文档内容
专题 09 构造等腰三角形的四种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形...........................................................................................2
类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形....................................................................................6
类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形.......................................................................................10
类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形......................................................................................................14
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................18
解题知识必备
1. 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总
结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2. 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
模型分析：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形．3. 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形.
4. 利用倍角关系构造新等腰三角形
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的
延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形.
压轴题型讲练
类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形
例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， ， 是 的
中点．(1)求证： 是等腰三角形
(2)若 ，求 的度数．
【变式训练1】（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在 中， 的平分线 交 于点 ，
．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若 平分 交 于 ， ，在 边上取点 使 ，若 ，求
的长．
【变式训练2】（2023上·全国·八年级期末）如图1，在 中， 和 的平分线交于点O，过
点O作 ，交 于E，交 于F．
(1)当 ，则 ___________；
(2)当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它仍然和 的角平分线相交于点O，过点O
作 ，交 于E，交 于F，试判断 ， 之间的关系，并说明理由．
类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
例题：如图，在 中， 平分 ， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于 ，
交 于 ，交 的延长线于 ．
求证：(1) ；
(2) ．【变式训练1】如图
(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作
，垂足为C，延长 交 于点B，可根据 证明 ，则 ，
（即点C为 的中点）．
(2)【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等
的办法，可求得 ．
(3)【拓展延伸】
如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，试
探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
(4)【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地
进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的角平分线 ；②过点A作 于D．已知
， ， 面积为20，则划出的 的面积是多少？请直接写出答案．
类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形
例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图， 是等边三角形，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ．
(1)若点 是 的中点，如图1，则线段 与 的数量关系是__________；
(2)若点 不是 的中点，如图2，试判断 与 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点 作
，交 于点 )
(3)若点 在线段 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请
说明理由．
【变式训练1】（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线 ， 相交于点 ，点 ， 分别为直线
， 上的点， ，且 ，点 是直线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，
运动过程中始终满足 ．
(1)如图1，当点 运动到线段 的中点，点 在线段 的延长线上时，求 的长．
(2)如图2，当点 在线段 上运动，点 在线段 的延长线上时，试确定线段 与 的数量关系，
并说明理由．
类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的
添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另
一长边相等，解答下列问题：如图1，在 中，交 于点D， 平分 ，且 ．
(1)为了证明结论“ ”，小亮在AC上截取 ，使得 ，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形 中，已知 ， ， ， ， ，
，求 的长．
【变式训练1】在 中， ，点 在边 上， ，点 在线段 上，
．
(1)如图 ，若点 与点 重合，则 ______ ；
(2)如图 ，若点 与点 不重合，试说明 与 的数量关系；
(3)在（1）的情况下，试判断 ， 与 的数量关系，并说明你的理由．
压轴能力测评（10题）
一、解答题
1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图： 在 的 边的延长线上， 点在 边上， 交
于点 ， ， ．求证： 是等腰三角形．（过 作 交 于 ）
2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图 中 ， ， 平分 ， 平
分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在 中， 的平分线 交 于
D，过C作 交 于II，交 于N．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)求证： ．
4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在 中， ， 平分 交
于点D．过点A作 ，交 的延长线于点E．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长（用含m，n的式子表示）．
5．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在 中， 平分 ，且 ，
(1)若 ，求 的长；
(2)如图2，若 交 于 ，交 于 ，且 为等腰三角形，求 的长．
6．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【问题提出】
（1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形．
小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明：
∵ 是 的外角，
∴ _______ ________，
又∵ ，
∴ _______ ________，
∴ ________，
∴ 是等腰三角形．
【初步应用】
（2）如图2，等边 中，BD是中线，E在 延长线上，且 ，判断 的形状并说明
理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 于D， ，求证： ．
【拓展提升】
（4）如图4， 中， ，BD平分 ， 的周长为10， ，求CD的长．
7．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交
于O点，过O点作 交 ， 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间
有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作
交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
8．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）在 中， 的平分线 交
边 于点 ，(1)如图1，求证： 为等腰三角形；
(2)如图2，若 的平分线 交边 于点 ，在 上截取 ，连接 ，求证：
；
(3)如图3，若 外角的平分线 交 延长线于点 ，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明
理由．
9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明．
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
如图1，在 中， ，怎样证明 呢？
如图2，把 沿 的平分线 翻折，因为 ，所以，点C落在 上的点 处．于是，由
， ，可得 ．
感悟与应用：
（1）如图3， 是 的高， ．若 ， ，求 的长．小龙同学的解法是：将
沿 折叠，点C落在 边上的点 处……，画出图形并写出完整的解题过程；
（2）如图4， 是 的角平分线， ．线段 、 、 之间有怎样的数量关系？写出
你的猜想并证明．
10．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在 中，AD平分 ，
，探究 ，AB，BD之间的数量关系；嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在 上截取 ，使得 ，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长AB到点 ，使得 ，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决此问题
(1)根据探究，直接写出 ，AB，BD之间的数量关系；
【迁移应用】
(2)如下图，在 中， 是 上一点， ， 于 ，探究CD，AB，BD之间的数量
关系，并证明．
【拓展延伸】
(3)如下图， 为等边三角形，点 为AB延长线上一动点，连接CD．以CD为边在CD上方作等边
，点 是DE的中点，连接 并延长，交CD的延长线于点 ．若 ，求证：
；
