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2025二轮复习专项训练21
计数原理与概率
[考情分析] 1.高考中主要考查两个计数原理、排列与组合的应用，对二项式定理的考查以
求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，常以选择题、填空题的形式出
现，难度中等偏下.2.高考中对此概率内容多以实际材料为背景，主要考查随机事件的概率
及古典概型、条件概率的计算，也考查概率与统计的综合应用，选择题、填空题或解答题
中均有出现，难度中等偏下．
【练前疑难讲解】
一、排列与组合问题
1．两个计数原理
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可
能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、
直观化．
2．解排列组合问题要遵循两个原则：
一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排
列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位
置)．
二、二项式定理
1．二项式定理的常用结论
(1)(a－b)n＝Can－Can－1b＋Can－2b2＋…＋(－1)kCan－kbk＋…＋(－1)nCbn.
(2)(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
2．求解二项式有关问题时，一定要注意“二项式系数”与“项的系数”之间的区别与联系．
三、概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
2．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.
3．相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
4．若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A)．
5．全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝
1 2 n 1 2 n i
1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)·P(B|A)．
i i
一、单选题
1．（22-23高三下·湖北·阶段练习）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活
学科网（北京）股份有限公司动，现有 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一
名志愿者，且甲不在 小区的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河北·期末）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，
进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆 开展志愿服务工作．若要求每
个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆 时，场馆 仅有2名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁丹东·一模） 的展开式中常数项为（ ）
A．24 B．25 C．48 D．49
4．（2024·北京·三模）已知 的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为
（ ）
A． B．240 C．60 D．
二、多选题
5．（2024·广东广州·一模）甲箱中有 个红球和 个白球，乙箱中有 个红球和 个白球
（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件
和 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 表示从
乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三上·湖北·阶段练习）投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率
为p，记 表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 与 是互斥事件 B．
C． D．
三、填空题
7．（21-22高三上·山东·开学考试）设 ，则 除以9所得的
余数为 ．
8．（2024·广东江苏·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲
的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮
比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字
的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的
卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4
名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的
三位偶数，这样的数有（ ）个．
A．24 B．30 C．36 D．60
3．（2024·山东日照·一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》
引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影
片的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．38种 D．45种
4．（2024·辽宁大连·一模）将 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，
其中 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
5．（2024·广东·模拟预测）若 ，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．6 B．16 C．26 D．36
6．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、
猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的
年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
7．（2024·海南海口·模拟预测）在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量
教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排
甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地
区至少安排1名专家的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地
取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件 ，“第二次取到红球”为事
件 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率
分别为 ，加工出来的零件混放在一起．已知第 台车床加工的零件数的比为
，现任取一个零件，记事件 “零件为第i台车床加工” ，事件
“零件为次品”，则 （ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
10．（2024·辽宁·二模）某公司的员工中，有 是行政人员，有 是技术人员，有
是研发人员，其中 的行政人员具有博士学历， 的技术人员具有博士学历，
的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术
学科网（北京）股份有限公司人员的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节
课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
13．（2024·江西·二模）在 的展开式中（ ）
A．二项式系数之和为 B．第 项的系数最大
C．所有项系数之和为 D．不含常数项
14．（2024·山东青岛·三模）某新能源车厂家 2015 - 2023 年新能源电车的产量和销量数据
如下表所示
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
产量（万台) 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0
销量 （万台) 2.3 5.7 13.6 14.9 15.0 15.6 27.1 29.7 31.6
记“产销率” 年新能源电车产量的中位数为 ，则（ ）
A．
B．2015 - 2023 年该厂新能源电车的产销率与年份正相关
C．从 2015 -2023 年中随机取 1 年，新能源电车产销率大于 的概率为
学科网（北京）股份有限公司D．从 2015 -2023 年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于 的条件
下，这2年中新能源电车的产销率都大于 的概率为
三、填空题
15．（2024·浙江·二模）某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2
个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级
的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有 种不同的排课方式.（用
数字作答）
16．（2024·浙江·三模）甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2
人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
种. (用数字作答)
17．（23-24高三上·湖南张家界·阶段练习）为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志
愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有
种分配方法（用数字作答）；
18．（2023·全国·模拟预测）已知 的展开式中的常数项为240，则 ．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛
（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不
同的安排方法有（ ）
A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种
2．（22-23高三上·全国·阶段练习）将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，
4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（
）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙
两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
4．（2023·广东茂名·二模）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该
三位数能被3整除的概率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
5．（2024·浙江嘉兴·二模）6位学生在游乐场游玩 三个项目，每个人都只游玩一个
项目，每个项目都有人游玩，若 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A．180种 B．210种 C．240种 D．360种
6．（2024·辽宁大连·一模） （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·重庆·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.
设 ， ， 为整数，若 和 被 除得余数相同，则称 和 对模 同余.记为
.若 ， ，则 的值可以是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．（2024·辽宁抚顺·一模）若 的展开式中含 项的系数为10，则 的值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（22-23高二下·江苏南通·期中）已知随机事件 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为
90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在
该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最
早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二
项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正
确的是（ ）
A． .
B．由“第 行所有数之和为 ”猜想： .
C．第20行中，第11个数最大.
D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.
12．（2024·广东佛山·一模）有一组样本数据 ，添加一个数 形成一组新的数据，
且 ，则新的样本数据（ ）
A．第25百分位数不变的概率是
B．极差不变的概率是
C．平均值变大的概率是
D．方差变大的概率是
13．（2024·云南·模拟预测）现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个
红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内
装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入
学科网（北京）股份有限公司与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法
正确的是（ ）
A．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为
B．第二次抽到蓝色球的概率为
C．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子
D．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放
法共有150种
14．（2024·全国·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的
研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，
记为a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若
，a≡b（mod 10），则b的值可以是（ ）.
A．2019 B．2023 C．2029 D．2033
15．（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为 ，
设事件 “ 为整数”， “ 为偶数”， “ 为奇数”，则（ ）
A． B．
C．事件 与事件 相互独立 D．
三、填空题
16．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国
传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体
.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿 的六个顶点，
要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的
装饰方案共有 种.
学科网（北京）股份有限公司17．（23-24高二下·重庆·阶段练习）近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的
美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五
个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一
次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段
完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在
晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有 种方案.
18．（2024·江西·模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，
宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，
分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然
一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文
赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至
少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作
答）
19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若一个 位数，各位从高到低分别为 ，
且满足 ，我们便将其称之为“递减数”.那么正整数之中任取”递减数”，
则在其中取到一个偶数概率是 .
学科网（北京）股份有限公司
