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第二篇 解题技巧篇
技巧01 选择题解法与技巧（讲）
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（一）立德树人，“五育”并举
【典例1】（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨
临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【典例2】（2022·全国·统考高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：
h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【典例3】（2021年全国高考甲卷（理））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【典例4】（2021·全国·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题
是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高
度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”
则海岛的高 （ ）A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【典例5】（2020年新课标Ⅱ（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有
一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第
一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则
三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【典例6】（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．
已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为
p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【典例7】（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，
60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
（ ）A．62% B．56%
C．46% D．42%
【综合分析】
1.突出 “德育为先，立德树人”的思想理念. 以德育为背景的考题，多以民族精神、理想信念、道德品质、文
明行为、社会公德、遵纪守法、心理健康、悠久数学文化等生活内容为题材，复习中可适当关注.
2.突出“五育并举，全面发展”的思想理念.往往以重大体育赛事为背景，选择学生喜欢的足球、游泳、棋类、
田赛、竞赛等项目具体设计试题，突出发挥高考试题的体育教育功能.以我国古建筑、体育运动项目为背景，
设计数学计算问题，考查学生的分析问题能力、数学运算能力，以及数学文化素养，同时，将爱国主义教育、
美育教育融入其中，展示了数学之美，讴歌了中国劳动人民的勤劳与智慧．以美育为背景的考题，多以自然之
美和创作之美等为题材，同时，引导学生增强热爱劳动、热爱工作意识.
3.青少年的身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含健康情感的指标，
要求学生具有健康意识，注重增强体质，健全人格，锻炼意志品质.
（二）关注社会经济，增强实践意识
【典例8】（2022·全国·统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效
果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲
座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【典例9】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的
面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到
时，增加的水量约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
【典例10】（2020年（文）（新课标Ⅱ））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完
成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能
完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（
）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【综合分析】
“脱贫攻坚”、“南水北调”、“一带一路”、疫情防控等，是我国经济生活中的重大工程、重大事项，“垃
圾分类”是我们积极倡导的文明生活，以这些社会活动为背景设计考题，不但考查学生分析问题和处理数据的
能力，更有助于引导学生关注社会现实，关注经济发展，增强社会实践意识，也有助于学生体验数学的应用之
美.
（三）关注科技前沿，激发学习热情
【典例11】（2021年全国新高考II卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航
系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球
表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成
角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表
面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【典例12】（2020年新课标Ⅱ（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
A． B． C． D．
【综合分析】
1.以北斗三号全球卫星导航系统为背景设计试题，展示我国的航天事业的重要成果，突出发挥高考试题的德育
教育，同时引导学生关注社会、关注科技成果，激发学生学习热情.
2.以0-1周期序列在通信技术的应用为背景设计题目，考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对
新定义的理解能力以及数学运算能力，突出引导学生关注最新科技成果，激发学习热情.
方法技巧 典例分析
01 直接法
【核心提示】
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而
得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算
较简单的题目常用直接法.．
【典例分析】
典例1.（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒
张压数据（单位： ）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号
为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20
人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A．8 B．12 C．16 D．18
典例2.（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若 ，则 =（ ）
A．3 B．2 C． D．1
02 特例法
【核心提示】
从题干(或选项)出发，通过选取符合条件的特殊情况（特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等）代入，将问
题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略.
但要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求
解．
【典例分析】
典例3.（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环
绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
典例4.（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
03 排除法
【核心提示】
排除法(淘汰法、筛选法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，
排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.排除法使用要点：
1.从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项；
2.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件
在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特例（值）法、验证法等常结合使用.
【典例分析】
典例5.（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
典例6.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）当 时，不等式 成立.若
，则（ ）
A． B． C． D．
04 数形结合法
【核心提示】
有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、
形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.
【典例分析】典例7.（2020·北京高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
典例8.（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的
点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
05 估算法
【核心提示】
选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特
点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强
了思维的层次.
使用要点：
1.使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特例（值）法结合起来使用.
2.使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分
割、拼凑、位置估算.
【典例分析】
典例9.（2019年全国文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至
咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头
顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
典例10. (2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其
面积为9√3，则三棱锥D−ABC体积的最大值为（ ）
A. 12√3 B. 18√3 C. 24√3 D. 54√3
06 概念辨析法
【核心提示】
概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选出正确结论的方法.这
类题目一般是给出的一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析
有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心.
【典例分析】
典例11.（2023·全国·高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲
率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫
做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的
曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为
，故其总曲率为 .给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为 ；②任意四棱锥的总曲率均为 ；
③若某类多面体的顶点数 ，棱数 ，面数 满足 ，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
典例12.（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线
的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、
阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与
定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物
线.已知 是平面内两个定点， 且 |AB| = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ）
A．到 两点距离相等的点的轨迹是直线
B．到 两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆
C．到 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆
D．到 两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线
07 构造法
【核心提示】
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适
当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．常见构造函数、构
造（割补）图形、不等式或数列等.
【典例分析】
典例13.（2022·全国·高三专题练习）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的
四棱锥.现有一个“阳马”， 底面ABCD，底面ABCD是矩形，且 ，则这个“阳
马”的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
典例14.（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
