文档内容
第 2 讲 数列解答题（数列求通项）
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一： 法
突破二： 法
突破三：累加法
突破四：累乘法
突破五：构造法
突破六：倒数法
突破七：隔项等差
突破八：隔项等比
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、对于数列 ，前 项和记为 ；
① ；②
①-②：
法归类
角度1：已知 与 的关
用 ，得到 例子：已知 ，求
系；或 与 的关系
角度 2：已知 与 替换题目中 例子：已知 ；
的 关 系 ； 或 与 的 已知
的关系
角度3：已知等式中左侧含 作 差 法 （ 类 似
例子：已知 求
）
有：
2、对于数列 ，前 项积记为 ；① ；②
① ②：
法归类
角度 1：已知 和
例子： 的前 项之积 .
角度1：用 ，得到
的关系
角度 2：已知 和
角度 1：用 替换题目中 例子：已知数列 的前n项积为 ，且
的关系
.
3、累加法（叠加法）
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列 的通项时，利
{a } n+1 n {a } {a }
n n n
用恒等式
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)求
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
4、累乘法（叠乘法）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的通项时，利用
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
具体步骤：将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
5、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
n+1 n
p
（其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而
a +m=k(a +m) k−1 {a +m} {a +m}
n+1 n n n
{a }
求出数列 的通项公式.
n
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，kp≠0）
n+1 n
类型2：用“同除法”构造等差数列
a a
（1）形如 a =qa+p⋅qn+1 (n∈N¿) ，可通过两边同除 qn+1，将它转化为 q n n + + 1 1 = q n n +p，从而构造数列
n+1 n
{a } {a }
n n
为等差数列，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
qn qn {a }
n
（2）形如 ，可通过两边同除 ，将它转化为 ，换元令：
qn+1
，则原式化为： ，先利用构造法类型1求出 ，再求出 的通项公式.
{a }
n
1 1
（3）形如 的数列，可通过两边同除以 ，变形为 − =−k 的形式，从而
a −a =ka a (k≠0) a a a a
n n+1 n+1 n n+1 n n+1 n
{1 } {1 }
构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
a a {a }
n n n
6、倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形为
n+1 pa+q
p,q
pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
= + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，即可求得 .
a a q a a q a a a
n+1 n n+1 n n n n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两边取“倒”，变
p,q
形为 ，可通过换元： ，化简为： （此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
n+1 n
p
法”将原等式变形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.）
7、隔项等差数列
已知数列 ，满足 ，
则 ；
（其中 为常数）；或 则称数列 为隔项等差数
列，其中：
① 构成以 为首项的等差数列，公差为 ；
② 构成以 为首项的等差数列，公差为 ；
8、隔项等比数列
已知数列 ，满足 ，
则 ；
（其中 为常数）；或 则称数列 为隔项等比数列，其中：
① 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
② 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
第二部分：重难点题型突破
突破一： 法
1．（2022·河北张家口·高三期中）已知正项数列 的前n项和为 ，其中
．
(1)求 的通项公式，并判断 是否是等差数列，说明理由；【答案】(1) ，数列 不是等差数列，理由见解析；
【详解】（1）由 得，当 时， ，两式相减得
，整理得 ，
因为数列 为正项数列，所以 ，则 ，即 ，
在 中，令 ，则 ，
解得 或-1（舍去），所以 ，
所以数列 从第2项起为等差数列，公差为2，
所以 ，数列 不是等差数列.
2．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，若 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当 时， ，解得 ；
当 时，由 ，得 ，
两式相减可得 ， ，又 ，
，即 是首项为 ，公差为 的等差数列，
因此， 的通项公式为 ；
3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知正项数列 的前 项和 ，且 .
(1)证明：数列 为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ .当 时， ，
∴ ，即 ，
故 是首项为1，公差为1的等差数列；
4．（2022·江苏南通·高三期中）已知 为正项数列 的前n项和，且 ，当 时，
.
(1)证明 为等差数列，并求 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 为等差数列.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
当 时，
，
当 时， ，所以 .
5．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知数列 满足
.
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
【详解】（1）由题，当 时， ，即 .
①
当 时， ②
①-②得 ，所以 .
当 时， 也适合 ，
综上， .
6．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列 的各项均为正数，且对任意的 都有
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ，
【详解】（1）解：因为 ， ，
当 时， ，
两式相减，得 ，即 ．
又当 时， ，得 ，满足上式．
所以 ， ．
7．（2022·福建·泉州五中高三期中）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ．且 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由已知得： ，
因为 ， ，
所以 ，且 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ， ．
8．（2022·湖北襄阳·高三期中）已知数列 满足
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，当 时，由 ，
可得 ，
上述两个等式作差可得 ，则 ，
又 也满足 ，所以 的通项公式为 .
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和 ，满足 ， .求证：
数列 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【详解】 ， ，而有 ，于是得 ，
显然 ， ，因此 ，
所以数列 是首项 ，公差为 的等差数列.
突破二： 法
1．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知数列 满足 ， ， 为其数列 的前 项积，且
.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）∵ 为 前 项积，且 ，则 ，
∴ ，则 ，
又∵ ， ，则 时上式也成立 ，
∴ 成首项为1，公比为-2的等比数列，
故 ， .
2．（2021·陕西·咸阳市实验中学高二阶段练习（理））已知 为数列 的前 项积，且 ， 为数
列 的前 项和，满足 （ ， ）.(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵ ， ，
， ，
（ ）
而 ， 数列 是首项为2，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
而 ， ， ， 均不满足上式.
3．（2022·河南安阳·高三期中（理））已知数列 的各项均不为0，其前 项的乘积 .
(1)若 为常数列，求这个常数；
(2)若 ，设 ，求数列 的通项公式.
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）已知 ，当 时，有 ，
因为 为常数列，所以
故这个常数为2.
（2）已知 ，
所以当 时， ，
两边同时取对数，则 ，
当 时， ， ，
因此 的首项为1，且从第二项开始，是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，所以
所以数列 的通项公式为 .
4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列 的前n项积为 ，且满足a＝1， .
1
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
（1）因为 ，则 ，所以 ，
显然 ，所以 ，即 ，
故数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ，
5．（2022·河北邢台·高三开学考试）数列 的前n项积 .数列 的前n项和 .
(1)求数列 、 的通项公式.
(2)求数列 的前n项和.
【答案】(1) ， ，
(2) 前n项和为 ，
（1） 前n项积为 ，
①n＝1时， ，② 时， ， ，
符合上式，∴ ， ， .
的前n项和为 ，
①n＝1时， ，
② 时， ，
，
符合上式，∴ ， ；
（2）
记 前n项和为
①
②
①－②得
∴ ，
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，各项均为正数的数列 的前 项积为
，且 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)证明： 为等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）解：当 时， ， ，
当 时， ，
所以 ，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；
（2）证明： ， ，
当 时， ，则 ，
由于 ，则 ，
所以数列 是等比数列.
7．（2022·湖北·模拟预测）已知数列 前 项和 ， 的前 项之积 .
(1)求 与 的通项公式.
【答案】(1) ，
(1)解：（1）由 ，
当 时，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ，
由 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ；
突破三：累加法
1．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知数列 满足数列 为等比数列，
，且对任意的 ．
(1)求实数 的值及 的通项公式；
【答案】(1) ；
【详解】（1）设 的公比为 ．．
，解得 ．
又 ．
，
， 时，
当 时， 满足解析式，所以 的通项公式为 ．
2．（2022·陕西宝鸡·高三期中（文））设数列 满足 ，且 .
(1)求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析， ;
【详解】（1）由已知得 ， 即 ，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当 时， ,
当 时， 也满足上式，所以 ;
3．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知数列 满足： ．
(1)证明数列 为等差数列，并求数列 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析，
（1）由 ，
故数列 是以2为首项，公差为2的等差数列，
∴ ，
∴ ，
当 时， 满足 ，
故对 ．
4．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））在数列 中， ，且对任意的 ，都
有 .(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
（1）由 ，可得
又 ， ，
所以 .
所以 首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 .
所以 .
又 满足上式，所以
突破四：累乘法
1．（2022·河北张家口·高三期中）已知正项数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由条件可知， ,
得 ，
当 时，
，
当 时， 成立，
所以 ；
2．（2022·湖南岳阳·高二期中）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)【详解】（1）解：由已知， 时， ，
与已知条件作差得：
所以 ，
所以 ,n=1成立
3．（2022·福建·高三阶段练习）设数列 的前 项和为 且 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由 ，得 ，
当 时， ，
，即 ，
，
当 时，上式也成立，
；
4．（2022·湖北·高三阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 是公差为2的等差数列．
(1)求 的通项公式以及 ；
【答案】(1) ， ；
【详解】（1）解：由题意可知 ，
整理可得 ，①
则 ，②
由②-①可得 ，
整理可得 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
．
5．（2022·江苏泰州·高三期中）设数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，所以， ，则 ，
所以， ，
也满足 ，故对任意的 ， .
突破五：构造法
1．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知数列 中, , ．
(1)求证: 是等比数列,并求 的通项公式;
【答案】(1)证明见解析,
【详解】（1）证明:
,
,
故数列 是以 为首项,4为公比的等比数列,
,
即 ．
2．（2022·重庆八中高三阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等
差数列.
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
（1） ， ，即 ；当 且 时， ，
即 ， ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，则 .
3．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知数列 满足 ，且 ．
(1)若 ，证明：数列 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列
4．（2022·辽宁·高二阶段练习）设数列 的前n项和为 ，若对任意的正整数n，都有 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：∵ 对任意的正整数都成立，
∴ ，
两式相减，得 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 是以2为公比的等比数列，由已知得 ，
，
即 ；
5．（2022·黑龙江实验中学高三期中）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；【详解】（1）当 时， ，即 ，解得 ；
当 时，∵ ，∴ ，
两式作差得 ，
即 ，
∴ ，又 ，
∴数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
∴ ，
突破六：倒数法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .求数列 的通项公式;
【答案】
【详解】 ， ， ，即 ，解得： ；
由题意知： ；由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，则 .
2．（2022·全国·高三专题练习）对负整数 ，数 、 、 依次成等差数列．
(1)求 的值；
(2)若数列 满足 ， ，求 的通项公式；
【答案】(1)
(2)
（1）解：由题意可得 ，整理可得 ，
为负整数，解得 .（2）解：因为 ，等式两边同时除以 可得 ，
所以，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 ，因此， .
3．（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）已知正项数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：由 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，故 ．
4．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列 的通项公式为 ，
(1)求数列 的通项公式.
【答案】(1)
(1)解：因为 ，
所以 ，
则 ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，证明：数列 是等
比数列
【答案】证明见解析
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，∴ 是以 为首项，3为公比的等比数列.
突破七：隔项等差
1．（2022·山西运城·高三期中）已知正项等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）法1： 数列 为等差数列，且前 项和为 满足 .
，
数列 通项公式为 .
法2： .
当 时， ，
，
.
数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列.
为等差数列，通项公式为 .2．（2022·江苏盐城·高三期中）数列 中， ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
【详解】（1）由 ① ②，
②-① ，
∴ 的奇数项与偶数项各自成等差数列，
由 ，∴ ，
∴ ，∴ ，n为奇数，
，∴ ，n为偶数．
∴ .
3．各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ∴ （ ）
两式相减得 ，即
又因为 的各项均为正数，所以 （ ）
当 时，由 得 ，所以
故 是以 为首项，公差为 的等差数列
∴ .
4．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)求 ；
【答案】(1) ；
（1）
由 ，，
可得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
即 ；
突破八：隔项等比
1．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列 满足 ， ， .
求数列 的通项公式 ；
【答案】(1)
解：由题意，当 时， ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以， ，
所以数列 的奇数项和偶数项都是公比为 的等比数列.
所以当 为奇数时，设 ，则 ，
当 为偶数时，设 ，则 .
因此， .
2.若数列 ， ， ，求数列 的通项公式.
答案
当 是奇数时： ，整理得 ；当 是偶数时： ，整理得解：因为 ，所以 ，两式相除： ，所以 是隔项等比数列；
构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
当 是奇数时： ，整理得
当 是偶数时： ，整理得
第三部分：冲刺重难点特训
1．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知数列 的前 项和为 ， ，且
．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，所以当 时 ．
因为 ，所以 ， ，即 ．
所以 ，两式相减可得 ．
又 ， ，所以 ，则 ．
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．因此 ．
2．（2022·全国·模拟预测）已知 为数列 的前n项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由 ①，得 ②，
②－①得 ，
则 ，
当 时， ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
所以 ，则 ．
3．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由 ，两边同时除以 可得： ，
故数列 为以 为公差的等差数列，则 ，即 ，
当 时， ，
将 代入上式，可得 ，则 满足上式，
故数列 的通项公式 .
4．（2022·江苏盐城·模拟预测）已知数列 满足 ， ( )，且 (
)．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ， ；
【详解】（1）因为 ， ， ，
可得 ， ，
又 ，则当 时，
，
上式对 也成立，
所以 ， ；
5．（2022·江苏南通·模拟预测）已知数列 满足 ， ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1)见解析
(2)
（1）因为 ，所以 ，
从而 ，
因为 ， ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由(1)可知， ，
故当 时， ， ， ， ， ，
由各式相加可知， ，
故 ，
当 时， 也满足，
故数列 的通项公式为： .
6．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列 满足 ， .有以下三个条件：① （， ）；② ；③ （ ）；从上述三个条件中任选一
个条件，求数列 的通项公式和前 项和 .
【答案】 ，
【详解】解：选①由 （ ， ）得 ，
故 是公比为2的等比数列，则
即 ，故 是公差为 的等差数列，
则 ，即 .
选②由 得 ，
故
化简得 ，即 也满足
选③由 （1）得
当 时， （2）
由（1）－（2）得 ，故 也满足，
因此，
两式相减得
化简得
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列 的前项和为 ，若 ，且
.
(1)求 的通项公式;
【答案】(1)(1)由 得： ，
则当 时， ，
又 ， ， ，
经检验： 满足 ；
.
8．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知数列 前n项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
两式相除，得 ，整理为 ，
再整理得， ．
所以数列 为以2为首项，公差为1的等差数列．
9．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ，
(1)求
【答案】(1)
【详解】（1）根据题意可得 ，当 时， ，解得 ，
由 ， 代入得 ，整理后得
，即 ，根据等差数列的定义可知，数列
是首项为1，公差为1的等差数列，则 ，
10．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学模拟预测（理））已知数列 的前n项和为 ，满足，数列 满足 ，且
(1)求数列 和 的通项公式；
【答案】(1) ，
【详解】（1）∵ ，∴ ，两式相减得：
，∴ ，又 ，∴ ，
∴ 是以首项为1，公比为2的一个等比数列，∴ ；
由 得： ,又
∴ 是以首项为1，公差为1的一个等差数列，
∴ ，∴ ；
11．（2022·全国·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 ；
【答案】(1)
（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
即 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 ，
12．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知数列 的前 项和为 ， 为等差数列 的前 项
和，且满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
【答案】(1) ，
【详解】（1）①当 时， ；
②当 时， ，
③将n=1代入 中得： 符合.∴ ，
设等差数列 的公差为d，
则 ，解得： ，
∴ .
13．（2022·广西·模拟预测（理））设数列 的前 项和为 ，且满足
(1)求数列 的通项公式 ；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，解得
当 ， 时， ，
所以 ，得
即 ，可知数列 是首项为1，公比为5的等比数列，
所以
