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专题5.28 相交线与平行线常见几何模型（知识梳理与考点分类讲解）
【模型一】猪蹄型
已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E.
证明：如图，过点E作MN//AB.
∵MN//AB（作辅助线）.
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.
∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知）
∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行）
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2=∠BED（等式性质）
∴∠B+∠D=∠BED（等量代换）
拓展与延伸：延伸与拓展：朝左的角之和=朝右的角之和
【模型二】铅笔型
解：（1）∵AB∥CD（已知）
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，
∵AB∥EF，AB∥CD（已知）
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质）
∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换）
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD（已知）
∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式
性质）
∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换）
延伸与拓展：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线
平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°．
【模型三】前扬角型
∠B=∠E+∠C过点E作GF//AB
∵AB∥CD（已知）
∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.
∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质）
∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换）
【模型四】后翻角型
结论：∠C=∠E+∠B
证明：过点E作GF//AB
∵AB∥CD（已知）
∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.
∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质）
∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换）
【模型五】潜望镜模型
如下图：【模型六】综合型
∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC
综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。
【考点1】猪蹄型模型； 【考点2】铅笔型模型；
【考点3】前扬角型模型； 【考点4】后翻角型模型；
【考点5】潜望镜模型； 【考点6】楼梯模型.
【考点一】猪蹄型模型
【例1】（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟
悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】（1）如图1， ， 为 、 之间一点，连接 、 ．可以得到 与
、 之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线 ，若 ， ，求 的度数．【答案】（1） ，理由见分析；（2）
【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和
判定定理，并能熟练应用．
（1）过点 作 ，利用平行线的性质即可解答；
（2）先利用三角形的内角和定理可得 ，从而利用对顶角相等可得 ，
然后利用“猪蹄模型”可得 ，最后进行计算即可解答．
解：（1） ，
理由：如图，过点 作 ，
，
，
，
，
，
；
（2） ， ，
，
，
，
由（1）可得： ，
，
．
【举一反三】
【变式1】（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，已知直线 ，将一个含 角
的直角三角板如图放置，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，过点A作 ，利用平行线的性质可以推出∠1+∠2=90°，由此即可得到答案．
解：如图所示，过点A作 ，
∵ ，
∴ ，
∴∠1=∠BAD，∠2=∠CAD，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=30°，
∴∠2=90°-∠1=60°，
故选B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2023上·四川眉山·七年级期末）如图，一副三角板的一边重合，得到四边形ABCD，过
点A作直线AE∥BC，∠1的度数为 ．【答案】15°/15度
【分析】延长 、 相交于点 ，根据 和 是一副三角板求出 的度数，再根据
即可求出 的度数．
解：延长 、 相交于点 ，如图所示
∵ 和 是一副三角板
∴ ， ，
∴
∴
∵
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一副三角板的度数、平行线的性质等知识点，解答本题的关键是牢记三角板
各个角的度数，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解．
【考点二】铅笔型模型
【例2】（2020下·江西南昌·七年级阶段练习）阅读第（1）题解答过程填理由，并解答第（2）题．
（1）已知：如图1， ， 为 之间一点，求 的大小．解：过点 作
， （已知），
______________，
，
，，
．
（2）我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圈）如图2，刀片上、
下是平行的，转动刀片时会形成 和 ，那么 的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由．
【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；（2）不改变，理由见分析
【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2）如解图所示，过点P作PM∥AB，根据平行线的判定定理可得 ，然后根据两直线平
行，内错角相等可得∠1=∠APM，∠2=∠CPM，再根据∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，即可得出结论．
解：（1）过点 作 ，
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
，
，
，
．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行．
（2）不改变，理由如下
如图所示，过点P作PM∥AB，由题意可得 （已知），∠APC=90°
（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠APM，∠2=∠CPM，
∵∠APM＋∠CPM=∠APC=90°，
∴∠1＋∠2=∠APM＋∠CPM=90°．
∴ 的大小不会随刀片的转动而改变.
【点拨】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法、平行线的判定及性质是解决此
题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023下·七年级课时练习）轩轩准备参加马拉松比赛，得知一段跑道示意图（如图），其
中AB∥DE，测得∠EDC=110°，∠ABC=130°，则∠BCD的度数为（ ）
A．120° B．100° C．240° D．90°
【答案】A
【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠ABC，∠EDC，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得
∠BCD．
解：如图所示：过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，
∴DE∥CF，
∴∠BCF=180°-∠ABC =50°，∠DCF=180°-∠EDC =70°，
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=120°．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质和平行线公理．主要应用到两直线平行，同旁内角互补．能正确作
出辅助线是解决此题的关键【变式2】（2023上·甘肃·八年级校考阶段练习）如图，有三条两两相交的公路 、 、 ，从
地测得公路 的走向是北偏东50°，从 地测得公路 的走向是北偏西40°．若 、 、 的长分
别为 千米， 千米、 千米，点 是公路 上任意一点，则线段 的最小值为 千米．（用含 、
、 的式子表示）
【答案】
【分析】过C作 于P，依据 ，可得在 中，得出 ，代入数
值求解即可．
解：如图，过C作 于P，
由题可得， ，
∴ ，
∴
∴ 中， ，
∴ ，
即线段 的最小值为 ，
故答案为 ．【点拨】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了
数学应用于实际生活的思想．
【考点三】前扬角型模型
【例3】（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，已知， ，点
在 上，点 在 上．求证： ．
【类比迁移】（2）如图②， 、 、 的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】（3）如图③，已知 ， ， ，则 °．
【答案】（1）见分析；（2） ；（3）20
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
（1）过点 作 ，根据平行线的性质可求解；
（2）如图②，过 作 ，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图③，过 作 ，根据平行线的性质即可得到结论．
解：（1）证明：如图①，过点 作 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
，
，
即 ；
（2）解： ．
证明：如图②，过 作 ，，
∵ ，
∴ ，
，
，
即： ．
故答案为： ；
（3）如图③，过 作 ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
故答案为：20．
【举一反三】
【变式1】（2023下·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，AB CD，若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点E作 ，则 ，根据平行线的性质可得∠FEC=∠C，∠FEA=∠A，然后代入
数值计算即可．
解：过点E作 ，
又 ，
∴ ，
∴∠FEC=∠C，
又∠C=70°，
∴∠FEC=70°，
又∠AEC=28°，
∴∠FEA=∠FEC-∠AEC=42°，
又 ，
∴∠A=∠FEA=42°．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论等知识，添加辅助线 是解题的关键．
【变式2】（2022下·西藏那曲·七年级统考期末）如图， ，则 ， ， 的关系是
.【答案】
【分析】过 作 ，利用两直线平行同旁内角互补可得 ， ， 的关系．
解：过 作 ，
，
，
， ，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【考点四】后翻角型模型
【例4】（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）已知： ，点 为平面内一点，点 在
上，点 在 上，连接 、 ， 平分 交 于 ．（1）如图1， ， ，则 ______；
（2）如图2，延长 交 于点 ，若 ， ，求 ；
（3）当点 在 下方，若 ， ，请将图形补充完整，并求出 的度
数， 交 于点 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【分析】（1）过点 作 ，由平行线的性质可得出 因为 平分 ,可以得
出 ，再由平行线的性质推出 ；（2）过点 作 ，使 ，设 ，
则 ，由平行线的性质可得出 ， ，由 是角平分线可以求得
，最后根据平角的定义求出 ;（3）本题分两种情况讨论： 当 在 左侧
时, 过点 作 ,设 ，则 ,根据平分线定义，推出 ，再有平行线
性质得出 ，求出 ，最后得出 ； 当 在 右侧时，过点 作 ，
设 ，则 ,由平行线的性质得出 ，因为 平分 ，所以
，由 得出 ,再由平行线的性质得出
， .
（1）解：过点 作 ，使
， ，，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
（2）解：过点 作 ，使 ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，，
，
，
，
，
.
（3）解：①当 在 左侧时，过点 作 ，使 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
平分 ，
，
，
， ，
，
，
②当 在 右侧时，过点 作 ，使 ，， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
， ，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
或
答： 的度数为
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，角度的计算，关键要理解并且会应用平行线的
性质求角度，还要注意分类讨论的思想.
【举一反三】
【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）如图， ，则下列各式中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】略
【变式2】（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，有一块含有 角的直角三角板的两个顶点放
在矩形的对边上．如果 ，那么 的度数是 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，两直线平行，内错角相等计算即可．
解：如图：
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【考点五】潜望镜模型
【例5】（2023上·甘肃天水·七年级校考期末）如图所示的是一个潜望镜模型示意图， ， 代表
镜子摆放的位置，并且 与 平行，光线经过镜子反射时，满足 ， ．
证明离开潜望镜的光线 平行于进入潜望镜的光线 ．
请补全下述证明过程：
∵ ，∴ ______．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ______ ，
∴ ______．
∴ ______．
【答案】 ； ； ；（内错角相等，两直线平行）
【分析】根据平行线性质得出 ，求出 ，根据平行线判定推出即可．
解：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为： ； ； ；（内错角相等，两直线平行）．
【点拨】本题主要考查了平行线性质和判定的应用，解题的关键是根据平行线的判定和性质解答．
【举一反三】
【变式1】（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面
镜的镜面 与 平行，入射光线 与出射光线 平行．若入射光线 与镜面 的夹角 ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
由题意知， ， ，由 ，可得 ，进而可求 ．
解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式2】（2023下·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）如图是一块长方形 的场地，长
米，宽 米，从 、 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，
则草坪面积为 ．
【答案】
【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．
解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，
这个长方形的长是： 米，宽是： 米，
∴草坪的面积是： （平方米）．
故答案是： ．
【点拨】本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规
则图形进行求解．【考点六】楼梯模型
【例6】（2022下·甘肃陇南·七年级校考期末）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的
事，如图所示，
爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？”
小刚：“我早已用盒尺量好了，每阶高 ，宽为 …”
爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？”
小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．”
你认为小刚的方法可以吗？说明理由．
【答案】可以，理由见分析
【分析】根据题意可知地毯的宽度是确定的，求出长即可，再量出楼梯的总高和总长度相加得出答案．
解：可以，
如图所示：根据图示可得：
地毯的总长度 cm=3.15m．
【点拨】本题主要考查了平移的应用，确定地毯的长与楼梯的高和长度的关系是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022下·福建龙岩·七年级校考阶段练习）要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，则这根铁
丝至少长（ ）米？A．2.5m B．5m C．4m D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，即可求解．
解：这根铁丝至少长：（1.5+1）×2=5m，
故选：B．
【点拨】本题考查的是图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
【变式2】（2020上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）潜望镜中的两面镜子是
互相平行放置的，如图所示的光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，则可判断进入潜望镜和离开潜望
镜的光线是平行的，依据是： ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质和判定即可求解．
解：∵AB CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠EFG＝∠FGH，∴EF GH（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点拨】此题主要是综合考查了平行线的判定和性质，牢记内错角相等，两直线平行．
