文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题23 概率、随机变量及其分布（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）若事件 与 相互独立，且 ，则
的值等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由相互独立事件的概率计算公式，我们易得 ，将 代入即可得到
答案.
【详解】因为事件 与 相互独立，由相互独立事件的概率计算公式，可得：
.
故答案选：B.
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且 ，
， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.
【详解】由题意， ，由 ， 是互斥事件知， ，
所以 ，
故选：A．
3．（2023·江苏南通·统考一模）已知随机变量 服从正态分布 ，有下列四个命题：
甲： ；乙： ；
丙： ；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答
案.
【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，
所以乙､丙一定都正确，则 ，
故甲正确，
根据正态曲线的对称性可得 ，故丁错.
故选：D.
4．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分（曲线
为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A．4772 B．6826 C．3413 D．9544
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的性质，求得 ，进而求得落入阴影部分点的个数的估计值.
【详解】由题意，曲线 为正态分布 的密度曲线，可得 ，
所以落入阴影部分点的个数的估计值为 .
故选：B.
5．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车
是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据概率乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可.
【详解】两人在相同站点下的概率为： ，所以甲、乙二人在不同站点下车的概率为 ，
故选：C
二、多选题
6．（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先
后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件 ，则（ ）
A． B． 为互斥事件
C． D． 相互独立
【答案】AC
【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.
【详解】 正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”， 不互斥， 错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为 正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
7．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件 互斥， ，则
B．若事件 相互独立， ，则
C．若 ，则D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率以及全概率公
式可判断 .
【详解】对于A： ，正确；
对于B： ，正确；
对于C： ，
，
所以 ，解得 正确；
对于D：由C得 ，D错误，
故选：ABC.
三、填空题
8．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知随机变量 ，且 ，则
______.
【答案】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.
【详解】解：因为随机变量 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
9．（2023·全国·模拟预测）在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡
片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件 表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X
表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是______（填标号）.① ；②
；③ .
【答案】① ② ③
【分析】计算 ， 得到①正确； ，②正确； 的可能取值为
，计算概率再计算数学期望得到③正确，得到答案.
【详解】对选项①： ， ，故 ，①正确；
对选项②： ，② 正确；
对选项③： 的可能取值为 ，
； ； ；
； ，
，
，③正确.
故答案为：① ② ③四、解答题
10．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式､认知模式与思
维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考.某地对本地群众（中老年人与
年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：
年轻
中老年人 合计
人
经常电子阅读 50 35 85
经常纸质阅读 x y 115
合计 M N 200
设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为 ；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取的中
老年人数为 .已知 .
(1)求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有 的把握认为阅读习惯与年龄有关；
(2)从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出6人，再从抽出的6人中用简单随机抽样的方法抽取4人，若
其中经常电子阅读的人数为X，求 .
参考公式及参考数据：
，其中 .
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1) ，有 的把握认为阅读习惯与年龄有关
(2)
【分析】(1)根据题意，分析表格中的数据求出x、y、M、N的值，结合卡方公式计算和独立性检验的思想即可
下结论；(2)利用列举法写出所有的基本事件，结合古典概型的概率计算公式计算即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
解得 .
因为 ，
所以有 的把握认为阅读习惯与年龄有关.
（2）由题意可知，抽出的6人中，经常电子阅读的有3人，分别记为A，B，C，经常纸质阅读的有3人，分
别记为a，b，c，
从中抽取4人，则基本事件有
，共15种，
其中 的基本事件有 ，共9种
所以 .
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最
大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率
为p（ ），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最
大续航里程为X，且 ，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【分析】100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为 ，
，求导判断单调性，根据正态曲线的对称性可求解.
【详解】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为 ，则 ，则.当 时， ，所以 在 上单调递增；当
时， ，所以 在 上单调递减.所以 在 处取得最大值.所以
.
故选：A
二、多选题
2．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知随机变量 服从正态分布 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D． 的方差为2
【答案】AB
【分析】根据题意得出 ，结合正态分布图象的对称性，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【详解】因为随机变量 服从正态分布 ，
所以 ，
即此正态分布的图象关于 对称，由对称性可知 ，
所以 ，故A正确；
因为 和 关于 对称，而 和 不关于 对称，
由对称性可知 ， ，故B正确，C错误；
的方差为4，故D错误．
故选：AB．
三、填空题3．（2023秋·江苏·高三统考期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量 的取
值集合均为 ，则 的散度 .若 ， 的概率分布如下
表所示，其中 ，则 的取值范围是__________.
0 1
0 1
【答案】
【分析】根据已知公式得出 ，根据二次函数最值与不等式性质得出 ，即
可根据对数函数性质得出 ，即可得出答案.
【详解】根据已知公式 ，
得 ，
，
令 ，开口向下，对称轴为 ，
在 上， ，
则 ，则 ，
故答案为：
四、解答题
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生
产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、
丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
【答案】(1)
(2) ， ， .
【分析】(1)根据独立事件同时发生的概率计算公式求解；
(2)利用条件概率公式求解.
【详解】（1）设 表示“取到的产品是次品”，
表示“产品由甲工厂生产”， 表示“产品由乙工厂生产”，
表示“产品由丙工厂生产”，易知 ， ， 两两互斥，
根据题意得 ， ， ，
根据全概率公式可得
，
故取到次品的概率为 .
（2）“如果取到的产品是次品，计算分别出自三个工厂的概率”，
就是计算在 发生的条件下，事件 发生的概率.
同理可得 ，
所以如果取到的产品是次品，此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率分别是 ， ， .
5．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、
出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销
得到了销量 （单位：百万盒）与单价 （单位：元/盒）的如下数据：
6 6.2 6.4 6.6 6.8
50 45 45 40 35
(1)根据以上数据，求 关于 的经验回归方程；
(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验
良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中
“体验非常好”的人数为随机变量 ，求 的分布列和均值
参考公式：回归方程 ，其中 ， .
参考数据： ， .
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出 ，结合附录的数据和公式即可计算出回归直线方程；
（2）由题可知， 近似服从二项分布，根据步骤写出每个取值对应的概率，然后根据二项分布的期望公式计
算即可.
【详解】（1）根据表格数据可得， ， ，根据附注
公式： ，于是 ，故经验回归
方程为：（2）依题意， 可能的取值为 ，由于顾客人数很多，可近似认为 服从二项分布，即
， ，其中 .故 ，
， ， ， ， ，
， ， .
分布列为：
0 1 2 3 4 5 6 7 8
根据二项分布的期望公式，
6．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰
子．规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束．
(1)记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；
(2)已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为 ；
(2) .
【分析】（1）求出抛掷骰子一次获胜的概率，再求出X的可能值并求出对应的概率，列出分布列，求出期望
作答.
（2）利用独立事件的概率公式，求出甲抛掷第n次骰子且不获胜的概率的递推公式，再借助数列求解作答.
【详解】（1）依题意，抛掷骰子一次获胜的概率 ，
的可能值为1，2，3，4，
， ， ， ，所以 的分布列为；
1 2 3 4
期望 .
（2）设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为 ，
依题意， ，当 时， ，
因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
当 时，甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率 ，
显然当 时， 满足上式，
所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为 .
7．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投
资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况
发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为 ， ， ．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问
大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据 ， ）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2023年年底总资产可以翻一番【分析】（1）分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；（2）依题意列出等式，对
数运算即可求解 .
【详解】（1）若投资项目一，设获利为 万元，
则 的分布列为
30 -15
P
．
若投资项目二，设获利为 万元，
则 的分布列为
50 0 -30
P
．
．
，
，
，
这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，
依题意， ，即 ，两边取对数，得 ，
，
大约在2023年年底总资产可以翻一番．
8．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活
的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从
本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的
人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
报名人员数 /千人 5 7
录用人才数 /千人
(1)求出y关于x的经验回归方程；
(2)假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴
（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；
（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为 ， ．若两人的生活津贴之和的均
值不超过3万元，求 的取值范围．
附：经验回归方程 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
【答案】(1)
(2)（i）1060万元；（ii）
【分析】（1）根据所给数据求出 ， ，即可求出b^， ，从而求出回归直线方程；（2）（i）将 代入（1）中回归直线方程，求出 ，即可估计需要发放的生活津贴的总金额；
（ii）设小王和小李两人中被录用的人数为 ，则 的可能取值为 ， ， ，求出所对应的概率，即可求出数
学期望，即可得到 且 ，即可求出 的取值范围.
【详解】（1）由题意得 ， ，
所以 ，
故 关于 的经验回归方程为 ．
（2）（ⅰ）将 代入 ，得 ，
所以 （万元），
故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元．
（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为 ，则 的可能取值为 ， ， ，
则 ，
，
，
所以 ，
则 ，解得 ．
又 ，所以 ，则 ．故 的取值范围是 ．
9．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，
左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某
位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．
游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的
“右”字．
游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友
面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者
看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指
令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作
的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此
游戏完成一次．
游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲
得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙
两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位
小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游
戏中的指令动作的概率为 ，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ”，一次游戏中甲小朋
友的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分， 表示“甲小朋友的当前累计得分为i
时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
（i）证明： 为等比数列；
（ii）根据 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为
0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
【答案】(1)分布列见解析
(2)（i）证明见解析（ii）这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为
0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设【分析】（1）由题意知 所有可能的取值为 ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列；
（2）（i）由 ，求出 ，推导出 ， ，从而
， ，由此能证明 是以 为首项， 为公比的等
比数列；
（ii）推导出 从而 ，
累加求和得 ，求出 ，由此能求出 .
由此得到这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能
正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
【详解】（1）由题意知 所有可能的取值为 ，
，
，
，
所有分布列为：
0 1
（2）（i）证明：因为 ，
所以 ，
，，
因为 ，
所以 ，
整理得： ， ，
所以 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（ii）由（i）知
所以 ，
累加求和得 ，
所以 ，
所以
表示甲小朋友当前累计得分为 分时，本轮游戏最终甲获胜的概率，
由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，
乙小朋友完成一次游戏中的指令动作的概率为0.6，
本轮游戏中甲小朋友获胜的概率 ，
这种情况发生的概率比较小，能够说明这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，
乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
10．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语
文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
数学成绩 合计
不优
优秀
秀
不优秀 80 40 120
优秀 40 40 80
合计 120 80 200
(1)依据 的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为 ，求 的分布列与期望.
附：
参考公式： ，其中 .
【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关联.
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算出 ，比较临界值可得；
（2）确定 的取值可能为 ，求出语文数学成绩至少一门优秀的概率 ，然后由独立重复试验的概率公
式计算概率得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】（1）根据表格计算可得：
所以依据 的独立性检验，即认为数学成绩与语文成绩有关联；（2）语文数学成绩至少一门优秀的概率为 ，
因为 的取值可能为 ，
，
，
所以 的分布列为：
于是， ．
11．（2023秋·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互
不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得 分；如果
甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的
得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.
【答案】(1)0.432
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；
（2）写出X的可能取值及相应的概率，得到分布列；
（3）在第二问的基础上，写出Y的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值.
【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为 ，；
（2）X的可能取值为 ，0，1.
根据记分规则，得 ，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1
P 0.2 0.5 0.3
（3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为 .
由于两轮比赛的结果是独立的，所以
，
，
，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
故 .
12．（2023·全国·模拟预测） 年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮
点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以
此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取 个，将抽取到的传感
芯片的最高频率（单位： ）统计后，得到的频率分布直方图如图所示：(1)求这批芯片的最高频率的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差 ；
(2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率 服从正态分布 ．用样本平均数 作
为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于
的概率；
(3)若传感芯片的最高频率大于 ，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置 个传感
芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越
位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和
维护费用约为 万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为 万元/场，从单场比赛的成本考虑，
每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？
附： ， ， ．
【答案】(1) ，
(2)约为
(3) ，成本最低．
【分析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加，可得
出 ，利用方差公式可求得 的值；（2）求出 、 的值，利用 原则可求得 的值，即为所求；
（3）对 的取值进行分类讨论，求出每种情况下比赛的总成本，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可得
，
.
（2）解：由题意可得 ， ，则 .
因此，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于 的概率约为 .
（3）解：（i） 时，足球可以满足赛事要求的概率为 ，
期望成本 ；
（ii） 时，足球可以满足赛事要求的概率为 ，
期望成本 ；
（iii） 时，足球可以满足赛事要求的概率为 ，
期望成本 ；
（iv） 时，足球可以满足赛事要求的概率为 ，
期望成本 .
所以， 中， 最小.
综上， ，成本最低．
