文档内容
压轴题 02 二次函数实际应用五种考法
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一：图形问题............................................................................................................2
题型二：拱桥问题............................................................................................................8
题型三：销售问题..........................................................................................................16
题型四：投球问题..........................................................................................................20
题型五：喷水问题..........................................................................................................30
压轴能力测评（13题）.............................................................................................37
一、图形问题
解决二次函数与图形面积的问题关键在于将图形的面积通过割补法转化为规则图形,利用规则图形的面积
公式求出关于未知参数的代数式或相关的数学模型,再根据已知条件和二次函数的性质解题.
1.“规则图形”面积问题
“规则图形”是指三角形(或四边形)有一条边在坐标轴上(或有一条边与两坐标轴平行).
(1)用所求参数表示所需的边长与高;
(2)利用面积公式用所求参数的代数式表示出所求图形的面积，(3)将所求的图形面积化为关于所求参数的
二次函数表达式;
(4)将二次函数化为顶点式,根据a的取值求参数或利用已知求其他参数
2.“不规则图形”面积问题
(1)将图形分割成几个“规则图形”的面积和或者差,即把图形分割成有边与两坐标轴平行或重合的图形,
再仿照“规则图形”完成相关命题的解答(2)利用平面直角坐标系中已知三点坐标的三角形面积公式求三
角形面积:
S= ah(a 为水平宽度,h为铅直高度).
二、拱桥、投球、喷水问题
解决这类问题的一般步骤：建立平面直角坐标系——观察图像的位置——设函数解析式——求函数解析
式——利用函数的性质解决问题。平面直角坐标系不同，得到的函数解析式也不同，但不同坐标系背景
下的函数解析式的二次项系数是相同的，这也体现了二次项系数 a决定着抛物线的形状和大小。只要两个二次函数的解析式中的二次项系数a相同，这两个函数图像必定可以经过平移完全重合。
三、销售问题
求实际问题中二次函数的最值问题需注意：若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则二次函数在顶点处
取最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取
值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值。
题型一：图形问题
【例1】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）根据以下素材，完成项目式探索任务：
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最
大饲养室面积的方案？
素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材
料可建围墙的总长为 米，开2个门，且门宽均为1米.
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表.
型号 A
规格（门宽） 1米 米 1米
单价（元） 250 280 300
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.
确定饲养室的形状
任务1
设 ，矩形 的面积为S，求S关于 的函数表达式.
任务2 探究自变量 的取值范围.
确定设计方案
任务3
我的设计方案是选型号 门，当 米， 米时，S有最大值，最大值为 平方米.
【答案】任务1、 ；任务2、当选型号A门时，自变量x的取值范围为： ，当选型号C门时，自变量x的取值范围为： ；任务3、我的设计方案是选型号A门， ，
，S的最大值为 ．
【分析】题目主要考查二次函数的应用及不等式的应用，
任务1、根据题意得出 ，，然后计算面积即可得出函数关系式；
任务2、根据题意得出 ，代入确定 ，再由所需费用分两种情况列出不等式求解即可；
任务3、根据任务1中函数关系式及其性质求解即可；
理解题意，列出函数关系式及不等式是解题关键．
【详解】解：任务1、由题可知，设 ，则 ，
则 ；
任务2、由题意知 ，
即 ，
解得： ，
根据题意可得：新墙建筑费用为 元，
若选型号A门，则总费用为 元，
∵总费用不高于6400元，
∴ ，
解得： ，
若选型号C门，则总费用为 元，
∵总费用不高于6400元，
∴ ，解得： ，
综上所述：当选型号A门时，自变量x的取值范围为： ，当选型号C门时，自变量x的取值范围
为： ；
任务3、由任务1知： ，
∵ ，图象开口向下，且 ，
∴当 时，面积S有最大值为 ，
此时 ，
∴我的设计方案是选型号A门， ， ，S的最大值为 ．【变式1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）为贯彻落实国家关于全面推进城镇老旧小区改造提升和城市
更新工作，以人民为中心，努力提高保障和改善民生水平，切实解决老旧小区的配套设施，提升居民的幸
福指数。合肥某小区计划在 的中央广场种植景观树和花卉．
市场调查发现：花卉的种植费用y（元/ ）与花卉的种植面积x（ ）之间的函数关系如图所示，景观
树的种植费用为15元/ ．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)花卉的种植面积不少于 ，且景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，当x为何值时，种植的总费用
w（元）最少？最少是多少元？
【答案】(1)
(2)当 时，种植的总费用最少，最少为2700元；
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思
想解决问题是解本题的关键．
（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出x的范围；分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出
答案案；
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时，
设函数关系式为 ，
∵线段过点 ， ，
，
解得： ，
，当 时， ，
即： ；
（2）解： 花卉的种植面积不少于 ，
，
又 景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，
解得： ，
，
当 时，
由（1）知， ，
景观树的种植费用为15元/ ．
，
当 时， ；
当 时，
由（1）知， ，
，
∴当 时， ，
，
当 时，种植的总费用最少，最少为2700元；
【变式2】．（22-23九年级上·新疆昌吉·期末）如图所示，天河花园小区准备用 米长的铁丝网靠墙围成
一矩形场地（墙足够长）种植蔬菜．
(1)求矩形 的面积（用y表示，单位：平方米）与边 （用 表示，单位：米）之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；怎样围，可使矩形场地的面积最大？
(2)如何围，可使此矩形花坛面积是 平方米？
【答案】(1) ； 时，菜园面积最大
(2)当矩形花坛的长为 米，宽为4米或长为8米，宽为6米时，矩形花坛面积是 平方米
【分析】本题主要考查二次函数的应用，难度一般，关键在于找出等量关系列出函数解析式，另外应注意
配方法求最大值在实际中的应用．
（1）根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值；
（2）把 代入（1）中的解析式，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
答：当 时，菜园面积最大．
（2）根据题意得： ，
解得： ．
答：当矩形花坛的长为 米，宽为4米或长为8米，宽为6米时，矩形花坛面积是 平方米．
【变式3】．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽
为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为
a米．
(1)花圃的面积为___________平方米（用含a的式子表示）；
(2)如果花所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价 （元）、 （元）与修建面积x（ ）之间的函数关系如图2
所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，那么通道宽为多少时，
修建的通道和花圃的总造价为105920元？【答案】(1) 或者 ；
(2)通道宽为5米；
(3)通道宽为2米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用以及一次函数求表达式，解题的关键是表示出
花圃的长和宽．
（1）花圃的长为 米，宽为 米，据此求解即可
（2）根据“花圃所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出关于 的一元二次方程，解之即可；
（3）先根据图像利用待定系数法求出 和 的函数解析式，再由通道和花圃的总造价为105920元列出关
于 的方程，解之即可得出答案．
【详解】（1） 或者
（2）
解得： ， （不符合题意，舍去）
即通道宽为5米；
（3）根据图象可设 经过
则有 ，解得
∴
当 时设 ，经过 ， ，则有
解得：
∴
∵花圃面积为： ，
∴通道面积为：
∴
解得 ， （不符合题意，舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
题型二：拱桥问题
【例2】（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙 和 与路面 垂直，隧道内侧宽 米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面
上取点E，测量点E到墙面 的距离 ，点E到隧道顶面的距离 ．设 米， 米．通
过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式
；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的
函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道
顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
【答案】(1)6， ．
(2)见解析
(3)隧道需标注的限高应为4.5米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在 时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式
即可；
（2）根据题意，以点A为原点， 为x轴， 为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令 ，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可
解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当 时，y有最大值6，
设∵D的坐标为
∴ ，解得
∴ ．
故答案为：6， ．
（2）解：根据题意，以点A为原点， 为x轴， 为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
（3）解：令 ，可得
隧道需标注的限高应为 （米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数
量关系、求得函数解析式是解题的关键．
【变式1】．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）
现要在河面上建造一座如图所示的抛物线型拱桥，已知河面宽60米，岸边水泥柱高20米，拱桥需
要用钢材支柱等分跨径以支撑桥面，若钢材支柱将跨径n等分．
素
材
任 若钢材支柱将跨径4等分，此时以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，拱桥的抛
务
物线表达式为： ，则所需的最短的那根钢材支柱长为多少米？
1
任 若钢材支柱将跨径6等分，钢材支柱恰好用了30米．以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直务
角坐标系，求拱桥的抛物线表达式．
2
为了美观，现对拱桥重新设计，使拱肋超过桥面，如图所示．若钢材支柱将桥面 和 各3等
任 分，且两支柱间的距离为5米，则共需多少米钢材支柱？
务
3
【答案】任务1：所需的最短的那根钢材支柱长为8米；任务2： ；任务3：共需要
米钢材支柱．
【分析】任务1：根据拱桥的抛物线表达式为： ，另 ，求得 ，由钢材支柱将
跨径4等分，则所需的最短的那根钢材支柱长为当 时，代入表达式求解即可；
任务2：由抛物线过点 ，抛物线过点 ，设拱桥的抛物线表达式为 ，根据河
面宽60米，钢材支柱将跨径6等分，则需要5根钢材支柱，钢材支柱的位置分别为 ， ，
， ， ，由抛物线的性质代入抛物线表达式，根据钢材支柱恰好用了30米，求解即可；
任务3：由抛物线过点 ，抛物线过点 ，设拱桥的抛物线表达式为 ，根据
钢材支柱将桥面 和 各3等分，且两支柱间的距离为5米，得到 ，则 ，
，将 代入抛物线的表达式求解出 ，得到表达式 ，分别另
， ， ， 时，求出y值，在计算出钢材支柱的长度相加即可．
【详解】解：任务1，
拱桥的抛物线表达式为： ，
以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，
另 ，则 ，
解得： ， ，
，
钢材支柱将跨径4等分，则 （米），
钢材支柱的位置分别为 ， ， ，
拱桥的抛物线表达式为： ，开口向下，当 时，则所需的那根钢材支柱最短，
，则 （米）
所需的最短的那根钢材支柱长为8米；
任务2：设拱桥的抛物线表达式为 ，
根据河面宽60米，钢材支柱将跨径6等分，则需要5根钢材支柱，
钢材支柱的位置分别为 ， ， ， ， ，岸边水泥柱高20米，
整理得： ，
解得： ，
拱桥的抛物线表达式为 ，
任务3：由抛物线过点 ，抛物线过点 ，设拱桥的抛物线表达式为 ，
钢材支柱将桥面 和 各3等分，且两支柱间的距离为5米，
，
， ，
将 代入抛物线的表达式，得： ，
解得： ，
抛物线的表达式 ，
另 ， ，则钢材支柱的长度为： （米），
另 ， ，则钢材支柱的长度为： （米），
另 ， ，则钢材支柱的长度为： （米），
另 ， ，则钢材支柱的长度为： （米），
需要的钢材支柱的长度为： （米），
答：共需要 米钢材支柱．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
【变式2】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷
的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，
坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存
最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥 主桥拱是圆弧形（如图①中 ，已知跨度 ，拱高 ，则这条桥主桥拱的半径
是 ；
(2)某桥 的主桥拱是抛物线形（如图② ，若水面宽 ，拱顶 （抛物线顶点）距离水面 ，求
桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，在（1）和（2）的条件下，某个时刻桥 和桥 的桥下水位均上升了 ，求此时两桥的水面
宽度．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质．
（1）设主桥拱的半径是 ，根据勾股定理可得 ，即可解得答案；
（2）以 为原点，平行水面的直线为 轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为 ，用待定
系数法可得桥拱抛物线的解析式为 ；
（3）桥 的桥下水位上升了 ，用勾股定理可得桥 的水面宽度为 ；桥 的桥下水位上升了 ，在
中，令 得 或 ，即可得此时桥 的水面宽度为 ．
【详解】（1）设主桥拱所在的圆弧形圆心为 ，连接 ，如图：
由拱高的定义可知， ， ， 共线，设主桥拱的半径是 ，在 中， ， ，
，
，
解得 ，
故答案为：10；
（2）以 为原点，平行水面的直线为 轴，建立直角坐标系，如图：
设桥拱抛物线的解析式为 ，
水面宽 ，拱顶 （抛物线顶点）距离水面 ，
，
，
解得 ，
桥拱抛物线的解析式为 ；
（3）桥 的桥下水位上升了 ，如图：
根据题意， ， ，
；
此时桥 的水面宽度为 ；
桥 的桥下水位上升了 ，
在 中，令 得： ，
解得 或 ，
，
此时桥 的水面宽度为 ．【变式3】．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时（ 所示），桥下
水面宽度为 ，拱顶距水面 ．
(1)在如图所示的直角坐标系中，求该抛物线的解析式；
(2)突遇暴雨，当水面上涨 时（ 所示），水面宽度减少了多少？
(3)雨势还在继续，一满载防汛物资的货船欲通过此桥，已知该船满载货物时浮在水面部分的横截面可近似
看成是宽 ，高 的矩形．那么当水位又上涨了 m时，此船是否可以通过，说明理由．
【答案】(1)
(2)水面宽度减少
(3)此船可以通过，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用以及二次函数图像上的点的坐标特征：
（1）根据题意设出抛物线的解析式，然后将点的坐标代入即可求得结果；
（2）水位上涨 ，则此时纵坐标为 ，然后将 代入抛物线，可得到点D的横坐标，即可得到结果；
（3）根据水位上涨分别得到水面的宽度，然后将船的宽度代入解析式，得到高度，看是否可以通过即可；
结合函数图像及二次函数图像上点的坐标特征找到关于 的一元一次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
根据题意得 ， ，
将点 ，代入解析式中，
可得， ，解得 ，
∴解析式为 ；
（2）解：∵水面上涨 至 ，
∴ ， ，
抛物线过 ， ，可得 ，
解得 ，
∴∴ ，
∴水面宽度减少 ；
（3）解：此船可以通过，理由如下：
当水位又上涨了 m时，此时拱顶距水面 m，
将 代入 ，
得到 ，
此时水面宽为 ，
∵ ，
∴宽度可以让船通过；
∵船宽 ，
∴将 代入 ，
解得 ，
∵ ，
∴高度可以让船通过；
∴此船可以通过．
题型三：销售问题
【例3】．（23-24九年级上·广东广州·期中）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送
彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数
y(台)与补贴款额 (元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额 的不断增大，销售量也不断
增加，但每台彩电的收益 元)会相应降低且满足： ．
(1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数 与政府补贴款额 之间的函数关系式；
(2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？(3)要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额 定为多少？并求出总收益的最大值．
【答案】(1)
(2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为 元
(3)政府应将每台补贴款额定为 元时，可获得最大利润 元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用；
（1）待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）根据每台彩电的收益乘以数量，即可求解；
（3）设总收益为 元，则 ，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，可设
将 ， 代入上式，得： ，
解得 ，
故所求作的函数关系式为： ．
（2） 在 中，当 时， ，
在 中，当 时，
；
答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为 元．
（3）设总收益为 元，则
，
存在最大值，
当 时 有最大值 ．
答：政府应将每台补贴款额定为 元时，可获得最大利润 元．
【变式1】．（23-24九年级上·吉林通化·期末）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息
如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．时间x（天）
售价（元/件） 90
每天销量
（件）
(1)求出y与x的函数关系式
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．
【答案】(1)当 时， ，当 时，
(2)第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
(3)该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用；涉及求函数解析式，函数的性质，求自变量的值等知识，
理解题意并分类讨论是解题的关键．
（1）分两种情况考虑，根据利润等于单件利润与销售数量的积即可求解；
（2）对（1）中求得的函数式求出最大值并比较即可；
（3）分别求出当函数值为4800时自变量的值，根据函数的图象与性质即可求得利润不低于4800元的天数，
最后求得结果．
【详解】（1）解：当 时，
；
当 时， ；
综上：当 时， ，当 时， ；
（2）解：当 时， ，
当 时，y取得最大值 ；
当 时，对于 ，
∵ ，
∴当 时，y取得最大值 ；
∵ ，
∴第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）解：当 时，令 ，
解得： （舍去），
此时共有 （天）每天的利润不低于4800元；
当 时，令 ，
解得： ，∵ ，
∴当 时，每天的利润不低于4800元，此时的天数为 （天），
∵ ，
∴该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
【变式2】．（23-24九年级上·广东梅州·期末）某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该
饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数 ，设销售这种饰品每天的利润为W（元）．
(1)求W与x之间的函数表达式；
(2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？
(3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定
为多少？
【答案】(1)
(2)销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元
(3)单价定为25元
【分析】
本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可；
（2）根据二次函数的性质，求出最值即可；
（3）令 ，求出 的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ；
（2）∵ ，
∴当 时， 有最大值800，
∴销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元；
（3）当 时， ，
解得： 或 ，
∵确保顾客得到优惠，
∴ ，
∴单价应定为25元．
【变式3】．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得
到了迅猛的发展，某电商以每件40元的价格购进某款 恤，以每件60元的价格出售．经统计，“双11”的
前一周 月30日 月5日）的销售量为500件，该电商在“双11”期间 月6日 月12日）进行降
价销售，经调查，发现该款 恤在“双11”的前一周销售量的基础上，每降价1元，周销售量就会增加50
件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于 ，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率
【答案】当定价为每件52元，才能使利润最大为10800元
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意列出函数解
析式，并求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可求出答案．
【详解】解：设售价为每件 元，利润为 元，根据题意，得：
，
销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于 ，
，
解得 ，
，
抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 有最大值，最大值为 （元 ，
答：当定价为每件52元，才能使利润最大，最大利润是10800元．
【变式4】．（23-24九年级上·广东广州·期中）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水
果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
(1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
(2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为
40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天
的利润为 元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大？
【答案】(1)
(2)37元
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确
二次函数的性质是解题的关键．
（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为 ，由题意得关于 的一元二次方程，解得 的
值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每千克的平均销售价为 元，由题意得关于 的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函
数的性质可得答案．
【详解】（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为 ，
由题意，得： ，
解得： ， （舍去）．答：平均每年的增长率为 ；
（2）设每千克的平均销售价为 元，由题意得：
，
，
当 时， 取得最大值为2450．
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．
题型四：投球问题
【例4】（23-24九年级上·广西南宁·期中） 年8月5日，在成都举行的第 届世界大学生夏季运动会
女子篮球金牌赛中，中国队以 比 战胜日本队，夺得冠军，女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中
也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以
看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系 ，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y
（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是 ，韩
旭进行了两次投篮训练．
(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 …
竖直高度 …
①在平面直角坐标系 中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接：
②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离 ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由．
(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距
离x近似满足函数关系 ，若投篮成功，求此时韩旭距篮筐中心的水平距离d的取值范围．
【答案】(1)①见解析；② ；③韩旭第一次投篮练习成功，理由见解析
(2)【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应
用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）①描点，作图即可；②根据图表，可得抛物线关于直线 对称，图象开口向下，进而可求最高点
距离地面的竖直高度；③设抛物线的解析式为 ，将 代入，求得 ，则
，将 代入得， ，则韩旭第一次投篮练习成功；
（2）将 代入得， ，解得， ，则 ，当 时，
，求出满足要求的值即可．
【详解】（1）①解：如图，
②解：∵ ，
∴抛物线关于直线 对称，
∵图象开口向下，
∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为 ；
③解：韩旭第一次投篮练习成功，理由如下：
设抛物线的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
∴ ，
将 代入得， ，
∴韩旭第一次投篮练习成功；
（2）解：将 代入得， ，解得， ，
∴ ，
当 时， ，
解得， ， （舍去），
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离 ．
【变式1】．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【发现问题】
如图1，小迪同学利用无人机玩“投弹”游戏，无人机以不变的速度水平飞行，他发现，在不同高度释放
小球，小球落地点距小球释放点之间的水平距离都有所不同．
【提出问题】
为了准确投中目标，需要知道小球释放点距地面的竖直高度与小球释放点距落地点的水平距离之间的关系；
【分析问题】
小迪控制无人机在距水平地面不同的高度释放小球，分别测量了小球释放点距落地点的水平距离和竖直高
度，实验结果如下表：
小球释放点距落地点的水平距离x（米） 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 …
小球释放点距落地点的竖直高度y（米） 0 0.2 0.8 1.8 3.2 5 7.2 …
小迪同学建立平面直角坐标系，描出上面表格中每对数值所对应的点，得到图2，小迪根据图2中点的分
布情况，确定其图象是二次函数图象的一部分，从而确定在一定高度释放小球的运动轨迹是一条抛物线．
【解决问题】
如图3，小迪控制无人机在距地面竖直高度为20米（ 米）向右水平飞行．为了更形象的描述，小
迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致．
(1)请直接写出y与x的函数解析式；并求此时小球释放点O距落地点F之间的水平距离 应为多少米?
(2)在距点E正前方的12米（ 米）地面点A上，有一高度为5米（ 米），直径为 米（
米）的圆柱体目标，它的最大截面为矩形 和坐标轴在同一平面内．求无人机离开点O后，
在什么飞行范围内释放小球，可以击中目标；(3)若在距（2）中的圆柱体目标的正前方N处（ 米）有一建筑物（建筑物的竖直高度大于20米）
的侧面外形为直线l，直线l与x轴的交点为点M，建筑物l和地面的夹角为 ，S为抛物线
上一点， 是点S距建筑物的距离．求小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离．
图3建筑物示意图
【答案】(1) ， 米
(2)当无人机水平飞行4米至12米的距离内投掷的小球可以击中圆柱体
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可得小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度之间的函数解析式为：
，结合图3可知：小迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致，但是函数图
象关于x轴对称，即有y与x的函数解析式为： ，令 即可求解；
（2）无人机水平向右移动，即有抛物线 水平向右平移，求出 ，即当无人机水平向右移动
4米后投掷，小球可以击中圆柱体的A点；当 时，可得 ，即当小球下降15米时，小球的水
平移动距离为： 米，即可得当无人机水平向右移动12米后投掷，小球可以击中圆柱体的C点，问题
得解；
（3）根据平移的性质可得平移后的抛物线解析为： ，将 向左平移直至与抛物线：
相切与点S，且交x轴于点K，过S点作 于点H，过S点作 轴，交 于
点T，过M点作 轴于点G，先求出直线 的解析式为： ，再设与抛物线：相切且与 平行的直线 的解析式为： ，联立 ，整理得：
，根据相切，可得方程 只有唯一解，即有 ，随后有
，问题随之得解．
【详解】（1）设小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度之间的函数解析式为： ，
代入表格数据有： ，
解得： ，
∴小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度之间的函数解析式为： ，
结合图3可知：小迪在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致，但是函数图象关于x轴
对称，
∴此时y与x的函数解析式为： ，
当 时， ，
解得： ，（负值不合题意舍去）
即 （米）；
（2）∵无人机水平向右移动，
∴抛物线 水平向右平移，
∵ ， ，
∴ ，
∴当无人机水平向右移动4米后投掷，小球可以击中圆柱体的A点；
∵ ，
∴点C的竖直高度为： （米），
∴当 时， ，
解得： ，
∴当小球下降15米时，小球的水平移动距离为： 米，
∵点C距离点O的水平距离为： ，
∴ （米），
∴当无人机水平向右移动12米后投掷，小球可以击中圆柱体的C点；
综上：当无人机水平飞行4米至12米的距离内投掷的小球可以击中圆柱体；（3）根据（2）可知抛物线 水平向右平移12个单位后，此时小球在击中圆柱体目标的过程中，
存在距建筑物的最小距离，
即平移后的抛物线解析为： ，
将 向左平移直至与抛物线： 相切与点S，且交x轴于点K，过S点作 于点
H，过S点作 轴，交 于点T，过M点作 轴于点G，如图，
根据题意有： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 轴， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴设与抛物线： 相切且与 平行的直线 的解析式为： ，
联立 ，
整理得： ，
∵相切，∴方程 只有唯一解，
∴ ，
解得： ，
∵直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ，
∴ ，
∴根据平移的性质有： ，
∴在 中， ，
∴ ，
即小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离为 米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，待定系数法，等腰三角形的判定与性
质，一元二次方程的判别式等知识，明确题意，理解无人机飞行的特点，并能根据平移得出平移后抛物线
的解析式，是解答本题的关键．
【变式2】．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国
队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球
台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击
打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的
大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始
点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27 ．请你
计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)① ； ；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时， ；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 ，根据题意当 时，
，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）①观察表格数据，可知当 和 时，函数值相等，则对称轴为直线 ，顶点坐标为
，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当 时， ，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为： ； ．
②设抛物线解析式为 ，将 代入得，
，
解得： ，∴抛物线解析式为 ；
（3）∵当 时，抛物线的解析式为 ，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
依题意，当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的
性质是解题的关键．
【变式3】．（23-24九年级上·河南郑州·期末）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降
落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，按如图所
示的平面直角坐标系，其中 是弹力球距抛出点的水平距离， 是弹力球距地面的高度．甲站在原
点处，从离地面高度为 的点 处抛出弹力球，弹力球在 处着地后弹起，已知弹力球第一次着地前抛物
线的表达式为 ．
(1) 的值为______；
(2)若弹力球在 处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半．
①求 点横坐标和弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式；
②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为 ，高 的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距
离为 ，现将筐沿 轴向左移动 ，则甲______（填“能”或“不能”）游戏成功．
【答案】(1) ；
(2) 点 的横坐标为 ；弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式为
； 能．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点问题，二次函
数与一元二次方程，利用待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键．
（ ）将点 坐标代入解析式，即可求出 的值；
（ ） 由（ ）可得弹力球第一次着地前抛物线的解析式，再令 ，解方程求出 的值，即可得出点坐标，再根据条抛物线形状相同，且弹力球在 处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一
半以及点 坐标，即可求出弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的表达式； 令 中 ，解方
程求出 的值与框的位置比较即可．
【详解】（1）解：∵点 是抛物线 的起点，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解： 由（ ）知，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， (不合，舍去)，
∴点 的横坐标为 ；
∵两条抛物线形状相同， 弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前抛物线最大高度的一半，
设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为 ，
将点 代入该解析式，得 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ，
∴ 弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为 ；
令 中 ，则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ，
∴弹力球第二次落地点距离原点 米，
由题意可得：筐的最左端与原点的水平距离为 ，最右端与原点的水平距离为 米，又∵ ，
∴甲能游戏成功，
故答案为：能．
题型五：喷水问题
【例5】．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）【发现问题】
各式各样精致的流水景观成了当下家装的一种时尚，用各种盛水容器可以制作家用流水景观（如图①）．
爱思考的小琦用一些高度为 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始
终盛满水，如图②．如果在离水面竖直距离 的地方开大小合适的小孔，那么从小孔 射出水
的射程 ， 随着 的变化而变化．（图中 ， ， ， 在同一平面内）
【提出问题】
小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） 与小孔离水面竖直距离 之间有怎样的函
数关系？
【分析问题】小琦结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
小孔离水面竖直距离为
0 1 2 3 4 …
小孔射出水的射程 0 12 16
0 76 144 204 256
然后在平面直角坐标系中，描出表格中 与 的各对数值所对应的点，得到图③，小琦根据图③中点的分
布情况，确定其图象是抛物线的一部分．
【解决问题】
（1）直接写出 与 的解析式；（2）求出当 为何值时，射程 有最大值，最大射程是多少？
（3）如图④，在（2）的条件下，如果水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分，将一个
高度为 ，底面直径 的圆柱体杯子如图摆放，水流能否落在杯口中心 位置？通过计算说明
理由．
【答案】【解决问题】（1） ；（2） 时，射程 有最大值，最大射程是 ；
（3）水流能落在杯口中心位置
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，运用了待定系数法，二次函数的极值，二次函数的图
象与性质等知识，求出水流的抛物线解析式是解题的关键．
（1）采用待定系数法即可求解；
（2）将 写成顶点式，按照二次函数的性质得出 的最大值，再求 的算术平方根即可；
（3）根据（2）中的结论可得N点坐标为： ，B点坐标为： ，再根据顶点式可得水流的抛物
线解析式为： ，结合图形可知杯口中心 的坐标为： ，代入验证即可判断．
【详解】（1）设 与 的解析式为： ，
根据表格数据有： ，
解得： ，
即： 与 的解析式为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ，
∴当 时，s有最大值 ．
∴当h为 时，射程s有最大值，最大射程是 ；
（3）在（2）中当h为 时，射程s有最大值，最大射程是 ，
即可知N点坐标为： ，B点坐标为： ，
∵水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分，
∴设水流的抛物线解析式为： ，
代入B点坐标可得： ，
解得： ，∴水流的抛物线解析式为： ，
∵杯子的高度为 ， ， ，
∴杯口中心 的坐标为： ，
将 代入 ，可知：水流的抛物线经过点 ，
∴水流能落在杯口中心位置．
【变式1】．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度
为 ，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横
截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度 ．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左
平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 ，高出喷水口 ，灌溉车到绿化带的距离
为 （单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？
并写出你的判断过程；
(3)求出下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
(4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)该行人会被洒水车淋到水，过程见解析
(3)
(4)
【分析】（1）由题意知， ， ，设上边缘抛物线的函数解析式为 ，待定系
数法求解析式即可；
（2）将 代入 ，解得， 或 （舍去），则 ，由 ，进行判断
作答即可；
（3）由题意知， 关于直线 的对称点为 ，由下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可求 的坐标；
（3）将 代入 解得， 或 （舍去），当 时，要使
，则 ，进而可求 ，由下边缘抛物线可得， ，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
设上边缘抛物线的函数解析式为 ，
将 代入 得， ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：将 代入 得， ，整理得， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴该行人会被洒水车淋到水；
（3）解：由题意知， 关于直线 的对称点为 ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
∴ ；
（4）解：将 代入 得， ，整理得， ，
解得， 或 （舍去），
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴当 时，要使 ，则 ，
∴ ，
由下边缘抛物线可得， ，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的平移．熟练
掌握二次函数的应用是解题的关键．
【变式2】．（23-24九年级上·广西南宁·期中）阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的圆形喷水池，水池中心 处立着一个高为2m的实心石柱 ，
水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱 处能达到最大高度 处，且离池面的高度为 ．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)请结合题意写出下列点的坐标：A（_____）， （______）．
(2)圆形大水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不落到水池外？
(3)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少m？
【答案】(1) ；
(2)至少为2m
(3)为了不影响水流，小水池的半径不能超过 m
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质；结合题意熟练运用二次函数的性质解题是关键．
（1）根据题意，即可求得 A，B两点坐标；
（2）通过顶点B坐标求得二次函数解析式；再令 ，解一元二次方程，得出x，保留符合题意的x值，
即解得答案；
（3）根据题意，令 ，解一元二次方程求出x，保留符合题意的x值，即解得答案．
【详解】（1）解：由题意可得:A ；B ．
故答案为： ；
（2）根据题意，顶点坐标为 ，
设二次函数解析式为： ，
函数过点A ，
代入解析式得 ，
解得： ，
二次函数解析式为： ；
令 ，则 ，
解得： 或 （舍去），
花坛的半径至少为2m．
（3）令 ，则 ，解得： 或 （舍），
为了不影响水流，小水池的半径不能超过 m．
【变式3】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的
喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面 的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流
可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为 ，喷出水流与湖面的垂直高度为 ．
下表中记录了一个喷头喷出水柱时 与 的几组数据：
0 1 2 3 4.5
1
(1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为 ．顶棚刚好接触到水柱，求该皮
划艇顶棚的宽度．
(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客
被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 ，
已知游船顶棚宽度为 ，顶棚到湖面的高度为 ，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动
多少 才能符合要求？（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)
(3)公园应将水管高度至少向上调节 米才能符合要求．
【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用等知识点，
将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键．
（1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可；
（2）令 ，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答；
（3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即．
【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点 ，
设函数解析式为： ，
则有： ，解得： ，所以函数解析式为： ．
（2）解：令 ，则有 ，解得： ，
所以该皮划艇顶棚的宽度为 ．
（3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动 才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物
线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为： ，
由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值不小于 ，
∴ ，解得： ，
∴水管高度至少向上调节 米，
∴公园应将水管高度至少向上调节 米才能符合要求．
1．（2024•武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一
级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为 轴，垂直于地面的直线
为 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．其中，当火箭运行的水平
距离为 时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ，
①直接写出 ， 的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为 ，分别代入抛物线的解析式和直线的解析式
可得 和 的值；
②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去 即
为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的 的值，相减即为两个位置
间的距离；
（2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为 ．用 表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二
级的引发点的坐标和 代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为 时 和 的值进而结合抛物线开口向下可得 的取值范围．
【解答】解：（1）① 经过点 ，
．
解得： ．
经过点 ，
．
解得： ；
②由①得：
．
火箭运行的最高点是 ．
．
．
整理得： ．
解得： （不合题意，舍去）， ．
由①得： ．
．
解得： ．
．
答：这两个位置之间的距离为 ；
（2）当 时， ．
火箭第二级的引发点的坐标为 ．
设火箭落地点与发射点的水平距离为 ．
经过点 ，．
解得： ．
时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合
适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过 时 的取值范围，需要求出火箭落地点与
发射点的水平距离恰好是 时 的值．
2．（2024•中宁县一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水
口 离地竖直高度 米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条
抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米．下
边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，
高出喷水口0.5米，灌溉车到 的距离 为 米．
（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程 ；
（2）求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线
所夹区域内），求 的取值范围．
【分析】（1）求得顶点 ，设 ，再根据抛物线过点 ，可得 的值，从而解决
问题；
（2）由对称轴知点 的对称点为 ，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，可
得点 的坐标；
（3）根据 ，求出点 的坐标，利用增减性可得 的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得点 的横坐标为2，纵坐标为 ，
所以上边缘抛物线的顶点为 ，
设 ，又 抛物线过点 ，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， （舍去），
喷出水的最大射程 为 ；
（2） 下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移得到，
可设 ，
将点 代入得 ， （舍去），
下边缘抛物线的关系式为 ，
当 时， ，
解得 ， （舍去），
点 的坐标为 ；
（3） ，
点 的纵坐标为1，
，
解得 ， （舍去），
的最大值为 ，
当下边缘抛物线经过点 时， 的最小值为2，
综上所述， 的取值范围是 ．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数
与方程的关系等知识是解题的关键．
3．（2024•大丰区三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大
大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度 （千米 时）是车流密
度 （辆 千米）的函数，其图象近似的如图所示．
（1）求 关于 的函数表达式；
（2）求车流量 和车流密度 之间的函数表达式并求出车流量 （辆 时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量 车流速度 车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆 时，为保证快速路安全畅通，城市
道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中
心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（ 2 ） 由 题 知 ： 当 时 ， ； 当 时 ，
，进而求解；
（ 3 ） 由 题 意 得 ： ， 解 得 ， 而 ， 当 时 ，
，当 时， ，即可求解．
【解答】解：（1）由图象知，当 时， ，
当 时，设该段一次函数表达式是 ，
把两点坐标 ， ， 分别代入，得 ，解得 ，
关于 的一次函数表达式是 ，
即 ；
（2）由题知：当 时， ．
当 时， ，
当 时，车流量 有最大值4418辆 时．
，当 时，车流量 有最大值4418辆 时；（3）由题意得： ，解得 ，
而 ，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
即上下班高峰时段车速应控制在44千米 时 千米 时．
【点评】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数
最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式．
4．（2024•西乡塘区校级二模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水
冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜
牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的 （向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，
建立平面直角坐标系 ．如果她从点 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入
水的过程中，她的竖直高度 （单位：米）与水平距离 （单位：米）近似满足函数关系式
．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离 0 3 3.5 4 4.5
10 10 10 6.25
竖直高度
根据上述数据，直接写出 的值为 11.2 5 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度 与水平距离 近似满足函数关系 ，
记她训练的入水点的水平距离为 ；比赛当天入水点的水平距离为 ，则 （填“ ”“ ”或
“ ” ；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点 开始计时，若点 到水平面的距离为 ，则她到水面的距离 与时间 之间近似满足 ，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难
度的 动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）分别求出两个解析式当 时， 的值，进行比较即可；
（3）先求出 的值，再求出 时的 值，进行判断即可．
【解答】解：（1）由表格可知，图象过点 ， ， ，
，
，
，
解得： ，
；
故答案为：11.25， ，
，
当 时： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
米；
，
当 时： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
，
，
故答案为： ；
（3） ，
，
，
，
当 时， ，，
即她在水面上无法完成此动作，
她当天的比赛不能成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
5．（2024•广陵区二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央 处垂直于地面安装一个高
为1.25米的花形柱子 ，安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线
路径落下，且在过 的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距
的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点 为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到 水平距离为 米，水流喷出的高度为
米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高 1.76米的张师傅却没有被水淋到，
此时他离花形柱子 的距离为 米，求 的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面 、 处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 角，如图3
所示，光线交汇点 在花形柱子 的正上方，且 米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点 坐标代入
即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令 ，解方程求出 的值，再根据函数的图象和性质，求出 时 的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线 的平行线 ，使它与抛物线相切于点 ，然后设出直线 的解析式，联立
直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线 的解析式，从而得到直线与 轴交点，最
后利用锐角三角函数求出直线 与直线 之间的距离．
【解答】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为 ， ，
设第一象限内的抛物线解析式为 ，
将点 代入物线解析式，
，
解得 ，
第一象限内的抛物线解析式为 ；
（2）根据题意，令 ，即 ，
解得 ， ，
，抛物线开口向下，
当 时， ，
的取值范围为 ；
（3）作直线 的平行线 ，使它与抛物线相切于点 ，分别交 轴， 轴于点 ， ，过点 ，作
，垂足为 ，如图所示，
，
设直线 的解析式为 ，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得 ，
直线 与抛物线相切，
方程只有一个根，
△ ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
，
，
即 ，
射灯射出的光线与地面成 角，
，
，
，，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为 米．
【点评】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
6．（2024•海淀区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶
端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一
位置与水管的水平距离为 米，与湖面的垂直高度为 米．下面的表中记录了 与 的五组数据：
0 1 2 3 4
（米
0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（米
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图 中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示 与 函数关系的图
象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为 米，则 1. 5 ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下
方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱
的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露
出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位
小数）．
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出
二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为 ，此时最高，
即 ，
故答案为：1.5．
（3）根据图象可设二次函数的解析式为： ，
将 代入 ，得 ，
抛物线的解析式为： ，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为： ，
由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值大于 ，
，
解得 ，
水管高度至少向上调节1.6米，
（米 ，
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．
【点评】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键
在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
7．（2023秋•路桥区期末）为了方便游客，某湿地公园开设了 ， 两个观光车租赁点，每个租赁点均有
观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为 辆． 租赁点每辆观光车的日租金 （元 与 的
函数关系式为 ，且当 元时，观光车可全部租出， 租赁点每辆观光车的日租金固定为
350元， ， 两个租赁点一天的租金收入分别为 （元 ， （元 ．
（1）求 的值，并分别写出 ， 与 之间的函数解析式；
（2）设 租赁点一天的租金收入比 租赁点多 元，求 的最大值；
（3）为了让利租客， 租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客 元现金红包，这样 租赁点一天的租金收入最多比 租赁点多980元，求 的值．
【分析】（1）将 ， 代入 ，即可求出 的值；得到 的解析式后，根据题目中的
数量关系，即可得到 ， 与 之间的函数解析式；
（2）先根据 列出函数解析式，再利用配方法或公式法即可解决问题；
（3）
【解答】解：（1） 每个租赁点均有观光车50辆， ，且当 元时，观光车可全部租出，
，
解得 ，
租赁点每辆观光车的日租金 ，
，即 ， ，
租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，
， ；
（2）由题意，得 ，
，
当 时， 最大，最大值为2000，
故当租出的观光车数量都为20辆时， 的最大值为2000元；
（3）由题意，得每租出一辆观光车返还给租客 元现金红包后，
租赁点一天的租金收入最多比 租赁点多 ，
，
当 时， 最大，最大值为 ，
又 的最大值为980元，
，
解得 ，或 （舍去），
故 的值为60．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，明确题目中的数量关系是解题的关键．
8．（2024•揭东区一模）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 ，跨度为 ，如图
所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）如图，在对称轴右边 处，桥洞离水面的高是多少？【分析】（1）根据题意可以设抛物线的顶点式，然后根据函数图象过点 ，即可求出这条抛物线所对
应的函数关系式；
（2）将 代入（1）中的函数解析式即可求得在对称轴右边 处，桥洞离水面的高度．
【解答】解：（1）设这条抛物线所对应的函数关系式是 ，
该函数过点 ，
，
解得， ，
即这条抛物线所对应的函数关系式是 ；
（2）当 时，
，
即在对称轴右边 处，桥洞离水面的高是 ．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据 的
值，可以求得相应的函数值．
9．（2024•滑县二模）护林员在一个斜坡上的点 处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地 进
行浇灌， ，点 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知水柱在距出水口 的水平距离
为 时，达到距离地面 的竖直高度的最大值为 ．设喷出的水柱距出水口的水平距离为 ，距
地面的竖直高度为 ，以坡底 所在的水平方向为 轴， 处所在的竖直方向为 轴建立平面直角坐标
系，原点为 ，如图所示．经过测量，可知斜坡 的函数表达式近似为 ．
（1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若该装置浇灌的最远点 离地面的竖直高度为 ，求此时喷到 处的水柱距出水口的水平距离．
（3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地 时，安装的
支架的高度为多少米？【分析】（1）由题意可得 ，抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为
，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把 代入 或 ，再求解即可；
（3）设安装的支架高度为 米，即抛物线向上平移 个单位长度．可得平移后的抛物线表达式为
．求解 ．将 代入 ，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可知 ，抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的函数表达式为 ．
把 代入，得 ，解得 ．
水柱所在抛物线的函数表达式为 ．
（2）对于直线 ，
当 时， ，解得 ．
喷到 处的水柱距出水口的水平距离为 ．
解法二：将 代入 ，
可得 ，解得 或 （舍去）．
喷到 处的水柱距出水口的水平距离为 ．
（3）设安装的支架高度为 米，即抛物线向上平移 个单位长度．
平移后的抛物线表达式为 ．
对于 ，当 时， ，
解得 ．
．将 代入 ，
得 ，
解得 ．
水柱恰好可以覆盖整个坡地 时，安装的支架的高度为 米．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键；
10．（2024•南山区一模）麻城市思源实验学校自从开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测
效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间 （单位：分钟）与学生学习收益量 的关
系如图1所示，学生用于当堂检测的时间 （单位：分钟）与学生学习收益 的关系如图2所示（其中
是抛物线的一部分， 为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．
（1）求老师精讲时的学生学习收益量 与用于精讲的时间 之间的函数关系式；
（2）求学生当堂检测的学习收益量 与用于当堂检测的时间 的函数关系式；
（3）问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最
大？
【分析】（1）由图设该函数解析式为 ，即可依题意求出 与 的函数关系式．
（2）本题涉及分段函数的知识．需要注意的是 的取值范围依照分段函数的解法解出即可．
（3）设学生当堂检测的时间为 分钟 ，学生的学习收益总量为 ，则老师在课堂用于精讲的时
间为 分钟．用配方法的知识解答该题即可．
【解答】解：（1）设 ，
把 代入，得： ，
， ；
（2）当 时，设 ，
把 代入，得： ，
解得： ，，
当 时， ；
（3）设学生当堂检测的时间为 分钟 ，学生的学习收益总量为 ，则老师在课堂用于精讲的时
间为 分钟，
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，
随 的增大而减小，
当 时， ，
综上，当 时， 取得最大值129，此时 ，
答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟
的学习收益总量最大．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大
值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
11．（2024•滦南县校级模拟）某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解
到一种成本为20元 件的新型商品在第 天销售的相关信息如下表所示：
销售量 （件
销售单价 （元 件）
当 时，
当 时，
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元 件
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该
加盟店 元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间 （天
的增大而增大，求 的取值范围．
【分析】（1）分别令当 时和当 时的函数值为35，然后求得对应的 的值即可；
（2）分为当 时和当 时两种情况，列出列出与天数的函数关系式，然后利用二次函数和反
比例函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的对称轴方程，然后依据前10天的利润随 的增大而增大列出关于 的不等式求解即
可．
【解答】解：（1）当 时， ，解得当 时， ，解得 ，
经检验， 是分式方程的解．
（2）当 时， ，
当 时， 有最大值为612.5
当 时， ，
当 时， 有最大值为725
第21天时获得最大利润，最大利润为725
（3） ，
前10天每天获得奖励后的利润随时间 （天 的增大而增大，
观察图象可知，对称轴为直线 ，
，
解得： ，
因为
．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次、反比例函数的增减性是解题的关键．
12．（2024•雨花台区模拟）一名在校大学生利用“互联网 ”自主创业，销售一种产品，这种产品的成
本价10元 件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16元 件，市场调查
发现，该产品每天的销售量 （件 与销售价 （元 件）之间的函数关系如图所示．
（1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）求每天的销售利润 （元 与销售价 （元 件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，
每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得 关于 的函数解析式；（2）根据“总利润 每件的利润 销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进
一步求解可得．
【解答】解：（1）设 与 的函数解析式为 ，
将 、 代入，得： ，
解得： ，
所以 与 的函数解析式为 ；
（2）根据题意知，
，
，
当 时， 随 的增大而增大，
，
当 时， 取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系
列出二次函数解析式及二次函数的性质．
13．（2024•河北模拟）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在
点正上方 的 处发出一球，羽毛球飞行的高度 与水平距离 之间满足函数表达式
，已知点 与球网的水平距离为 ，球网的高度为 ．
（1）当 时，①求 的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 的水平距离为 ，离地面的高度为 的 处时，乙扣球
成功，求 的值．【分析】（1）①将点 代入 即可求得 ；②求出 时， 的值，与1.55比
较即可得出判断；
（2）将 、 代入 代入即可求得 、 ．
【解答】解：（1）①当 时， ，
将点 代入，得： ，
解得： ；
②把 代入 ，得： ，
，
此球能过网；
（2）把 、 代入 ，得：
，
解得： ，
．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
