文档内容
压轴题 02 相似三角形四种解题模型
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
模型一、“8”字型及其变形...........................................2
模型二、“A”字型及其变形...........................................9
模型三、“手拉手”旋转型...........................................15
模型四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型.........................20
压轴能力测评（4题）...............................................................................................25
【模型】一、“8”字型及其变形
模型展示：
(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝.
(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝.
图1 图2[来源
【模型】二、“A”字型及其变形
模型展示：
(1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝.
(2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝.
(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝.
[来源:学科网]
图1 图2 图3【模型】三、“手拉手”旋转型
模型展示：
如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]
【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型
模型展示：
(1)“三垂直”模型
如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型
如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
[来源:学科网]
【模型】一、“8”字型及其变形
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落在边AD上，点
C落在点N处， 与CD交于点 ，折痕分别与边AB，CD交于点 ， ，连接BM．若 ，则
的值是 ．
2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于 ， 是边 延
长线上的一点，联结 ，与边 交于 ，与对角线 交于点 ．（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．
3．（2024·安徽·模拟预测）如图 ，在四边形 中， ，点 在边 上，且
，点 在边 上，且 ，连接 ， 交 于点 ．(1)求证： ；
(2)如图 ，若 ，求证： ；
(3)如图 ，若延长 恰好经过点 ，求 的值．
4．（2023·江苏南通·一模）正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点，
将 沿 翻折得到 ，直线 交射线 于点 ．
(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；
(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说明理由；
(3)若 ，求 的值．
【模型】二、“A”字型及其变形1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊 ，文化长廊上伫立
着三座名人塑像 ， ， ，点 ， ， ， ， 在同一直线上，且 ．在明
德楼的楼顶有一照明灯 ，塑像 的影子为 ，塑像 的影子为 ．该校“探数学”兴趣小组的同
学测得文化长廊 米，塑像高 米，塑像 的影长 米．
（1）求明德楼的高 ；
（2）求塑像 的影长 ．
2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个
方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离） 为 ，离小李 处
的小张拿一根高 的标杆直立地面，小张离教学楼 ，此时小李的眼睛、标杆
顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼 的高度．
3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为 的小尺测量这棵
树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端 ， ，然后不断调整站立的位置，在点 处时恰好能看到该大树的顶端 和底部 ．（图中所有点均在同一平面，点
， ， 在同一条直线上． 经测量，小明的手臂长 ，点 到树底端的距离 ，求
大树 的高度．
4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰 的高度，在 处和 处树立标杆 和 ，
标杆的高都是20米， ， 两处相隔200米，并且 ， 和 在同一平面内．从标杆 后退80米
的 处，可以看到顶峰 和标杆顶端 在一条直线上；从标杆 后退160米的 处，可以看到顶峰 和
标杆顶端 在一条直线上．求山峰的高度 及它和标杆 的水平距离 各是多少米？
5．（2023秋•莱西市期末）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，以 为直径作 ，与 交于点 ，连接 ．设运动时间为 ，解答下列问题：
（1） 取何值时， 平分 ；
（2）设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使 与 相切？若存在，求出 的值；若不存在说明理由．
【模型】三、“手拉手”旋转型
1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在 中，点 在边 上， ， ，
与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证： ．
2．（2023秋•陵城区期末）如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形，
的顶点 与 的斜边 的中点重合，将 绕点 旋转，旋转过程中，线段 与线段相交于点 ，线段 与射线 相交于点 ．
（1）如图①，当点 在线段 上时，且 ，求证： ；
（2）如图②，当点 在线段 的延长线上时，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， 时，求点 、 两点间的距离．（用含 的代数式表示）
3.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE
，BE与DC交于点P，已知PA=3，PB=4，PC=5．
(1)求证：△ADC≌△ABE；
(2)求∠DPB的度数及BE的长；
(3)若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQ、AR、QR，作出
图象，求QR的长．
【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型
1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上，．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．
2．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形 中， 为 边上一点，连结 ，过点
作 交 于点 ．易证： ．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，连结 ，过点 作 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 为 的中点，求 的长．
【应用】如图③，在 中， ， ， ． 为 边上一点（点 不与点 、
重合），连结 ，过点 作 交 于点 ．当 为等腰三角形时， 的长为
或 2 ．
3．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形 中， 是对角线，且 ． 是 边上一动点，连接 ， ， 交 于点 ，其中 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ．
①如图2，若 ，求 的值；
②如图3，若 ，求 的面积．1．（2023秋•市南区期末）如图1，在 中， ， ，点 以每秒1个单位长度的
速度，从点 出发沿 方向向终点 运动，同时，点 以每秒2个单位长度的速度，从点 出发沿
方向向终点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒，请解答下
列问题：
（1）当 为何值时， ；
（2）在点 、 的运动过程中，是否存在某一时刻 ，使得 的面积等于6？若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
（3）如图2， 是 的中点，连接 ，与 交于点 ，是否存在某一时刻 ，使得 ？若存
在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于 ， 是边 延
长线上的一点，联结 ，与边 交于 ，与对角线 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．
3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边 ， ， 分别在边 、 上，将 沿 折叠，点落在 边上的 处．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 ．
4.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在同一
直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
(1)求证：△MFC∽△MCA；
BE
(2)求 的值；
CF
(3)若DM=2,CM=4，求正方形AEFG的边长．
