文档内容
第 2 讲 概 率
[考情分析] 1.考查古典概型、几何概型及概率与统计的综合问题.2.概率与统计的综合问题
常以解答题的形式出现，中等难度．选择题、填空题考查古典概型、几何概型，中低等难度．
考点一 古典概型
核心提炼
1．古典概型条件
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
P(A)＝.
例1 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽
到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取 2张，共有15种取法，它们分别是
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，
(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是 4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，
(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.故选C.
(2)(2022·茂名模拟)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要，甲连续工作 2天
后休息1天，乙连续工作3天后休息1天，丙连续工作4天后休息1天，已知3月31日这一
天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10，…，29，
乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10，…，30，
丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9，…，29，
三人在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29，
∴三人同一天工作的概率为P＝＝.
规律方法 (1)求古典概型的概率的关键是正确列举出所有基本事件和待求事件包含的基本
事件．
(2)两点注意：①对于较复杂的题目，列出事件时要正确分类，分类时应不重不漏．②当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．
跟踪演练1 (1)(2022·赣州模拟)已知正方形ABCD的中心为M，从A，B，C，D，M五个点
中任取三点，则取到的三点构成直角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 从A，B，C，D，M五个点中任取三点的基本事件有 ABC，ABD，ABM，ACD，
ACM，ADM，BCD，BCM，BDM，CDM，共10个，其中可构成直角三角形的有 ABC，
ABD，ABM，ACD，ADM，BCD，BCM，CDM，共8个，
概率为P＝＝.
(2)(2022·临川模拟)将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体
中至少有两个面涂有红色的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图，两面是红色的正方体共有24个，三面是红色的正方体有8个，共32个，
故至少有两面是红色的正方体的概率为＝.
考点二 几何概型
核心提炼
1．几何概型条件
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝.
例2 (1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之
和大于，即x＋y>，则在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，
事件A“两数之和大于”即x＋y>中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几
何概型计算公式得P(A)＝＝.
(2)(2022·太原模拟)如图，三棱锥P－ABC的四个面都为直角三角形，PA⊥平面ABC，PA
＝，AC＝BC＝1，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，
则该点取自三棱锥P－ABC内的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意，三棱锥P－ABC外接球的球心为PB的中点，PB＝2，
设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，
则R＝1，
由于三棱锥P－ABC的体积为V ＝××1×1×＝，三棱锥P－ABC外接球的体积为V
P－ABC 球
＝πR3＝，所以P＝＝.
规律方法 (1)几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考
虑使用几何概型求解．
(2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在
坐标系中表示所需要的区域．
跟踪演练2 (1)(2022·合肥模拟)每逢春节，家家户户都要贴“福”字，“福”字，代表福气、
福运和幸福，某同学想给图中的“福”字镶边，为了测算“福”字的面积，在半径为30 cm
的圆形区域内随机投掷1 000个点，其中落在“福”字上的点有410个，据此可估计“福”
字的面积为________cm2(结果保留π)．
答案 369π
解析 设“福”字的面积为x cm2，则由题意可得＝，解得x＝369π.(2)(2022·泸州模拟)在[－11,6]内取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋2m，记事件A为“函数
f(x)有零点”，事件B为“函数f(x)只有负零点”，则P(A)＝________，P(B)＝________.
答案
解析 令f(x)＝－x2＋mx＋2m＝0，
当函数f(x)有零点时，由Δ＝m2＋8m≥0，得m≥0或m≤－8，
又因为m∈[－11,6]，所以m∈[－11，－8]∪[0,6]，
P(A)＝＝，
当函数f(x)只有负零点时，得
解得m≤－8，又因为m∈[－11,6]，
所以m∈[－11，－8]，
则P(B)＝＝.
考点三 概率与统计的综合问题
核心提炼
概率与统计的综合问题，要通过阅读，精准提炼有效解题信息，有时将统计中的频率近似作
为概率使用．
例3 某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量x(10≤x≤20，单位：公斤)，
其频率分布直方图如图所示．该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元，若供
大于求，剩余的削价处理，每处理 1公斤亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销
售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元．
(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间[580,760]内的概率．
解 (1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为
y＝
化简得，y＝
(2)①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间[10,12)的频率是
2×0.08＝0.16；海鲜需求量在区间[12,14)的频率是
2×0.12＝0.24；
海鲜需求量在区间[14,16)的频率是
2×0.15＝0.30；
海鲜需求量在区间[16,18)的频率是
2×0.10＝0.20；
海鲜需求量在区间[18,20]的频率是
2×0.05＝0.10.
这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为
(11×60－140)×0.16＋(13×60－140)×0.24＋(15×30＋280)×0.30＋(17×30＋280)×0.20＋
(19×30＋280)×0.10＝83.2＋153.6＋219＋158＋85＝698.8(元)．
②由于当x＝14时，30×14＋280＝60×14－140＝700(元)，
显然y＝在区间[10,20]上单调递增，
由y＝580＝60x－140，得x＝12，
由y＝760＝30x＋280，得x＝16.
日利润y在区间[580,760]内的概率即海鲜需求量x在区间[12,16]的频率为0.24＋0.30＝0.54，
所以可估计日利润在区间[580,760]内的概率为0.54.
规律方法 (1)概率与统计的综合问题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题
中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据
题目要求进行相关计算．
(2)在求解该类问题时要注意两点：
①明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．
②此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．
跟踪演练3 (2022·哈尔滨模拟)医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一
个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重．比如身高175 cm的人，其标准
体重为175－105＝70(kg)，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了．已
知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6
身高(cm) 165 171 160 173 178 167
体重(kg) 60 63 62 70 71 58
(1)从编号为1,2,3,4,5的这5人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；
(2)依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的线性回归方程y＝0.65x＋a，
但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行残差分析．按经验，对残差在区间(－3.4,3.4)之外的同学要重新采集数据．问上述随机抽取的
编号为3,4,5,6的四人中，有哪几位同学要重新采集数据？
解 (1)由表可知：
1号同学的标准体重为165－105＝60(kg)；
2号同学的标准体重为171－105＝66(kg)；
3号同学的标准体重为160－105＝55(kg)；
4号同学的标准体重为173－105＝68(kg)；
5号同学的标准体重为178－105＝73(kg)；
故3号、4号同学体重超标．
从5人中任选2人的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，
(3,5)，(4,5)，共10个，
恰有1人体重超标包含的基本事件有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,5)，(4,5)，共6个，
恰有1人体重超标记为事件A，则P(A)＝0.6.
(2)因为＝＝169，
＝＝64，
回归直线必过样本点的中心(169,64)，得64＝0.65×169＋a，即a＝－45.85，
所以线性回归方程为y＝0.65x－45.85，
残差分析：
e＝62－0.65×160＋45.85＝3.85，
3
e＝70－0.65×173＋45.85＝3.4，
4
e＝71－0.65×178＋45.85＝1.15，
5
e＝58－0.65×167＋45.85＝－4.7，
6
故3号、4号和6号同学需要重新采集数据．
专题强化练
一、选择题
1．(2022·新余模拟)种植某种树苗，现采用随机模拟的方法估计种植这种树苗5棵恰好成活
4棵的概率．先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2至9的数字代表成活，0
和1代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生如下30
组随机数：
69801 66097 77124 22961 31516 29747
24945 57558 65258 74130 23224 37445
44344 33315 27120 21782 58555 6101745241 92201 83005 94976 56173 16624
30344 01117 70362 44134 74235 34781
据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为( )
A．0.37 B．0.40 C．0.34 D．0.41
答案 B
解析 根据30组随机数可知，种植5棵恰好4棵成活的有66097,77124,22961,33315,21782,
45241,56173,16624,30344,70362,44134,34781，共12个，所以该树苗种植5棵恰好4棵成活
的概率为＝0.40.
2．(2022·九江模拟)传说中古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示
数，他们将1,3,6,10,15，…，，称为三角形数；将1,4,9,16,25，…，n2，称为正方形数．现
从1到50的自然数中任取1个，取到的数既不是正方形数，也不是三角形数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在1到50的自然数中，三角形数有1,3,6,10,15,21,28,36,45，
正方形数有1,4,9,16,25,36,49，
则1到50的自然数中，既不是正方形数，也不是三角形数的有50－14＝36(个)，
故所求概率P＝＝.
3．有一个底面圆的半径为1, 高为2的圆柱，点O ，O 分别为这个圆柱上底面和下底面的
1 2
圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O，O 的距离都大于1的概率为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题设，到O ，O 的距离都大于1的部分为圆柱体去掉以底面为最大轴截面的两个
1 2
半球体，
所以到O，O 的距离都大于1的部分的体积为V＝2π×12－π×13＝，
1 2
故点P到点O，O 的距离都大于1的概率P＝＝.
1 2
4.(2022·玉林模拟)有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹．”芍药不仅观赏性强，且具有药用
价值．某地打造了以芍药为主的花海大世界．其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部
分都是以正方形的顶点为圆心、正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的(如
图所示)．白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍．倘若你置身此正方形花海之中，则
恰好处在红芍中的概率是( )
A．1－ B.－ C.－1 D.答案 A
解析 由题意，设正方形的边长为2，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为r＝1，
可得正方形的面积为S＝2×2＝4，
阴影部分的面积为S＝S－4×πr2＝4－π，
1
根据面积比的几何概型，可得恰好处在红芍中的概率是P＝＝＝1－.
5．智慧城市是通过利用各种信息技术和创新概念，将城市的系统和服务打通、集成，以提
升资源运用的效率，优化城市管理和服务，以及改善市民生活质量．智慧城市目前落地的领
域主要集中在智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区，是智能化社会
建设的实验田．我国某省会城市欲从中选择其中的三个方面进行智慧城市建设试点，则智慧
政务被选择的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区分别为 A，B，C，
D，E，则从中任选三项的选法有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，E)，(A，C，D)，(A，
C，E)，(A，D，E)，(B，C，D)，(B，C，E)，(B，D，E)，(C，D，E)，共10种不同的分
配方法，其中包含智慧政务的选法有6种，所以智慧政务被选择的概率为.
6．(2022·太原模拟)已知x的取值范围为[0,10]，如图输入一个数 x，使得输出的 x满足
67时，由63.841，且4.040<5.024，
因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关．
(2)采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，
这9人中男生的人数为4，设为a，b，c，d，女生的人数为5，设为1,2,3,4,5，
则从这9人中抽取2人的情况有ab，ac，ad，a1，a2，a3，a4，a5，bc，bd，b1，b2，b3，
b4，b5，cd，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共
36种；
其中这2人中至少抽到一名女生的情况有 a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，
c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共30种．
所以从这9人中抽取2人进行面对面交流，至少抽到一名女生的概率P＝＝.
