文档内容
专题 04 三角形全等模型之手拉手模型与角平分线模型
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、等腰三角形中的手拉手模型................................................................................................................3
类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直）...............................................................................................9
类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直）.............................................................................................12
类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）......................................................................14
压轴能力测评（8题）.....................................................................................................................................18
解题知识必备
模型1.等腰三角形中的手拉手模型
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫
旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记
为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得 。
【常见模型及证法】
等边三角形手拉手模型：
等腰直角三角形手拉手模型：
等腰三角形手拉手模型：模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线、 于点A时，过点C作 .
结论： 、 ≌ .
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D作 .
结论： 、 ≌ .（当 是等腰直角三角形时，还有 .）
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：① ；② ；③ .
图1 图2 图3
模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线， ，
结论：△AOC≌△BOC， 是等腰三角形、 是三线合一等。
图1 图2 图3
条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF， 是等腰三角形、BE是三线合一等。
模型4.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】条件：如图， 为 的角平分线，A为任意一点，在 上截取 ，连结 .
结论： ≌ ，CB=CA。
条件：如图， 分别为 和 的角平分线， ，在 上截取 ，连结
.
结论： ≌ ， ≌ ，AB+CD=BC。
压轴题型讲练
类型一、等腰三角形中的手拉手模型
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 和 中， ， ，若
，连接 、 交于点 ；
(1)求证： ．
(2)求 的度数．
(3)如图(2)， 是等腰直角三角形， ， ， ，点 是射线 上的一点，
连接 ，在直线 上方作以点 为直角顶点的等腰直角三角形 ，连接 ，若 ，求
的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；
（1）根据题意得出 ，即可证明 ；
（2）根据题意可得 是等边三角形，根据（1）的结论可得 ，进而根据三角形的内角
和定理，即可求解；（3）分情况讨论，当 在线段 上时，当 在 的延长线上时，证明 ，得出
，结合图形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
又∵ ， ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∴
；
（3）解：如图所示，当 在线段 上时，
∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形
∴ ，
又∵ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
如图所示，当 在 的延长线上时，同理可得，∴
∴
∵
∴
综上所述， 或
【变式训练1】如图， 和 都是等边三角形，直线 ， 交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时， 的度数为______，线段 与 的数量关系为
______．
(2)如图2，当 绕点C顺时针旋转 时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说
明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若 ， ，当 绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出 长的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时
证明三角形全等是关键．
（1）利用等边三角形的性质证明 ，结合三角形的外角就可以得出结论；
（2）同（1）中方法证明 ，得出 ， ，再根据三角形的内角和得出
；
（3）当B、C、D三点共线时得出 的最大和最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解： 是等边三角形，， ，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
， ，
，且
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
， ，
，且 ，
；
（3） 是等边三角形，
，当旋转 = 时，B、C、D三点共线，此时 ，
当旋转 = 时，B、C、D三点共线，此时 ；
∴ ．
【变式训练2】（1）问题发现：如图1， 和 均为等边三角形，当 应转至点 ， ，
在同一直线上，连接 ，易证 ，则① ；②线段 ， 之间的数量关系 ；
（2）拓展研究：如图2， 和 均为等腰三角形，且 ，点 ， ， 在同
一直线上，若 ， ，求 的长度；
（3）如图3， 为等边三角形 内一点，且 ， ， ， ， ，
求 的长．
【答案】（1）① ；② ；（2） ；（3）
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用，
（1）证明 ．得到 ．利用 为等边三角形，得到
，再利用点A，D，E在同一直线上，可得 ，即可得 ；
（2）证明 ，可得 ， ，再证明
，利用勾股定理求解即可；
（3）把 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，可得 ，证明 是等边三角形，
证明 ，再证明 、 、 在同一条直线上，求出 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）①∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ．
∵点A，D，E在同一直线上，∴ ．
∴ ．
②由①得：△ ，
∴ ；
故答案为：① ；② ．
（2）∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ， ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为等腰直角三角形
∴ ．
∵点 ， ， 在同一直线上，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（3）把 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，如图所示： ， ，
则 ，
∴ ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
即D、P、E在同一条直线上，
∴ ，
在 中， = ，
即 的长为 ．
【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题
的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中．
类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
例题：如图，在 中， 为 边上一点， 于点 ， 于点 ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的
关键．
（1）连接 ，证明 ，得 ，再利用角平分线的性质即可解决问题；
（2）结合（1） ，根据 ，代入值计算即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
于点 ， 于点 ，
，
在 和 中，，
，
，
于点 ， 于点 ，
平分 ；
（2）解： ，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为：4．
【变式训练1】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的
部分内容．
已知：如图． 是 的平分线，P是 上任意一点， ， ，垂足分别为点D和点
E．
求证： ．
分析：
图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等便可证得 ．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明 的过程．
【类比探究】
（1）如图②， 是 的平分线，P是 上任意一点，点M，N分别在 和 上，连接 和
，若 ，求证： ；
（2）如图③， 的周长是12； 、 分别平分 和 ， 于点D，若 的
面积 ，则 长为________．【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，
[问题解决]利用角角边定理证明 ，根据全等三角形的性质证明结论；
[类比探究]（1）过点P作 于E， 于F，根据角平分线的性质得到 ，证明
，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过O作 与E， 于F，利用角平分线的性质可得 ， ，然后再利用
面积的计算方法可得答案．
【详解】[问题解决]证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
,
∴ ( )，
∴ ；
[类比探究]（1）证明：如图②，过点P作 于E， 于F，
∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；
（2）过O作 与E， 于F，
∵ 、 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，
∵ 的面积为18，且 ，
∴ ，
即 ，
故答案为：3．
类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
例题：（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图， 中， ， ， 平分 ，
，垂足 在 的延长线上．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的面积 用含 的代数式表示 ．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形
是解题的关键．
（1）由 ，得 ，再根据 ，利用三角形内角和定理可证明结论；
（2）延长 ， 交于点 ，利用 证明 ，得 ，再根据 证明
，得 ，则 ，从而解决问题．
【详解】（1）证明： ， ，
，
又 ，
；
（2）解：如图，延长 ， 交于点 ，
在 与 中，
，
，
，
平分 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
．类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图， 是AD中点， 平分 ．
(1)若 ，求证： 平分 ．
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．
（1）过点E作 ，垂足为H，根据角平分线性质可得 ，再由角平分线判定即可得出
结论；
（2）在 上截取 ，连接 ．先证明 可得 ，再证 可得
即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点E作 ，垂足为H，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
又∵ 是 中点，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴： 平分 ．
（2）解：如图：在 上截取 ，连接 ．平分 ，
．
在 和 中，
，
， ．
是 的中点，
．
又 ，
，
，
，
在 和 中
．
，
，
，
∴
【变式训练1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图， 是 的平分线， ，点E在 上，
连接 、 ，过点D作 ， ，垂足分别是F、G．(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）首先利用角平分线的性质可得 ，然后再利用“ ”判定 即可；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，根据等角的补角相等可得 ，再证明
，即可证明 ．
【详解】（1）证明： 是 的平分线，
，
在 和 中，
，
；
（2）证明： ，
，
，
， ， ，
，
．
【变式训练2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，
在 、 上分别取点 、 、 、 ，使得 ， ，连接 、 ，交点为 ，则射线
为 的角平分线．
【验证】（1）试说明 平分 ，且 ；
【应用】（2）如题图2，若 、 、 、 分别为 、 上的点，且 ， ，
试用（1）中的原理说明 平分 ；【猜想】（3）如题图3， 是 角平分线上一点， 、 分别为 、 上的点，且 ，请
补全图形，并直接写出 与 的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性
强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）先证明 ，得 ，再证 ，得 ，然后证
，得 ，即可得出结论；
（2）先证明 ，可得 ，由（1）可得 平分 ；
（3）过点 分别作 于 ， 于 ，分两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1） ， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
即 ，
射线 平分 ；
（2） ，
，
，
，
，
由（1）可得 平分 ；
（3）补全图形如下，过点 分别作 于 ， 于 ，
是 的平分线，
， ，当 时，
在 和 中，
，
，
；
当 时，
同理得 ，
；
，
，
综上所述， 与 的数量关系为 或 ；
压轴能力测评（8题）
一、填空题
1．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图， 于E， 于F， ， ，则
的度数是 ．
【答案】
【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和
360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角
的平分线上是解题的关键．
【详解】解： ， ， ，点 在 的平分线上，
∴ ．
∴
∴
故答案为：
2．（23-24七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在 中， ， 平分 ，交 于 ，
若 ，点 到边 的距离为6，则 的长为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了角平分线的性质，即“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，掌握角平分线
的性质是解本题的关键．
过 作 于 ，则 ，根据角平分线性质求出 ，求出 ，再计算 即可得
出结果．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
点 到 的距离为6，
，
， 平分 ，
，
，
，
．
故答案为：18．
3．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图 中 ， ，点 是 、 角
平分线的交点，过 作 于 点，且 ，则 的面积为 ．【答案】48
【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点 作 ，易得： ，连接 ，
分割法求出 的面积即可．
【详解】解：过点 作 ，连接 ，
∵点 是 、 角平分线的交点，过 作 于 点， ，
∴ ，
∴ 的面积为： ．
故答案为：48．
4．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在 中， 于E， 于F， 为 的平分
线， 的面积是 ， ， ， ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据 的面积是
，列式得 ，即可得到答案．
【详解】解：在 中， 于E， 于F， 为 的平分线，
，
的面积是 ，
，即 ，，
，
故答案为： ．
二、解答题
5．（21-22八年级下·辽宁锦州·期末）在 与 中， ， ，
．
(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接 ， ，则 与 的关系为________．
(2)如果将图1中的 绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断 与 的关系，并
说明理由
(3)如图3，若 ， ，连接 ，分别取 ， ， 的中点M，P，N，连接 ， ，
，将 绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中 的面积最大值和最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；理由见解析；
(3)最小值为2，最大值为8．
【分析】（1）延长 交 于 ，证明 ，得出 ， ，根据
，得出 ，即可得出结论；
（2）延长 交 于点 ，交 于点 ，通过证明 ，得出 ，
，根据 ， ，得出 ，即可得出结论；
（3）连接 ，由（1）（2）同理可得， ， ，根据三角形的中位线定理可得
， ，进而得出 ， ，则 ，
当点E在 上时， 取最小值，此时 也取最小值，则 最小；当点E在 延长线上时，
取最大值，此时 也取最大值，则 最大．
【详解】（1）解：延长 交 于 ，在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解： ， ；
理由：延长 交 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解：连接 ，由（1）（2）同理可得， ，
∵点M，P，N为 ， ， 的中点，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点B在平面内顺时针旋转，
∴点E在以点B为圆心， 为半径的圆上运动，
当点E在 上时， 取最小值，此时 也取最小值，则 最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ；
当点E在 延长线上时， 取最大值，此时 也取最大值，则 最大，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 的最小值 ；
综上： 最小值为2，最大值为8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握全等三角形
的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】
如图①， ， 平分 ， 点 F在 上， 的两边分别与 ，
交于点 D， E． 当 ， 时，则 与 的数量关系为 ；
（2）【问题探究】
如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线 ， ，分别交 ， 于点 M， N，
判断 与 的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地 ，如图③所示， ， 是 的平分线，
， ，直接写出该空地的面积．
【答案】（1） ；（2） ，理由见详解；（3）
【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得 ；
（2）先根据四边形内角和等于 可得 ，由 可得 ，再
根据 证明 ，则可得 ；
（3）过C点作 于E点， 的延长线于F点．由（2）得 ，则可得 ，
，进而可得 ．证明 ，则可得 ，由 、
可求得 的长，进而可得 、 的长，由此可得 的值，即可得 的值．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， 点 F在 上，且 ， ，∴ ．
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 中， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）解：如图，过C点作 于E点， 的延长线于F点，
由（2）得 ，
， ，
，
∵ 是 的平分线，
，
又 ， ，
，
，
又 ，
，
，
解得 ，
，，
，
答：该空地的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅
助线是解题的关键．
7．（22-23九年级下·江西抚州·阶段练习）在 中， ， ，点 是平面内不与点 ，
重合的任意一点，连接 ，将线段 绕点 旋转 得到线段 ，连接 、 、 ．
(1)当 时，
①如图1，当点 在 的边 上时，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，则 与 的数量
关系是_______________；
②如图2，当点 在 内部时，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，①中 与 的数量关系
还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当 时，
①如图3，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．试判断 与 的数量关系，并说明理由；
②若点 ， ， 在一条直线上，且 ，线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，求 的值．
【答案】(1)① ；②成立，证明见解析；
(2)① ，理由见解析；② 或
【分析】（1）①根据旋转的性质和等边三角形的判定，易证 和 是等边三角形，得到 ，
， ，再利用“ ”证明 ，即可得到 与 的数量关系；
②由①可知， 和 是等边三角形，进而证明 ，得到 ，即可证明结论；
（2）①根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定，易证 和 是等腰直角三角形，得到
， ， ，进而得到 ， ，易证
，从而得到 ，即可得到 与 的数量关系；
②设 ，则 ，根据等腰直角的性质，得到 ， ，分两种情况讨论：点在 上和点 在 的延长线上，利用旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求解，即
可求出， 的值．
【详解】（1）解：① ， ，
是等边三角形，
， ，
线段 绕点 旋转 得到线段 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
故答案为： ；
②成立，理由如下：
由①可知， 和 是等边三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：① ，理由如下：
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
线段 绕点 旋转 得到线段 ，
， ，是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
，
，
；
② ，
设 ，则 ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
如图，当点 在 上时，此时 ，
由旋转的性质可知， 是等腰直角三角形，
， ，
， ，
由勾股定理得： ，
；
如图，当点 在 的延长线上时，此时 ，
同理可知， ， ，
由勾股定理得： ，，
综上可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判
定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握手拉手—旋
转型全等是解题关键．
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利
用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.
【问题提出】
（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 的依据是
，这两个三角形全等的判定条件是______．
【问题探究】
（2）①巧翻折，造全等
如图②，在 中， 是 的角平分线，请说明 ．
小明在 上截取 ．连接DE，则 ．请继续完成小明的解答；
②构距离，造全等
如图③，在四边形ABCD中， ， ， 和 的平分线 ， 交 于点 ．
过点 作 于点 ．若 ，求点 到 的距离；
【问题解决】
（3）如图④，在 中， ， ， 是 的两条角平分线，且 ， 交于点 ．请判
断 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②点 到 的距离是 ；（3） ，理由见解析
【分析】（1）直接利用 证明 即可得出 ；
（2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；
②如图：过点 作 ，垂足为点 ，利用角平分线的性质证得 ,即 为 的中点，
进而求得 的长即可；
（3）在 上截取 ，连接 ；再证明 得到 ， ；再证明
，最后利用全等三角形的性质即可解答．【详解】解：（1）证明：
根据作图可得 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
故答案为： ；
（2）①在 上截取 ．连接DE，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ；
②如图：过点 作 ，垂足为点 ，
和 的平分线 ， 交 于点 ，
，即 ，
，即点 到 的距离是 ；
（3） ，理由如下：
，
，
， 是 的两条角平分线，且 ， 交于点 ．
，
；在 上截取 ，连接 ，则 ，
， ，
∵ ，
，
，
，
又 ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定
与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
