前往A地．如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲、乙两人与A地的距离y 、y 与时间x
甲 乙
之间的函数关系，且OP与EF相交于点M．下列说法：
①y 与x的函数关系是y ＝﹣6x+12
乙 乙
②点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇
③甲骑自行车的速度是18千米/小时
④经过 或 小时，甲、乙两人相距5千米．其中正确的序号有 ．
【答案】①②③
【完整解答】解：设直线EF的解析式为y=ax+b，将点E（0，12）、F（2，0）代入，得
{ b=12 {a=−6
，解得 ，
2a+b=0 b=12
∴直线EF的解析式为y=-6x+12，故①符合题意；
由图象可知：点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇，故②符合题意；
∵甲的速度为 km/h， km，
∴点M的坐标为（0.5，9），
设直线OP的解析式为y=kx，将点M坐标代入，得k=18，
∴直线OP的解析式为y=18x，
∴甲骑自行车的速度是18千米/小时，故③符合题意；
当 时，解得x= ；
当 时， ，当 时，解得x= （舍去）；
当 时，解得x= ，
∴经过 或 小时，甲、乙两人相距5千米．故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【思路引导】根据题意和函数图象中的数据，可得出直线EF的解析式为y=-6x+12，故①符合题意；由图
直接可以判断②；由两人相遇地点与A地的距离是9千米，甲用时0.5小时可判断③；求出线段OP对应的
函数关系式以及当甲到达B地时，乙离B地5千米所走的时间为 小时即可判断 ④。
15．（2分）（2021八上·阳山期末）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为
圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为 ．
【答案】（3 ﹣3，0）
【完整解答】解：当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则A（﹣3，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B（0，3），
所以AB＝ ，
因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，
所以AC＝AB＝ ，所以OC＝AC﹣AO＝ ﹣3，
所以的C的坐标为（ ﹣3，0），
故答案为（ ﹣3，0）．
【思路引导】因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，得出AC的值，在得出OC的值，即可
得出点C的坐标。
16．（2分）（2021八上·诸暨期末）如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，
点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B
点的坐标为 ．
【答案】（2，0）或( ，0)或（ ，0）
【完整解答】解：如图，过点A作AC⊥OM，AD⊥ON，
令x=0，则y=3，
令y=0，则x=3，
∴M（0，3），N（3，0），∴OM=ON=3，
∴MN=3 ，∠M=45°，
∵AN＝2AM，
∴AM= ，
∴AC=CM=1，
∴OC=2，
∴OA= ，
当点B在x轴正半轴时，OB=OA= ，点B （ ，0），
1
当点B在x轴负半轴时，OB=OA= ，点B （- ，0），
2
当AB=OA时，OD= =1，
∴OB=2OD=2，
∴点B （2，0），
3
∴点B的坐标为（2，0）或（ ，0）或（- ，0）.
【思路引导】过点A作AC⊥OM，AD⊥ON，先求出OA的长，再分三种情况讨论：当点B在x轴正半轴
时，OB=OA，当点B在x轴负半轴时，OB=OA，当AB=OA时，求出OB的长，即可得出点B的坐标.
17．（2分）（2021八上·枣庄月考）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和
乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，
y 表示乌龟所行的路程，y 表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
1 2
②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是
．（把你认为正确说法的序号都填上）【答案】①②
【完整解答】由图像可得，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，
故①符合题意；
由图像可得，乌龟在60分的时候到达终点，兔子在50分的时候到达终点，
∴兔子先到达终点，
故②符合题意；
由图像可得，乌龟0分的时候出发，兔子40分的时候出发，
∴兔子比乌龟晚出发40分钟，
∴③不符合题意；
设y=kx+b（k≠0）（40≤x≤60）．
1 1 1
根据图示知，该直线经过点（40，600），（60，1000），
则 ，
解得 ，
所以该函数解析式为y=20x-200（40≤x≤60），
1
同理，y=100x-4000（40≤x≤50），
2
当y=y 时，兔子追上乌龟，
1 2
此时20x-200=100x-4000，
解得：x=47.5，
∴y=y=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟．
1 2
故④不符合题意．
∴正确的说法是①②．
故答案为：①②．【思路引导】根据函数图象中的数据，可以直接判断出①②③，再根据函数图象中的数据，可以分别求出
得当40≤x≤60时，y 与x的函数关系式和当40≤x≤50时，y 与x的函数关系式，然后理工它们的函数值相
1 2
等，即可得到兔子在多少米处追上乌龟，从而可以判断④。
18．（2分）（2021八上·青岛期中）已知A、B、C三地顺次在同一直线上，A、C两地相距1400千米，甲
乙两车均从A地出发，向B地方向匀速前进，甲车出发5小时后，乙车出发，经过一段时间后两车在B地
相遇，甲车到达B地后便在B地卸货，卸完货后从B地按原车速的 返回A地，而乙车到B地后立刻继
续以原速前往C地，到达C地后按原车速的 原路返回A地，结果甲乙两车同时返回A地，若两车间的
距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）之间的关系如图所示，则甲车在B地卸货用了 小时．
【答案】1.5
【完整解答】解：根据题意得：
甲车原来的的速度为：300÷5＝60（千米/时），
乙车原来的的速度为：（60×10﹣200）÷（10﹣5）＝80（千米/时），
设甲车出发x小时后得到B地，根据题意得：
60x＝80（x﹣5），
解得x＝20，
所以A、B两地的距离为：60×20＝1200（千米），
所以B、C两地的距离为：1400﹣1200＝200（千米），
乙车前往C地和返回A地所用时间为：200÷80+1400÷（80× ）＝16.5（小时），所以甲车在B地卸货所用时间为：16.5﹣1200÷（60× ）＝1.5（小时）．
故答案为：1.5
【思路引导】根据题意可得出甲、乙两车原来的速度，根据两车在B地相遇，列方程即可求出A、B两地
的距离，再次根据路程=速度×时间，即可得解。
19．（2分）（2021八上·沙坪坝期末） 2020年1月15日上午八点，重庆马拉松赛在南滨路鸣枪起跑.为
庆祝重马十周年，小明和小红约定一起参加迷你马拉松跑（全长5000 米）.比赛开始前，两人约定，完成
总路程的 时，速度快的人要在原地停留等待对方.比赛正式开始后，两人均匀速向前.已知小明率先完
成全程的 ，并立刻停下，待小红追上时再次以原速匀速出发.一段时间后，小明体力不支，降速为原来
的 后匀速前进，最后同时与小红到达终点. 在此过程中，小红速度保持不变.如图是小明和小红之间的
距离y（米）与两人出发的时间x（分钟）之间的函数图象.则小明开始降速时，小明距离终点还有
米.
【答案】1600
【完整解答】解：小红速度保持不变.跑完全程用 分钟，
小红速度为： 米/分，小明跑完1000米时所用时间为： ，
小明的速度为 米/分，
小红完成1000米时间为： 分，
设小明由跑x分钟后速度降为原来的 ，速度为 米/分，
根据题意 ，
解得 ，
小明距离终点= 米.
故答案为：1600.
【思路引导】先利用小红速度保持不变.跑完全程用 分钟，求出小红跑的速度 米/分，再利用
小红与小明完成1000米时所用时间相同，距离相差 求出时间 ，再求出小明的速度为
米/分，小红追上时时间为： 分，设小明跑x分钟后速度降为原来的 ， 利用后4000米路程构造
方程；根据题意 ， 解得 ，利用剩下的时间乘以小明降速后的速
度计算即可.20．（2分）（2020八上·青岛期末）学校“青春礼”活动当天，小明和妈妈以不同的速度匀速从家里前往
学校，小明害怕集合迟到先出发2分钟，随后妈妈出发，妈妈出发几分钟后，两人相遇，相遇后两人以小
明的速度匀速前进，行进2分钟后，通过与妈妈交谈，小明发现忘记穿校服，于是小明立即掉头以原速度
的2倍跑回家中，妈妈速度减半，继续匀速赶往学校，小明到家后，花了3分钟换校服，换好校服后，小
明再次从家里出发，并以返回时的速度跑回学校，最后小明和妈妈同时到达学校．小明和妈妈之间的距离
y与小明出发时间x之间的关系如图所示．则小明家与学校之间的距离是 米．
【答案】1760
【完整解答】解：小明离家2分钟走了160米，
∴小明初始速度为160÷2＝80米/分；
小明返回家速度为80×2＝160米/分，妈妈继续行进速度80÷2＝40米/分；
小明在家换衣服3分钟时间，妈妈走了40×3＝120米，
设小明换好衣服离开家到与妈妈同时到达学校的时间为t分，
则有160t＝1200+120+40t，
∴t＝11，
∴小明离家距离为11×160＝1760米．
故答案为：1760米．
【思路引导】根据函数图象可知，小明除法2分钟后走了160米，据此得出小明原来的速度，进而得出小
明回时的速度。
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·胶州期末）某种植户准备将一批农产品运往外地销售，计划同时租用运输公司的
A，B两种型号的货车，租车费用分别是380元/辆，180元/辆，已知A，B两种型号货车的运载能力如图
所示．该种植户计划一次性运完21吨农产品，且每辆车都恰好载满货物，请你帮助他设计一种最省钱的租车方案．
【答案】解：设1辆A型车满载时一次可运货x吨，1辆B型车满载时一次可运货y吨，
依题意，得： ，
解得： ．
∴1辆A型车满载时一次可运货5吨，1辆B型车满载时一次可运货2吨．
设租用a辆A型车，b辆B型车一次性运完21吨，
依题意，得：5a+2b=21，
∴b=10.5-2.5a．
∵a≥0，b≥0，
∴0≤a≤4.2，
设租车费用为w，
w=380a+180（10.5-2.5a）=-70a+1890，
∵-70＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a是整数，
∴a=4时，w有最小值，
∵a=4时，b=10.5-10=0.5，b不是整数，舍去；
∴a=3，b=3时，a 、b都是整数，符合题意，此时w有最小值，
w=-70×3+1890=1680．
∴最省钱的租车方案是租用3辆A型车，3辆B型车，最少租车费是1680元．
【思路引导】设1辆A型车满载时一次可运货x吨，1辆B型车满载时一次可运货y吨，根据题意列出方
程组，再设设租用a辆A型车，b辆B型车一次性运完21吨，列出二元一次方程，求整数解即可。22．（7分）（2021八上·铁西月考）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙
两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）（1分）A，B两城相距 千米；
（2）（5分）当1≤t≤4时，求乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式；
（3）（1分）乙车出发后 小时追上甲车．
【答案】（1）300
（2）解：设乙对应的函数解析式为y=mx+n，
，
解得 ，
即乙对应的函数解析式为y=100x-100(1≤t≤4)；
（3）1.5
【完整解答】解：（1）由图可知，
A、B两城相距300千米；
故答案为：300；
（3）设甲对应的函数解析式为：y=kx，
300=5k，
解得，k=60，
即甲对应的函数解析式为：y=60x，
令60x=100x-100，解得x=2.5，
2. 5-1=1.5（小时），
即乙车出发后1.5小时追上甲车；故答案为：1.5．
【思路引导】（1）观察图象的纵坐标可知，A、B两城相距300千米；
（2） 设乙对应的函数解析式为y=mx+n， 将（1，0）（4，300）代入可得关于m、n的方程组，解之即
可；（3）利用待定系数法求出甲对应的函数解析式，求出图象中两直线交点的横坐标即可.
23．（5分）（2020八上·蜀山月考）医药研究所试验某种新药效时，成人如果按剂量服用，血液中每毫升
含药量y（毫克）随时间x的变化如图所示，如果每毫升血液中含药量超过4微克（含4微克）时治疗疾病
为有效，那么有效时间是多少小时？
【答案】解：当 时，设 ，
把 代入上式，得 ，
∴ 时， ；
当 时，设 ，
把 ， 代入上式，得 ， ，
∴ ，
把y=4代入 ，得 ，
把y=4代入 ，得 ，
则 小时．
∴这个有效时间为 小时，【思路引导】首先直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求出 时，函数的解析式 ；
时，函数的解析式为 ，再据图象可知每毫升血液中含药量为 微克是在两个函
数图象上都有，所以把 ，分别代入 ， ，计算出各自的对应时间，两个
时间差即为有效时间．
24．（9分）（2021八上·海曙期末）我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色
消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规
范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外
摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：
甲商品 乙商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品 件，甲、乙商品全部销售完后
获得的利润为 元．
（1）（4分）求出 与 之间的函数关系式；
（2）（5分）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使
得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？
【答案】（1）解：由题意可得：
，
∴ 与 之间的函数关系式为
（2）解：由题意，可得： ，
解得： ，∵ ，
∴ ，
∴ 随 增大而增大，
∴ 时， 的值最大，购进乙商品的件数为 ，
答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大．
【思路引导】（1）甲种商品的数量+乙种商品的数量=100；再根据总利润y=甲种商品的数量×甲种商品每
一件的利润+乙种商品的数量乙种商品每一件的利润，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）根据乙商品的件数≥甲商品件数×3，列出不等式，可得到x的取值范围；再利用一次函数的性质可
求出结果.
25．（8分）（2021八上·南京期末）A、B两地相距60km.甲、乙两车从A地出发去B地，乙车的速度是
甲车速度的4倍，甲车比乙车早1h出发.甲、乙两车距离A地的路程y（km）与乙车出发的时间x（h）之
间的函数关系如图①所示.
（1）（1分）甲车的速度是 km/h；
（2）（3分）乙车出发几小时后追上甲车？
（3）（4分）设两车之间的距离为s km，甲车行驶的时间为t h，在图②的平面直角坐标系中画出s与t
的函数图象（请标出必要的数据）.
【答案】（1）15
（2）解：∵甲车速度是15km/h，
又乙车的速度是甲车速度的4倍，
∴乙车速度是15×4=60km/h，
所以，乙车追上甲车时间为： （h），即：乙出发 h后追上甲.
（3）解：如图
【完整解答】解：（1）15÷1=15（km/h）.
故答案为：15；
【思路引导】（1）由于图象反应的是甲、乙两车距离A地的路程y（km）与乙车出发的时间x（h）之间
的函数关系，又已知甲车比乙车早1h出发，可求出甲车的速度；
（2）利用已知乙车的速度是甲车速度的4倍，可求出乙车的速度，然后列式计算求出乙车追上甲车时间；
（3）利用（1）（2）中的相关数据，找出几个关键点：①甲出发一个小时后乙出发，此时两车相距15千
米；②甲出发 小时，已追上甲，两车之间的距离是0；③甲出发2小时候，乙到了B地，两车相距30千
米，④甲继续行驶2小时到达乙地，画出s与t的函数图象.
26．（5分）（2021八上·南山期末）甲，乙两地相距300千米．一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙
地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间
的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，线段CD对应
的函数解析式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5），在轿车行进过程中，轿车行驶多少时间，两车相距15千米？
【答案】解：由图象可得，当1.5≤x≤2.5时，轿车的速度为80÷（2.5﹣1.5）＝80（千米/时），
货车的速度为：300÷5＝60（千米/时），
当轿车行驶到点C时，两车相距60×2.5﹣80＝150﹣80＝70（千米），
∴两车相距15千米时，在CD段，
由图象可得，OA段对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x＝3.6或x＝4.2，
3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
即在轿车行进过程中，轿车行驶2.1小时或2.7小时时，两车相距15千米．
【思路引导】分两种情况：相遇前和相遇后两车相距15千米分别列出方程并解之即可.
27．（10分）（2021八上·南京期末）如图①，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三地.一辆慢车从A
地出发，沿公路匀速驶向C地.2小时后，一辆快车从C地出发，以每小时60千米的速度沿公路驶向B地，
到达B地后停止.慢车、快车离B地的距离 、 与慢车行驶时间 之间的函数关系如图
②所示.
（1）（1分）A、C两地之间的距离是 km，慢车的速度是 km/h；
（2）（3分）求点P的坐标，并解释点P的实际意义.
（3）（5分）画出两车之间的距离 与慢车行驶时间 之间的函数图象.【答案】（1）420；30
（2）解：∵慢车出发两小时后，快车才出发，
∴快车出发后，慢车与快车相遇的时间为 ，
∴P点的横坐标为2+4=6，
∵慢车在四小时内行驶的距离为30×4=120km，
∴P点纵坐标为120，
∴点P的坐标为（6，120），
∴点P的实际意义为：慢车出发6小时后与快车相遇，相遇时距离B第120km；
（3）解：∵慢车出发两小时后，快车才出发，
∴前两个小时内，快车与慢车的距离即为A、C两地的距离减去慢车行驶的距离；
∵当慢车行驶到B地后，快车出发，这时，快车与慢车相对行走，
∴快车与慢车的距离以每小时 的速度缩小，
∴快车与慢车在快车出发四小时后会相遇，相遇后快车与慢车的距离又以每小时 的速度增大，直
至快车到达2小时后到达B地，再快车与慢车的距离以每小时30km的速度增大，直至
小时后到达C地，
∴函数图象如下所示：【完整解答】解：（1）由函数图象可知，慢车从A地出发2小时行驶60千米后到达B地，
∴A地与B地的距离为60千米，慢车的速度为
又∵一开始快车距离B地的距离为360千米，且快车是从C地出发，
∴C地与B地的距离为360千米，
∴A、C两地的距离 ，
故答案为：420；30；
【思路引导】（1）观察函数图象可知慢车从A地出发2小时行驶60千米后到达B地，由此可求出其速度；
同时可得到A地与B地的距离为60千米，观察图②可知一开始快车距离B地的距离为360千米，且快车
是从C地出发，由此可求出A，C两地之间的距离；
（2）点P是两图象的交点，根据题意可知慢车出发两小时后，快车才出发，可求出慢车与快车相遇的时
间及快车在4小时内行驶的距离，可得到点P的坐标，由此可得到点P表示的实际意义；
（3）根据题意可知前两个小时内，快车与慢车的距离即为A、C两地的距离减去慢车行驶的距离；再根
据当慢车行驶到B地后，快车出发，这时，快车与慢车相对行走，可知快车与慢车在快车出发四小时后会
相遇，相遇后快车与慢车的距离又以每小时90千米的速度增大，直至快车到达2小时后到达B地，再快车
与慢车的距离以每小时30km的速度增大，直至6小时后到达C地，然后画出图象即可.
28．（11分）（2021八上·鄞州期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以
OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
（1）（2分）求点A、C的坐标；
（2）（4分）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）（5分）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：A（2，0）；C（0，4）
（2）解：由折叠知：CD＝AD.设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：
此时，AD＝ ，
设直线CD为y＝kx+4，把 代入得
解得：
∴直线CD解析式为
（3）解：①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上.过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt ADP中，
△
AD＝ ，PD＝BD＝ ＝ ，AP＝BC＝2
由 得：，把 代入 得
此时
（也可通过Rt APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二△象限时，如图
同理可求得：
此时
综合得，满足条件的点 有三个，
分别为： .
【思路引导】（1）分别令直线解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，进而可得点A、C的坐标；
（2）由折叠知：CD＝AD，设AD＝x，则CD＝x，BD＝4-x，利用勾股定理求出x，可得AD的值，进而
得到点D的坐标，设直线CD为y＝kx+4，将点D坐标代入求出k的值，据此可得直线CD的解析式；
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0），②当点P在第一象限时，由
△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，则点P在直线CD上，过P作PQ⊥AD于点Q，易得AD、PD、AP的
值，然后根据△APD的面积公式求出PQ，进而可得x ，代入直线解析式中求出y的值，据此可得点P的
P坐标；③当点P在第二象限时，同理可得CQ、OQ的值，据此可得点P的坐标.
