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专题 22.5 销售利润问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为
按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：
y=
{ 20x(0≤x≤5) )．
10x+100(5<x≤20)
（1）小强第几天生产的产品数量为200件？
（2）设第x天每件产品的成本价为a元，a（元）与x（天）之间的函数关系图象如图所示，求a与x之间的
函数关系式；
（3）设小强第x天创造的利润为w元．
①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？
②若第①题中第m天利润达到最大值，若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多124元，则第
(m+1)天每件产品至少应提价几元？
【思路点拨】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的
增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
（1）把y=220代入y=10x+100，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本a与x之间的关系即可；
（3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减
性和二次函数的增减性解答；②根据①得出m+1=15，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润
w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．
【解题过程】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，x>5，
故：10x+100=200，解得：x=10
答：小强第10天生产的产品数量为200件．
（2）由图象得，①当0≤x≤10时，a=5.2．
②当10<x≤20时，设a=kx+b(k≠0)，
{10k+b=5.2)
由题意可得 ，
20k+b=6.2
{k=0.1)
解得： ，
b=4.2
∴a=0.1x+4.2．
综上可得，
a
与
x
之间的函数关系式为：
a=
{ 5.2(0≤x≤10) )；
0.1x+4.2(10<x≤20)
（3）①当0≤x≤5时，w= y(8−a)=20x(8−5.2)=56x，
∵56>0，
∵w随x的增大而增大，
当x=5时，w有最大值为：56×5=280（元）；
当5<x≤10时，w= y(8−a)=(10x+100)(8−5.2)=28x+280，
∵28>0，
∵w随x的增大而增大，
故当x=10时，w有最大值为28×10+280=560（元）．
当10<x≤20时，
w= y(8−a)
=(10x+100)[8−(0.1x+4.2))
=−x2+28x+380
．
=−(x−14) 2+576
当x=14时，w有最大值，最大值为576（元）
综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元．
②由①可知，m=14,m+1=15，
设第15天提价 元，则第15天的利润为： ，
t w= y(8+t−a)=(10x+100)[8+t−(0.1x+4.2))=575+250t由题意得：575+250t−576≥124，
解得：t≥0.5，
答：第15天每件产品至少应提价0.5元．
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·天津河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40
元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬
衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每
天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单
价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合
一次函数关系y=−x+120．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性
购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降
低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买
双．
4．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬
菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大
的月份可能是 月．5．（2024·四川南充·一模）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销
售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售
出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售
量为y（件）．
（1）求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
（3）小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（m>0）给希望工程，当每天销售最大利润
为6000元时，求m的值．
6．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3万元/吨的价
格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的
包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x<8吨时，它的平均销售价格y=−x+14，当甲类草莓的销售
量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨．乙类草莓深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单
位：吨）之间的函数关系为s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元；
①求w与x之间的函数关系式；
②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
（2）在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利
润，并求出最大的总利润．7．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮
助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w
（元）．据销售记录知：
①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；
②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，
（1）当11≤x≤30时，写出y与x的关系式；
（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？
（3）若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m元，用于捐资助
学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m的最小整数值．8．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段
对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租
费每增加50元，那么将少租出1辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计
1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费−月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为x（单位：辆，0<x≤50）的条件下，甲的利润用y 表示（单位：
1
元），乙的利润用y （单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
2
（1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
（2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a>0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利
润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差
最大，求a的取值范围．9．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）某超市拟端午节前50天销售某品牌食品，该食品进价为18元/千克
，设第x天的销售价格y 元/千克，销售量为m千克．销售价格y（元/千克）当31≤x≤50时，y与x满
足一次函数关系：
销售价格y（
40 37 33
元/千克）
第x天 1≤x≤30 36 44
第x天销售量m 5x+50
（1）求31≤x≤50时，y与x的函数关系式；
（2）求x为多少时，当天销售利润最大？
（3）若超市希望31天至35天日销售利润W随x的增大而增大，则在当天的销售价格上涨a 元/千克，求
整数a的最小值．
10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年6~7月份是大棚蓝莓成熟的季节．某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓
陆续向市场供应．已知第x天的销售单价y（元/ kg）与第x（天）的函数关系如图，每天销售量为
(400−4x)kg．
（1）直接写出y与x的函数解析式；
（2）求第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式；
（3）第几天种植户的销售额w的最大，最大值是多少元？
11．（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，经过一段
时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润；
（2）每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？
最大利润是多少？
（3）根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n
元（1≤n≤7），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范
围．
12．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出
200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
（2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有a(a>0)元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于
60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______．
13．（2023·山东临沂·二模）某农作物的生长率P与温度t(℃)有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近
1 1 1
似用函数P= t− 刻画，当25≤t≤37时可近似用函数P=− (t−ℎ) 2+0.4刻画．
50 5 160（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率P满足函数关系：
生长率P 0.2 0.3 0.4 0.5
提前上市的天数m（天） 0 5 10 15
①请运用记学的知识，求m关于P的函数表达式；
②请用含t的代数式表示m；
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大恒温20°C时，每天的成
本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加
600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t(℃)之间的关系如图2，提前上市增
加的利润和节省的成本为M，问当20≤t≤25时，提前上市多少天时M最大?并求此时M最大值（农作物
上市售出后大棚暂停使用）．
14．（22-23九年级下·湖北黄冈·期中）周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，
她记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系
如图所示，日销量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：时间第x天 1 3 5 7 9 10 11 12 15
日销量p（千 40
320 360 400 440 480 500 300 0
克） 0
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自
变量x的取值范围；
（3）在这15天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元．
15．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开
始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格y(元/kg)与周次x(x是正整数，1≤x<5)的关系可近似
2
用函数y= x+a刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格y(元/kg)从第5
51
周的6元/kg下降至第6周的5.6元/kg，y与周次x(5≤x≤7)的关系可近似用函数y=− x2+bx+5刻画．
10
（1）求a，b的值．
（2）若前五周该蔬菜的销售量m(kg)与每周的平均销售价格y(元/kg)之间的关系可近似地用如图2所示
的函数图象刻画，第6周的销售量与第5周相同：
①求m与y的函数表达式；
②在前六周中，哪一周的销售额w(元)最大？最大销售额是多少？
（3）若该蔬菜第7周的销售量是100kg，由于受降雨的影响，此种蔬菜第8周的可销售量将比第7周减少
n%(n>0)．为此，公司又紧急从外地调运了5kg此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第8
周的销售价格比第7周仅上涨0.8n%．若在这一举措下，此种蔬菜在第8周的总销售额与第7周刚好持平，
请通过计算估算出n的整数值．
16．（2023·湖北咸宁·模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工
厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（
0<x≤15）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：y=0.5x+7，任务完成后，统计发现工人小王
第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出P与x之间的函数关系；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
（3）最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一
个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，
小王能获得多少元的奖金？
17．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与
年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分；该产品的总销售额z（万元）＝预售总
额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与
年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所
获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用）年销售量x（万件） … 20 40 …
56
总销售额z（万元） … 1040 …
0
（1）求y与x以及z与x之间的函数解析式；
（2）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围；
（3）受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要
使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元．
18．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）
1
与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p= x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场
2
需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需
求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题：
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值．
（3）若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________
元/千克．
