专题23概率、随机变量及其分布（讲）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题23 概率、随机变量及其分布（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 【答案】 【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A 的条件下，第二次抽到A的概率. 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则 . 故答案为： ； . 2. （2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分， 负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概 率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】(1) ； (2)分布列见解析， . 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用 互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知， 的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为． （2）依题可知， 的可能取值为 ，所以， , ， ， . 即 的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望 . 3．（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代， 经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同 的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ． （1）已知 ，求 ； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一 个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）利用公式计算可得 . （2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【详解】（1） . （2）设 ， 因为 ，故 ， 若 ，则 ，故 . ， 因为 ， ， 故 有两个不同零点 ，且 ， 且 时， ； 时， ； 故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数， 若 ，因为 在 为增函数且 ， 而当 时，因为 在 上为减函数，故 ， 故 为 的一个最小正实根， 若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根， 综上，若 ，则 . 若 ，则 ，故 . 此时 ， ， 故 有两个不同零点 ，且 ， 且 时， ； 时， ；故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数， 而 ，故 ， 又 ，故 在 存在一个零点 ，且 . 所以 为 的一个最小正实根，此时 ， 故当 时， . （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1， 则若干代后被灭绝的概率小于1. 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 （1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质； （2）考查条件概率、二项分布及其应用、n 次独立重复试验的模型及其应用. （3）二项分布的分布列及其概率分布往往与离散型随机变量的数字特征结合命题． （4）正态分布的图像和性质 （3）概率统计在决策中的应用 （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 古典概型 【核心知识】 古典概型的概率公式 【典例分析】 典例1. （2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有： ，共7种， 故所求概率 . 故选：D. 典例2.（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是： ， 共10种排法， 其中2个0不相邻的排列方法为： ， 共6种方法， 故2个0不相邻的概率为 ， 故选：C. 【规律方法】 古典概型中基本事件个数的求法 1．枚举法:适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举的问题. 2．树状图法:适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时， 可看成是有序的，如 与 不同， 有时也可看成是无序的，如 与 相同. 3．排列组合法:在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识．考向二 条件概率 【核心知识】 一．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号 pAB pB/ A pB/ A PA 来表示，其公式为 . nAB pB/ A nA nA 在古典概型中，若用 表示事件A中基本事件的个数，则 . (2)条件概率具有的性质： 0 pB/ A1 ① ； pB C/ A pB/ A pC/A ② 如果B和 C 是两互斥事件，则  ． 二．全概率公式 1．全概率公式 (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)； (2)定理1 若样本空间Ω中的事件A，A，…，A 满足： 1 2 n ①任意两个事件均互斥，即AA＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； i j ②A＋A＋…＋A＝Ω； 1 2 n ③P(A)＞0，i＝1,2，…，n. i 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA＋BA＋…＋BA，且 1 2 n P(B)＝\o(∑＝\o(∑. 2．贝叶斯公式 (1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝ ＝. (2)定理2 若样本空间Ω中的事件A，A，…，A 满足： 1 2 n ①任意两个事件均互斥，即AA＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； i j ②A＋A＋…＋A＝Ω； 1 2 n ③1＞P(A)＞0，i＝1,2，…，n. i 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(A|B)＝＝\f(PAjPB|Aj. j 【拓展】贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|A)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB) ＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)之间的内在联系． 【典例分析】 典例3.（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原 而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华 煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件 B“取到的两个都是艾香粽”，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意， ， ，所以 . 故选：B. 典例4.（2023·全国·模拟预测）某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标 的概率为 ，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为 ，已知第一次击中目标的概率为 ，则 在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用全概率公式计算出 ，再利用条件概率公 式计算出答案. 【详解】设第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B， 则 ， ， ， 所以 ， 故 ， 则 故选：C典例5.（2021江西抚州模拟）已知有10件产品，其中有,3件次品，现不放回地从中依次抽取,2件，则在第一 次抽到次品的情况下，第二次抽到次品的概率为 . 【答案】 【解析】 解法一(定义法):设“第一次抽到次品”为事件 ， “第二次抽到次品”为事件 ，则 ， ,所以 . 解法二(基本事件法):抽取2件产品，第一次抽到次品的 基本事件数为 , 第一次抽到次品,第 二次也抽到次品的基本事件数为 ,故所求概率 . 解法三(缩样法):第一次抽到次品后，还剩9件产品，其中 还有,2件次品，则第二次抽到次品的概率 . 【总结提升】 条件概率的求法 1．定义法: (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝. 2.基本事件法:借助古典概型的概率公式，先求事件 A包含的基本事件数n（A），再求事件 AB包含的基本事 件数n（AB），进而求P(B|A)＝ . 3.缩样法:即缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能 化繁为简. 考向三 相互独立事件的概率 【核心知识】相互独立事件同时发生的概率 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． A pB/ A pB (2)若 与B相互独立，则 ， pAB pB/ APA PAPB ． A A A A (3)若 与B相互独立，则 与B， 与B， 与B也都相互独立． pAB PAPB A (4)若 ，则 与B相互独立． 【典例分析】 典例6.（2021·全国·统考高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取 两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立 典例7.（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互 不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒 子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ， 且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为 ， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 故答案为： ； . 【规律方法】 1.判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 考向四 超几何分布 【核心知识】 超几何分布： 在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则事件{ X k }发生的概率为 Ck Cnk PX k M NM Cn k 0,1,2, ,m mminM,n n N,M  N,n,M,NN N ，  ，其中 ，且 ，称分布 列为超几何分布列. X 0 1 … m C0Cn0 C1 Cn1 CmCnm P M NM M NM … M NM Cn Cn Cn N N N 【典例分析】 典例8.（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）中国在第75届联合国大会上承 诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实 现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运 转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产 业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为 ＝4.7x－9495.2，且销量y的方差 ，年份x的方差为 ． (1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动汽 购买电动汽车 总计 车 男性 30 20 50 女性 15 35 50 总计 45 55 100 能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关? (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男 性的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式； (i)线性回归方程： ，其中 ， ； (ii)相关系数： ，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强； (iii) ，其中n＝a＋b＋c＋d． 附表： α 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) ， 与 线性相关较强.(2)有 的把握认为购买电动汽车与车主性别有关. (3)分布列见解析， . 【分析】（1）利用相关系数 的求解公式，并转化为 和方差之间的关系，代入计算即可； （2）直接利用独立性检验公式求出 ，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关； （3）采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出 可能取值0,1,2，3，4，分别求出对应概率， 即可得 的分布列，再结合期望公式，即可求解. 【详解】（1）相关系数为 ， 所以 ，故 与 线性相关较强. （2）零假设为 ：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关. 所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于 . （3）11人中，男性车主 人，女性车主 人， 则 的可能取值为0，1，2，3，4，故 ， ， ，， ， 故 的分布列为： 0 1 2 3 4 . 【规律方法】 1.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的应用条件及实质 (1)条件：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分 布． (2)实质：古典概型问题． 3.求超几何分布的分布列的步骤 第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列． 考向五 二项分布 【核心知识】 独立重复试验的概率 1．n次独立重复试验 (1)定义 一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验． (2)公式 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n 次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(k)＝Cpk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)． n 四. 二项分布 1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)于是得到X的分布列 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 由于表中第二行恰好是二项式展开式 (q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p 的二项分布，记作X～B(n，p)． 2.二项分布的期望、方差： X Bn,p EXnp  若 ，则 . X Bn,p DXnp1 p  若 ，则 ． 【典例分析】 典例9.（2021·天津·统考高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错， 则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙 猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至 少获胜2次的概率为______________． 【答案】 【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获 胜2次和3次都获胜求解. 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 . 故答案为： ； . 典例10.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数 比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构 对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内 到健身房次数分布扇形图．若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个 月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在 “健身达人”中有 是“年轻人”． (1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断 是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？ 年轻人 非年轻人 合计 健身达人 健身爱好 者 合计 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻 人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关；(2)分布列见解析，数学期望为 . 【分析】（1）根据条件完善列联表，然后算出 即可； （2）随机变量X满足二项分布 ，然后根据二项分布进行求概率和期望 【详解】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100 80%=80， 则非年轻人为20人， 根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100 60%=60，根据其中年轻人占比 ， 所以健身达人中年轻人人数为 ，则非年轻人为10人； 健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30， 根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10， 所以列联表为 年轻人 非年轻人 合计 健身达人 50 10 60 健身爱好者 30 10 40 合计 80 20 100 ， 所以没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关． （2）由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为 ， 则随机变量X满足二项分布 ， ， ， ，， 故X的分布列： X 0 1 2 3 P 则 的数学期望为 ． 【规律方法】 1.独立重复试验的特点 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的. (2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 2.二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数． 3.随机变量分布列问题的两个关键点 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概 率公式求概率． (2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公 式求解． 4.与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝ np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应 用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 考向六 正态分布 【核心知识】 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数φ (x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φ (x)的图象为正态分布密度曲线， μ，σ μ，σ简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”． 总体分布越集中，如图乙所示： 甲 乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a