文档内容
第4讲 概率与统计的创新题型（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】概率和数列的综合问题..................................................................................................2
【考点二】概率和函数的综合问题..................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................6
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅
读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、
各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
2．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，
经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有
相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
考点突破
【考点一】概率和数列的综合问题
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2024·山东聊城·三模）设正项数列 的前 项和 满足 表示从 个不同元素中任取
个元素的组合数，则 （ ）
A．512 B．1024 C．5120 D．10240
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 共有9项， ， ，且满足：
（ ， ），则符合条件的数列 共有（ ）个．
A．16 B．40 C．70 D．80
二、多选题
3．（2024·河南信阳·模拟预测）甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取
一个球交换放入另一口袋，重复进行 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球
的概率为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是等比数列 D． 的数学期望
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知随机变量X的分布列如下：
1 2 3 … n
…
若数列 是等差数列，则（ ）
A．若n为奇数，则 B．
C．若数列 单调递增，则 D．
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题
5．（2024·江西·一模）斐波那契数列 ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那
契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、
2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：
且 中，则B中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
四、解答题
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知有穷数列 的通项公式为 ，将数列 中各项重新排
列构成新数列 ，则称数列 是 的“重排数列”；若数列 各项均满足 ，则称数列
是 的“完全重排数列”，记项数为 的数列 的“完全重排数列”的个数为 ．
(1)计算 ， ， ；
(2)写出 和 ， 之间的递推关系，并证明：数列 是等比数列；
(3)若从数列 及其所有“重排数列”中随机选取一个数列 ，记数列 是 的“完全重排数列”
的概率为 ，证明：当 无穷大时， 趋近于 ．（参考公式： ）
规律方法：
概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率P 或均值E(X)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出
n n
通项公式．
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和．
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．
【考点二】概率和函数的综合问题
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）定义函数集
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学科网（北京）股份有限公司．已知函数
， ， ， ．若函数 ，则在 为奇函数的条件下，
存在单调递减区间的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·三模）有以下6个函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ .记事件 ：从中任取1个函数是奇函数；事件 ：从中任
取1个函数是偶函数，事件 的对立事件分别为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．（23-24高三上·河北邢台·开学考试）欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看
到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数
只有公约数1)的正整数的个数.例如： ， .现从 中任选两个数，
则这两个数相同的概率是 .
4．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数 称为高
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学科网（北京）股份有限公司斯函数，其中 表示不超过 的最大整数.设 ，则 除以2023的余数是 .
三、解答题
5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检
验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为
0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按 人一组分组，然后将 个人的血样混合再化
验，如果混合血样呈阴性，说明这 人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次
（每一小组都要按要求独立完成）， 取何值时，总化验次数最少？
说明：函数 先减后增.
0.8858 0.8681 0.8508 0.8337
6．（2024·广东·一模）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直
接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产
品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的产品判定为“不合格”，小于或等
于 的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为
；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，
以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
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学科网（北京）股份有限公司(1)当漏检率 时，求临界值 和错检率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．
规律方法：
构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．
专题精练
一、单选题
1．（2024·福建三明·三模）随机变量 ，函数 没有零点的概率是 ，则μ的值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·湖南常德·一模）将三个分别标注有 ，x， 的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒
中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为 .若 ，
则 在 上单调递减的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计
算速度和准确度.已知 ， ，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则 为整数
的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，
以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的
概率为 ，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定
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学科网（北京）股份有限公司律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则k的
值为（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
5．（2024·河南·二模）单调递增数列 满足： .在 的条件下， 的概率为
（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·云南·阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种
流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依
赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解
的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局
通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游
戏币到预期的 个.设当参与者手中有 个（ ）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为 ，
下列说法错误的是（ ）
A． ，
B．记 参与者通关的局数，在前13局中， ，
C．
D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为
7．（24-25高三上·福建·开学考试）某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇
号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为 ，
第二个月为 ，第三个月为 ，则平均每个人摇上需要的时间为（ ）个月.
A．7 B．8 C．9 D．10
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学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知A细胞有0.4的概率会变异成 细胞，0.6的概率死亡； 细
胞有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（ ）
A．一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75
B．一个细胞为A细胞，其死亡前是 细胞的概率为0.2
C．一个细胞为 细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35
D．一个细胞为 细胞，其死亡前是 细胞的概率为0.7
二、多选题
9．（2024·广西来宾·一模）甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者
将球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为P (n=1,2,⋯)，则下列
n
结论正确的是（ ）
A．经过一次传球后，球在丙中概率为
B．经过两次传球后，球在乙手中概率为
C．经过三次传球后，球在丙手中概率为
D．经过n次传球后，
10．（2024·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两
人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为 （
），则（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高二下·贵州贵阳·阶段练习）甲､乙､丙､丁4人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随
机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，
假设传出的球都能接住.记第 次传球之前球在甲手中的概率为 ，易知 .下列选项正确的是
（ ）
A．
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学科网（北京）股份有限公司B． 为等比数列
C．设第 次传球之前球在乙手中的概率为
D．第4次传球后，球落在乙手中的传球方式有20种
三、填空题
12．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一
款由 个黑白方块构成的 二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器
每秒能随机生成 个不重复的二维码，为确保一个 二维码在1分钟内被破译的概率不高于 ，则
的最小值为 .
13．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某公司加工一种芯片的不合格率为p，其中 ，若加工后的
30颗这种芯片中恰有6颗不合格的概率为 ，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当 取最大
值时， ．
14．（22-23高二下·北京丰台·期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每
次投掷结果是正面的概率为p（ ）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正
面的概率为 ，则 ；函数 取最大值时， .
四、解答题
15．（2024·浙江·三模）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某
校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪
击中靶心的概率为 ，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第 次
击中靶心的概率也为p，否则第 次击中靶心的概率为 ．
(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；
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学科网（北京）股份有限公司(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 ， 称为X的分布函数，
对于任意实数 ， ，有 ．因此，若已知X
的分布函数，我们就知道X落在任一区间 上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选
手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．
16．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五
个层级，分别对应如下五组质量指标值： .根据长期检测结果，得到
芯片的质量指标值 服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，其它产品称
为 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，用
样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保留小数点后
面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ，则
， . )
(2)（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的
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学科网（北京）股份有限公司芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 等品芯片
的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求 的值，使得
每箱产品的利润最大.
17．（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中
参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑
球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客
持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3次取球后持有分数 的数学期望 ；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为 分最终获得一等奖的概率为 ；
①证明： 是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
18．（2024·四川南充·一模）今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，
主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在
太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内
游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游
泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.
星期t 1 2 3 4 5 6
销售量y（张） 218 224 230 232 236 90
经计算可得： ， ， .
(1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔
除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，并且A套餐包含两张优惠券，B
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学科网（北京）股份有限公司套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为 ，求 ；
(3)请依据下列定义，解决下列问题：
定义：如果对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时， （a是一个确定的实
数），则称数列 收敛于a.
运用：记（2）中所得概率 的值构成数列 .求 的最值，并证明数列 收敛.
参考公式： ， .
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