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重难点 02 相似三角形模型及其综合题综合训练
中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：
一、K型相似
二、8字图相似
三、A字图相似
四、母子型相似
五、手拉手相似
相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相
似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。
考向一：K型相似
①定义:一线三等角模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角锐角或
钝角；
②识别一线三等角模型:在题目中，当看到三个等角(尤其是直角)的顶点在同一条直线上时，应想到一线三
等角模型；
③利用一线三等角模型求解:通过一线三等角模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质来求
解边长或角度。
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，
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CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解
《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三
直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作
DE⊥AB交AB的延长线于点E．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积；
BN
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 = ______；
BC
2
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP= ，请直接写出线段AP的长度．
3
3．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，
使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
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(1)求证：△EDP∽△PCH．
(2)若P为CD中点，且AB=2,BC=3，求GH长．
(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，▱ABCD的顶点B、C在x轴
上，A在y轴上，OA=OC=2OB=4，直线y=x+t(−2≤t≤4)）分别与x轴，y轴，线段AD，直线
AB交于点E，F，P，Q．
(1)当t=1时，求证：AP=DP．
(2)探究线段AP，PQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得∠PMQ=90°，且以点M、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，若
存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考向二：8字图相似
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①定义:8字模型是指由两个三角形通过共享一条对角线或中线构成的图形结构，这条对角线或中线将两个
三角形分为两个小的相似三角形；
②利用8字模型求解边长或角度:在8字模型中，可以通过相似三角形的性质来求解边长或角度；
③添加辅助线构造8字模型:题目中并未直接给出8字模型，但可以通过添加辅助线(如中线或高)来构造8
字模型，从而简化问题。
1．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABDE中，∠ABC=∠BDE，点C在边BD上，且
AC∥DE，AB∥CE，点F在边AC上，且AF=CE，连接BF,DF，DF交CE于点G．
(1)求证：BF=DF；
(2)如图2，若∠ACE=∠CDF，求证：CE⋅CF=BF⋅DG；
BC
(3)如图3，若延长BF恰好经过点E，求 的值．
CD
2．（2023·江苏南通·一模）正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线BD上的一动点，
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∠DAE=α(α≠45°).将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G．
(1)当0°<α<45°时，求∠DBG的度数(用含α的式子表示)；
DG
(2)点E在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值.若变化，请说明理由；
DE
(3)若BF=FG，求α的值．
3．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，
过点B作BE⊥AB交AC于点E．
(1)求证：△ABO∽△BEO；
(2)若AB=10,AC=16，求OE的长．
考向三：A字图相似
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①定义:A字模型是指由两个三角形共享一条边且这条边与两个三角形的另外两边分别构成相似三角形的一
种图形结构；
②直接利用A字模型解题:根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两个对应的角相等，则它们相似，
在A字模型中，通常可以通过平行线或给定的角来判定相似三角形；
③添加辅助线构造A字模型:当题目中未直接给出A字模型时，可以通过添加辅助线(如平行线或垂线)来构
造A字模型，从而利用相似三角形的性质解题。
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C
DP 1
落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．若 ＝ ，则
CP 2
AE
的值是 ．
BE
2．（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，过点C的直线
与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为C´B上一点，且C´F=C´A，连接BF并延长交射线DC于点
E．
(1)求证：DE⊥BE；
5
(2)若DC= EC，DA=4，求BE的长．
3
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3．（2025·浙江宁波·一模）（1） 如图1， 在△ABC中， D是BC上一点，EF∥BC交AD于点G，
EG
则 = （用图中已有线段表示）
GF
（2） 如图2，在△ABC中， M、N是AB上的两点， 且满足BN=NM=MA， 在BC上取一点D，
QD
过点D作DP∥AC分别交 CM的延长线、CN于点 P、Q，求 的值：
QP
（3） 如图3， 在正方形ABCD中， 点E是BC上一点， 连接AE交BD于点F， 在AF上取一点
PD √10
P， 使得∠BPD=135°， 若 = ,AD=5, 求BE的长．
PB 2
考向四：母子型相似
①定义:母子模型是指一个大三角形内包含一个小2三角形，且这两个三角形在形状上相似的一种图形结构
②”识别母子模型:在题目中，当看到一个大三角形内包含一个小三角形，且这两个三角形的形状相似
时，应想到母子模型；
③利用母子模型求解:通过母子模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质来求解边长角度
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或面积。
1．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更
是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这
一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
(1)初步探究
如图2，若∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC=4，求CD的长；
(3)创新提升
如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=2√7，求BE
的长．
2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，
∠EAC=∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
(1)求证：CA是⊙O的切线；
(2)当AC=8,CE=4时，求DE的长．
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3．（2024·江苏泰州·二模）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，点D是弧BC上一
动点，连接AD交弦BC于点E，点F在弦AD上，且BD=BF．
(1)求证：△EBF∽△EAB；
2
(2)如图2，若AD是⊙O的直径，AF=5，tan∠CBD= ，求直径AD的长；
3
(3)如图3，保持点B位置不变，调整点A、D的位置使得直线BF经过圆心O，点M在⊙O上，使得
CM EF
= 成立的所有点M中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点M，并说明理由．
CA EB
考向五：手拉手相似
①定义:手拉手模型是指两个相似的三角形通过旋转、平移或翻折等方式连接在一起的一种图形结构；
②识别手拉手模型:在题目中，当看到两个相似的三角形通过某种方式连接在一起时，应想到手拉手模
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型；
③利用手拉手模型求解:通过手拉手模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质以及旋转、
平移或翻折等几何变换来求解边长、角度或面积。
1．（2024·河南新乡·三模）（1）【观察发现】如图（1），在△ABC，点D是边BC的中点，延长BA到
点E，使AE=AB，连接CE，可得AD与CE的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究迁移】如图（2），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E为平面内一点，将线段
EB绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，CF，点D为CF的中点，连接DE、AE，试判断
DE和AE的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若AB=AC=5，EB=2，当EF∥AC时，请直接写出DE的长．
2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现
图（1），在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=35°，连接AC，BD交
于点M.
AC
① 的值为______；②∠AMB的度数为_______．
BD
（2）类比探究
图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC，交
AC
BD的延长线于点M，请计算 的值及∠AMB的度数；
BD
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若OD=2，AB=8，将△OCD绕点O在平面内旋转一周．
①当直线DC经过点B且点C在线段BD上时，求AC的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线OB距离的最大值．
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3．（2023·重庆江北·一模）在等腰三角形ABC中，AB=AC．点E为AC上一点，连接BE．
(1)如图1，若∠BAC=90°，过点C作CD⊥BE交BE延长线于点D，连接AD，过点A作AF⊥AD
交BD于点F，连接CF，求证：FC2=FB2+2F A2；
(2)如图2，过A作AD∥BC交BE延长线于点D，将AD绕着点A逆时针旋转至AN，连接DN，使得
DN⊥AC于点G，AN与BD交于点M，若点M为BD的中点，且∠DAM=∠DMA，猜想线段AM
与DE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若∠BAC=60°，AB=2√3，将AC沿着AP翻折得到AC′(∠CAC′<120°)，点C′落在
BE延长线上，BC′交AP于点P，点Q、R分别是射线AC、AB上的点，连接CP、PQ、QR，满足
1 2√3
AR−CP= AQ，当BP取得最大值时，直接写出 RQ+QP的最小值的平方．
2 3
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（建议用时：35分钟）
1．（2024·河南·中考真题）如图，在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，
EF∥AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（ ）
1 4
A． B．1 C． D．2
2 3
2．（2024·辽宁·中考真题）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1:4，
若AB=6，则CD的长为 ．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是
对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF．
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】
1
（2）若AB=2，AD=3，DF= BF，求DE的长；
2
【模型迁移】
1 AF
（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF= BF，求 的值．
2 AD
4．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋
转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α，线段BC与DE的数量关系是______；
1
（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE= AC，其他条件不变，写出变化后
2
线段BC与DE的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时
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针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．
5．（2025·河南郑州·一模）【感知特例】
（1）如图1，点A，B在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B，点P在线段AB上，且
PC⊥PD，垂足为P．结论：AC⋅BD=AP⋅BP
(请将下列证明过程补充完整)
证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD，
∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°，
∴∠C+∠APC=90°，
______.+∠APC=90°，
∴ ______= ______，(同角的余角相等)
∴△APC∽______，(两角分别相等的两个三角形相似)
∴ ______= ______，(相似三角形的对应边成比例)
即AC⋅BD=AP⋅BP．
【建构模型】
（2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段AB上，且∠CAP=∠DBP=∠CPD．结论
AC⋅BD=AP⋅BP仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点，始终
满足∠CPD=∠A．设AP长为x(0
