文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题21 统计与统计案例（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）一种高产新品种水稻单株穗粒数 和土壤锌含量 有关，现整理并
收集了6组试验数据， （单位：粒）与土壤锌含量 （单位： ）得到样本数据 ，
令 ，并将 绘制成如图所示的散点图.若用方程 对 与 的关系进行拟合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对方程两边取对数，写出回归直线方程，再根据散点图的特征分析判断作答.
【详解】因为 ， ，令 ，则 与 的回归方程为 ，
根据散点图可知 与 正相关，因此 ，又回归直线的纵截距小于0，即 ，得 ，
所以 ， .
故诜：C
2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与
销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：
（单位：万元）.统计后制成的频率分布直方图如图所示.在选取的1000
台汽车中，销售价格在 内的车辆台数为（ ）A．800 B．600 C．700 D．750
【答案】C
【分析】根据给定的频率分布直方图，求出销售价格在 内的频率即可计算作答.
【详解】由频率分布直方图知，销售价格在 内的频率是 ，
所以1000台汽车中，销售价格在 内的车辆台数为 .
故选：C
3．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知一组样本数据 ， ，…， 的平均数为 ，由这组数据得
到另一组新的样本数据 ， ，…， ，其中 （ ，2，…，10），则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差不相同
C．两组样本数据的极差相同
D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为
【答案】C
【分析】根据平均数、方差和极差的计算公式判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，故A错；
，所以两组样本数据的方差相同，故B错；
新的样本数据的极差= ，所以两组样本数据的极差相同，故C正确；
样本容量为20的新的样本数据的平均数为 ，故D错.
故选：C.
4．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量
（单位： ）与相应的生产能耗 （单位： 标准煤）的几组对应数据：
3 4 5 6
标准
3 4
煤
已知该厂技术改造前 产品的生产能耗为 标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术
改造后 产品的生产能耗比技术改造前降低了（ ）
附：在线性回归方程 中， ，其中 为样本平均值.
A． 标准煤 B． 标准煤
C． 标准煤 D． 标准煤
【答案】A
【分析】根据表中数据和回归方程公式，代入求解得回归方程，并利用方程对数据进行估计即可.
【详解】 ， ，
， ，
所以线性回归方程为 ，
当 ， ， .
故选：A.
5．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调
查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意
度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据众数,平均数,中位数的概念和公式,带入数字,求出后比较大小即可.
【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即 ,
由表可知,组距为10,
所以平均数为: ,
故 ,记中位数为 ,
则有: ,
解得: ,即 ,
所以 .
故选：B.
6．（2023秋·浙江杭州·高三期末）冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超
过5人体温高于 ，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于 人数的统计量，能判定
该公司没有发生群体性发热的为（ ）
①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为2，标准差为 ．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案.
【详解】任意连续7天，每天不超过5人体温高于 的人数为2，2，2，3，3，4，6，
则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；
任意连续7天，每天不超过5人体温高于 的人数为0，1，2，4，4，4，6，
则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；
对于②，将 个数据从小到大排列为 ，， ，所以 ，
由于 是自然数，且 ，
所以 都不超过 ，②正确.
对于④，将 个数据从小到大排列为 ，
， ，
，
，
由于 是自然数，若自然数 大于 ，则 ，矛盾，
所以 都不超过 ，④正确.
综上所述，正确的为②④.
故选:D
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读情况，该校随机地从
全校学生中抽取1000名，统计他们年度阅读书籍的数量，并制成如图所示的频率分布直方图，由此来估计全
体学生年度阅读书籍的情况，下列说法中不正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)（ ）
A．该校学生年度阅读书籍本数的中位数为6
B．该校学生年度阅读书籍本数的众数为10
C．该校学生年度阅读书籍本数的平均数为6.88D．该校学生年度读书不低于8本的人数约为3600
【答案】ABD
【分析】根据频率分布直方图中中位数、众数、平均数的计算规则计算即可判断A、B、C，求出抽取的学生
年度读书不低于8本的频率之和，即可估计该校年度读书不低于8本的人数，从而判断D.
【详解】解：对于A：因为 ，所以中位数在 内，
设中位数为 ，则 ，解得 ，故A错误．
对于B：由图可知，众数在 内，且众数为 ，故B错误．
对于C：平均数为 ，故C正确．
对于D：由图可知，该校抽取的学生年度读书不低于8本的频率之和为 ，
所以该校学生年度读书不低于8本的人数约为 ，故D错误．
故选：ABD.
8．（2023春·全国·高三竞赛）某学习小组（共18位同学）在一次数学周测中的成绩（单位：分）如下：
87 101 109 112 115 116 118 119
119 121 122 126 127 129 130 135 142
若 是这组数据的上四分位数，则 可能为（ ）
A．126 B．127 C．128 D．129
【答案】BCD
【分析】根据上四分位数的定义计算即可求解.
【详解】将所给的数据除 外按从小到大的顺序排列为：87 101 109 112 115 116 118 119
119 121 122 126 127 129 130 135 142
由上四分位数的定义可得：该组数据的上四分位数位于第 个，
即该组数据的上四分位数位于第13个和第14个数之间，
而该组数据从小到大的顺序排列后第13个和第14个数分别为127 ，129，
所以 ，结合选项 可能为127，128，129，
故选：BCD.
9．（2023春·广东·高三统考开学考试）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为B．已知数据 的平均数为2，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别为5，13
C．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
D．样本相关系数
【答案】AC
【分析】根据百分位数可判断A,根据平均数和方差的性质可判断B,根据变量间的关系以及相关系数可判断
CD.
【详解】选项A,将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数
即为中位数，这组数的中位数为 ，故A正确，
选项B,由数据 的平均数为2，方差为3，则数据 ， ， 的平均数为 ，方差为
,故B错误，
选项C,在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定，故C正确．
选项D中，样本的相关系数应满足 ，故D错误．
故选:AC
10．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）第一组样本数据： ，由这组数据得到第二组样本数据：
，其中 ，其中 为正数，则下列命题正确的是（ ）
A．当 时，两组样本数据的样本平均数不相同
B．第二组样本数据的样本极差是第一组的 倍
C．第二组样本数据的样本标准差是第一组的 倍
D．第二组样本数据的样本方差是第一组的 倍
【答案】ABC
【分析】根据样本数据的平均数，极差及方差,标准差性质逐个选项判断即可.
【详解】对于 选项， ，
且 ，故平均数不相同，故 正确；
对于 选项，由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，
即第二组样本数据的样本极差是第一组的 倍，故 正确；
对于 选项， ，第二组样本数据的样本方差是第一组的 倍，
第二组样本数据的样本标准差是第一组的 倍，故C正确, 错误.
故选: .
【冲刺提升】
一、多选题
1．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参
加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作
为样本进行统计，样本容量为n．按照 的分组作出频率分布直方图如图
所示．其中，成绩落在区间 内的人数为16．则下列结论正确的是（ ）
A．样本容量
B．图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
【答案】ABC
【分析】由频率分布直方图区间 的概率确定样本总容量，由频率和为1求 ，根据频率分布直方图估
计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【详解】解：对于A：因为成绩落在区间 内的人数为16，所以样本容量 ，故A正确；对于B：因为 ，解得 ，故B正确；
对于C：学生成绩平均分为：
，故C正确；
对于D：因为 ，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78
分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．
故选：ABC．
二、填空题
2．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组： 、 、 、 、 、 ；
乙组： 、 、 、 、 、 .
若这两组数据的第 百分位数，第 百分位数分别对应相等，则 ___________.
【答案】 ##
【分析】利用百分位数的定义结合已知条件求出 、 的值，即可求得 的值.
【详解】因为 ， ，
所以，甲组第 百分位数为 ，乙组的第 百分位数为 ，则 ，
甲组第 百分位数为 ，乙组的第 百分位数为 ，则 ，可得 ，
因此， .
故答案为： .
3．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联
盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医
药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足 ，检测这种药品一
个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为 g，则估计这批中医药的药物功效y的平
均值为___________药物单位．
【答案】【分析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为 .由成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为
g，可得 ，又由此可得 ，后可得答案.
【详解】设6个样本中药物成分甲的含量分别为 ，
因为成分甲的含量的平均值为5g，所以 ，
标准差为 g，所以 ，可得
又由 ，所以 ，
所以这批中医药的药物功效的平均值为
故答案为： .
三、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）为了让人民享受到更优质的教育服务，我国逐年加大对教育的投入．为了预
测2022年全国普通本科招生数，建立了招生数y(单位：万人)与时间变量t的三个回归模型．其中根据2001年
至2019年的数据(时间变量t的值依次取1，2，3，…，19)建立模型①： (决定系数 )和
模型②： ＝152.4＋16.3t(相关系数 0.97，决定系数 )．根据2014年至2019年的数据(时间变量t
的值依次取1，2，3，…，6)建立模型③： ＝372.8＋9.8t(相关系数 0.99，决定系数 )．
(1)可以根据模型①得到2022年全国普通本科招生数的预测值为597.88万人，请你分别利用模型②③，求2022
年全国普通本科招生数的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？说明理由(写出一个即可)．
【答案】(1)利用模型②预测值为511(万人)；利用模型③预测值为461(万人)
(2)利用模型③得到的预测值更可靠，理由见解析【分析】（1）把t＝22分别代入两个模型计算 即可；
（2）比较模型的决定系数及相关系数大小即可得出结论．
【详解】（1）利用模型②得2022年全国普通本科招生数的预测值为 ＝152.4＋16.3×22＝511(万人)；
利用模型③得2022年全国普通本科招生数的预测值为 ＝372.8＋9.8×9＝461(万人)．
（2）利用模型③得到的预测值更可靠，理由如下(以下理由任选一个作答即可)．
理由一：从计算结果可以看出，模型③的决定系数 最大，说明其拟合效果最好，因此利用模型③得
到的预测值更可靠．
理由二：模型①的决定系数比模型②③小很多，说明其拟合效果最差．对于模型②③，模型③的相关系数
0.99比模型②的相关系数 0.97大，说明模型③的两变量的线性相关性比模型②更强．因此利用模型③得到
的预测值更可靠．
5．（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）今年5月11日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全
国人口普查主要数据结果，会上通报，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206
万人，增长5.38%，年平均增长率为0.53%.如图是我国历次人口普查全国人口（单位：亿人）及年均增长率.
(1)由图中数据，计算从2000年到2010年十年间全国人口的年平均增长率 （精确到0.01%）；并根据历次人
口普查数据指出全国人口数量的变化趋势；
(2)假设从2020年起，每十年的年平均增长率是一个等差数列，公差为 ，试根据图中数据计算从2040
年到2050年这十年间全国人口的增加量.（精确到万人）【答案】(1) ，变化趋势见解析；
(2)约减少 万人.
【分析】（1）根据题中数据进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质进行求解即可.
【详解】（1）由图中数据可知： ，
由图中数据可知：除第二个10年比第一10年增长率高之外，从第3个10开始，每10年人口增长率渐近下降；
（2）设2020年的人口为 ，2030年人口为 ，2040年人口为 ，2050年人口为 ，
所以有 ，
同理可得： ，
，
所以从2040年到2050年这十年间全国人口的增加量为：
所以从2040年到2050年这十年间全国人口负增长，约减少 万人.
6．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）某中药企业计划种植 两种药材，通过大量考察
研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
年份 2018 2019 2010 2021 2022
年份编号 1 2 3 4 5
单价 （元/公斤） 18 20 23 25 29
药材 的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：(1)若药材A的单价 （单位：元/公斤）与年份编号 间具有线性相关关系；请求出 关于 的回归直线方程，
并估计2024年药材A的单价；
(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；
(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.
参考公式：回归直线方程 ，其中 .
【答案】(1) ， 元/公斤
(2) 公斤
(3)应该种植药材A，理由见解析
【分析】（1）根据题中数据结合公式求得回归直线方程为 ，再令 代入运算即可得结果；
（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；
（3）比较A、B两种药材的均值，即可判断.
【详解】（1）由题意可得： ，
，
则 ， ，
故回归直线方程为 ，
当 时， ，即2024年药材A的单价预计为 元/公斤.
（2）由频率分布直方图可得：组距为20，自左向右各组的频率依次为 ，
故B药材的平均亩产量为 公斤.
（3）预计2024年药材A每亩产值为 元，
药材B每亩产值为 元 元，
所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.
7．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生
对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100
分）都在区间 中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
频率 0.15 0.25 m 0.30 0.10
(1)估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)用分层抽样的方法从这200份问卷得分在 ， ， 内的学生中抽取6人，再从这6人中
随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.
【答案】(1)74.5；
(2) .
【分析】（1）根据频率分布表求出m，再求出问卷得分的平均值作答.
（2）求出抽取的6人中各组人数，再利用列举法求出古典概率作答.
【详解】（1）由频率分布表得： ，
所以200份问卷得分的平均值约为： .
（2）由（1）知，问卷得分在 ， ， 内的频率分别为 ，
因此抽取的6人中，得分在 ， ， 内的人数分别为2人，3人，1人，
记得分在 内的2人为 ，得分在 内的3人为 ，得分在 内的1人为 ，从6人中任取3人的不同结果为： ，
，
，共20个，它们等可能，
抽取的3人来自不同组的事件 有： ，共6个，
所以3人来自不同组的概率 .
8．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车产业的发展方向，发展新
能源汽车，对改善能源消费结构、减少空气污染、推动汽车产业和交通运输行业转型升级具有积极意义，经过
十多年的精心培育，我国新能源汽车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有量居全球首位．
(1)已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命 （单位：万公里）服从正态分布 ，问：该公司每
月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以超过68万公里？
参考数据：若随机变量 ，则 ， ，
．
(2)下表给出了我国2017~2021年新能源汽车保有量y（单位：万辆）的数据．
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码x 1 2 3 4 5
新能源汽车保有量y 153 260 381 492 784
经计算，变量 的样本相关系数 ，变量 与 的样本相关系数 ．
①试判断 与 哪一个更适合作为 与 之间的回归方程模型？
②根据①的判断结果，求出 关于 的回归方程（精确到0.1），并预测2023年我国新能源汽车保有量．
参考数据：令 （ ），计算得 ， ， ， ．参考公式：在回归方程 中， ， ．
【答案】(1)450块
(2)① 更适合作为y与x之间的回归方程模型；② .
【分析】（1）根据正态分布计算概率；
（2）相关系数绝对值越大相关性越强，根据给出公式，代入数据计算可得回归方程.
【详解】（1）因为新能源汽车电池的使用寿命 ，
所以 ，
所以 块．
答：每月生产的 万块电池中，使用寿命超过 万公里的大约有 块；
（2）①因为 ，所以 更适合作为y与x之间的回归方程模型．
②因为 ，
，
，
所以 ．
当 时， 万辆．
答： 年我国新能源汽车保有量约为 万辆．
9．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力､人
才是第一资源､创新是第一动力，深入实施科教兴国战略､人才强国战略､创新驱动发展战略，开辟发展新领域
新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采
取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年
份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：10．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）某学校有学生1000人，其
中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测
试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.
(1)请完成下表，并依据小概率值 的 独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的
优良率与性别有关.
体质测试
性别 合计
优良 非优良
男生
女生
合计
(2)100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成
绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：
【答案】(1)列联表见解析，根据小概率事件 的独立性检验，不可以认为全校学生体质测试的优良率与
性别有关.
(2)均值 ；方差【分析】（1）根据题意，由独立性检验的计算公式，代入计算即可判断；
（2）根据题意，可得男生，女生的人数，结合均值方差的性质，代入计算即可得到结果.
【详解】（1）由分层抽样的定义可得，抽取的100人中有60名男生，40名女生，列联表如下：
体质测试
性别 合计
优良 非优良
男生 50 10 60
女生 30 10 40
合计 80 20 100
，
根据小概率事件 的独立性检验，不可以推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.
（2）男生人数 ，女生人数 ，则设男生的成绩为 女生的成绩为
所以均值为 ，
所以
，
所以样本中所有学生100米短跑成绩的方差为
11．（2023·安徽·校联考模拟预测）举办亲子活动，不仅能促进家庭与幼儿园之间的合作，还能增进亲子之间
的感情，对促进幼儿园教育也具有重要作用．某幼儿园为了提高家长对该幼儿园举办亲子活动的满意度，随机
调查了80名家长，每名家长对该幼儿园举办的亲子活动给出满意和不满意的评价，得到的数据如下表：
不满
满意 合计
意男家
40
长
女家
26
长
合计 42 80
(1)补充完整上面的列联表，并分别估计男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率；
(2)能否有99.5%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异？
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)列联表见解析； ；
(2)有99.5%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异.
【分析】（1）根据题意完善2 2列联表即可，根据古典概率分别求解概率即可.
（2）由公式先求出 ，对照参考数据作出判断即可.
【详解】（1）2 2列联表如下：
不满
满意 合计
意
男家
28 12 40
长
女家
14 26 40
长
合计 42 38 80
男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率：
女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率：（2）由
所以有99.5%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异.
12．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）某校近期举行了“2022年新闻时事知识竞赛”，现
在随机抽查参赛的200名学生的得分（满分100分），按照 ， ， ， ， ，
， 制作成如图所示的频率分布直方图，已知 成等差数列.
(1)求出 的值，并计算参赛得分在 的学生人数；
(2)学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在 与 的学生中按分层抽样的方
法抽出6名学生，然后从中再选出2名学生交流新闻时事获取的途径，求这2人中恰有1人的得分在 内
的概率.
【答案】(1) ， ；参赛得分在 的学生人数为
(2)
【分析】（1）由等差中项的性质结合频率之和为1求出 的值，并由频率、样本容量计算参赛得分在
的学生人数；（2）由分层抽样确定从得分在 与 抽取的人数，再由列举法得出所求概率.
【详解】（1）因为 三个数成等差数列，所以 ，
又 ，
所以 .
故参赛得分在 的学生人数为 .
（2）由频率分布直方图可知得分在 与 的人数比为 ，所以按分层抽样的方法抽出6名学生，
其中得分在 的抽2人，记为 ，得分在 的抽4人，记为 ，
然后从中再选出2名学生交流的所有情况为 ， ，共
15种情况，
恰有1人的得分在 的所有情况为 ，共8种情况，所以所求概率 .
