FY25暑假初三A06B03相似三角形的性质教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

06A/B03 相似三角形的性质
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）性质定理1
（2）性质定理2
（3）性质定理3
2. 考情分析
（1）相似三角形的性质定理，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）相似三角形的性质定理以选择、填空题为主，也会在解答题中进行综合考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形 24.5相似三
角形的性质.
（4）相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角
形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定
的互相结合．
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：相似三角形性质定理 1 30分钟
切片2：相似三角形性质定理 2 15分钟
切片3：相似三角形性质定理 3 40分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——相似三角形性质定理 1【建议时长：40 分钟】
考点一：相似三角形性质定理 1
知识笔记1
1、相似三角形的基本性质
相似三角形对应边___________，对应角___________
2、相似三角形的性质定理1
相似三角形___________的比、___________的比和___________的比都等于相似比．
【填空答案】
1、成比例；相等
2、对应高；对应中线；对应角平分线
例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2020•虹口区期末）已知
2
 A B C ∽ △ A B C  ，顶点A、B、 C 分别与
顶点 A  、 B  、C对应，AD、 A D  分别是 B C 、 B C  边上的中线，如果 B C = 3 ，
A D = 2 .4 ， B C  = 2 ，那么AD的长是_____________．
（2）（★★☆☆☆）（2022•金山区金山初级中学月考）已知两个相似三角形的相似比为 1 : 4 ，
则它们的对应高的比为( )
A． 1 : 2 B． 1 : 4 C． 1 : 8 D． 1 : 1 6
【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1的概念
【常规讲解】（1）解：  A B C ∽ △ABC，AD和 A D  是它们的对应中线， B C = 3 ，
AD=2.4， B C  = 2 ，
 B C : B C  = A D : A D  ，
 2 .4 : A  D  = 3 : 2 ，
 A D  的长是1.6，
故答案为：1.6．
（2）解：因为两个相似三角形的相似比为1:4，所以这两个三角形的对应高的比为
3
1 : 4 ．
故选： B ．
练习1:【学习框8】
（★★☆☆☆）（2019•虹口区期末）已知ABC∽△ A
1
B C1
1
，顶点 A 、 B 、 C 分别与 A
1
、 B
1
、
C
1
对应， A C = 1 2 、AC =8，
1 1
 A B C 的高AD为6，那么△ A
1
B C1
1
的高 A
1
D
1
长为__________．
【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1的概念
【常规讲解】解：  A B C ∽ △ A
1
B C1
1
，AC=12、 A
1
C
1
= 8 ，
 相似比为：
1 2
8
=
3
2
，
 A B C 的高 A D 为6，
 △ A
1
B C1
1
的高 A
1
D
1
长为： 6 
2
3
= 4 ．
故答案为：4．
考点二：三角形中矩形模型
知识笔记2
结论1：  A B C ∽  A D G 
A
A
O
H
=
D
B
G
C
结论 2：一般相似三角形里面含有矩形的问题，运用相似三角形_________________等于
____________________.
【填空答案】
对应边之比；对应边上的高之比
B
D
E
A
H
O
F
G
C例题2:
（1）（★★★☆☆）（2020•宝山区二模）如图，矩形
4
E F G H 内接于  A B C ，且边FG落在 B C
上，如果 A D ⊥ B C ， B C = 3 ，AD=2，EF:EH =2:3，那么EH 的长为 ( )
A．
1
2
B．
3
2
C．
1
1
2
3
D．2
（2）（★★★☆☆）（2021•黄浦区期中）如图，在ABC中，有矩形DEFG，G、F 在BC
上，D、 E 分别在 A B 、 A C 上，AH ⊥BC交 D E 于M， D G : D E = 1 : 2 ， B C = 1 2 c m ， A H = 8 c m ，
则 D E = _________ c m ．
（3）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）如图，矩形 D E F G 的边 D E 在  A B C 的边 B C 上，
顶点G、 F 分别在边AB、 A C 上．已知 B C = 6 c m ， D E = 3 c m ， E F = 2 c m ，那么ABC的
面积是_____ c m 2 ．
【配题说明】考察三角形中的矩形模型（填空、选择）
【常规讲解】
（1）解：如图所示：
四边形EFGH是矩形，EH //BC，
5
  A E H ∽  A B C ，
AM ⊥EH， A D ⊥ B C ，

A
A
M
D
=
E
B
H
C
，
设 E H = 3 x ，则有 E F = 2 x ， A M = A D − E F = 2 − 2 x ，

2−2x 3x
= ，
2 3
解得： x =
1
2
，
3
则EH = ．
2
故选：B．
（2）解：设 D G = x ，则 D E = 2 x ，
四边形 D E F G 是矩形，
 D E / / B C ，
  A D E ∽  A B C ，
A H ⊥ B C 交 D E 于 M ，
 四边形 D G H M 是矩形，
 D G = M H = x ，
A H = 8 c m ，
 A M = A H − M H = 8 − x ，
D
B
E
C
=
A
A
M
H
，

2
1
x
2
=
8 −
8
x
，
解得： x =
2 4
7
，
48
DE=2x= cm，
7
48
故答案为 ．
7
（3）解：过A作AH ⊥BC于 H ，交GF 于 M ，如图所示：
则MH =EF =2cm，四边形DEFG是矩形，
6
 G F / / B C ， D G = E F = 2 c m ， G F = D E = 3 c m ，
GF //BC，
  A G F ∽  A B C ，

A
A
M
H
=
G
B
F
C
，
AM 3
即 = ，
AM +2 6
解得： A M = 2 ( c m ) ，
 A H = A M + M H = 4 ( c m ) ，
  A B C 的面积 =
1
2
B C  A H =
1
2
 6  4 = 1 2 ( c m 2 ) ，
故答案为：12．
练习2:【学习框10】
（1）（★★★☆☆）（2021•徐汇区徐汇中学月考）如图，矩形 D E F G 的一边 G F 在  A B C 的
边 B C 上，D、 E 分别在 A B 、 A C 上， A H ⊥ B C 交DE于 M ， D G : D E = 1 : 2 ， B C = 1 2 c m ，
A H = 8 c m ，则DE的长_________．
（2）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期中）如图，矩形 D E F G 内接于  A B C ， B C = 6 c m ，
D E = 3 c m ， E F = 2 c m ，则 B C 边上的高的长是___________．（3）（★★★☆☆）（2022•虹口区上海外国语大学附属外国语学校月考）如图，矩形DEFG
为ABC的内接矩形，点
7
G ， F 分别在 A B ， A C 上， A H 是 B C 边上的高，BC =10， A H = 6 ，
E F : G F = 2 : 5 ，则矩形DEFG的面积为___________．
【配题说明】考察三角形中的矩形模型（填空、选择）
【常规讲解】
（1）解：设 D G = x c m ，则 D E = 2 x c m ，
四边形DEFG是矩形，
 D E / / B C ，
  A D E ∽  A B C ，
A H ⊥ B C 交 D E 于 M ，
四边形 D G H M 是矩形，
 D G = M H = x ，
A H = 8 c m ，
 A M = A H − M H = 8 − x ，
AM ，AH 分别是ADE，ABC的对应高，

D
B
E
C
=
A
A
M
H
，

2
1
x
2
=
8 −
8
x
，
24
解得：x= ，
7
48
DE=2x= cm，
7
48
故答案为 cm．
7（2）解；过
8
A 点作 B C 边上的高 A H ，交 G F 于 M ，交BC于 H ，
由S =S +S 可得，
ABC AGF 梯形BCFG
1
2
B C  A H =
1
2
G F  A M +
1
2
( G F + B C )  A H ，
将BC=6cm， D E = 3 c m ，EF =2代入上式可得 A H = 4 c m ．
故答案为： 4 c m ．
（3）解：设 E F = 2 x ，则 G F = 5 x ．
G F / / B C ， A H ⊥ B C ，
 A K ⊥ G F ．
G F / / B C ，
AGF∽ABC，

A
A
K
H
=
G
B
F
C
．
AH =6，BC =12，

6 −
6
2 x
=
5
1
x
0
．
解得 x =
6
5
．
12
EF = ，GF =6，
5

72
矩形DEFG的面积为 ．
5
72
故答案为： ．
5例题3:
（★★★★☆）（2020•嘉定区期中）如图，矩形
9
E F G D 的边 E F 在等腰  A B C 的底边 B C 上，
顶点D、G分别在边AB、 A C 上，已知AB= AC=10，BC =12，设BE=x，矩形EFGD
的面积为
y
．
（1）求 B C 边上的高．
（2）试求 y 关于 x 的函数关系式及定义域．
【配题说明】三角形中矩形模型在解答题中的综合应用
【常规讲解】解：（1）过 A 作 A M ⊥ B C 于 M ，
R t A M C 中，
A B = A C ， A M ⊥ B C ，
 C M =
1
2
B C = 6 ， A C = 1 0 ，
由勾股定理，得 A M = A C 2 − C M 2 = 8 ；
（2） A B = A C ，
  B =  C ；
四边形 D E F G 是矩形，
  D E B =  G F C = 9 0  ， D E = F G ；
  D E B   G F C ( A A S ) ；
 B E = F C = x ，
A M ⊥ B C ，GF ⊥BC，
 G F / / A M ，
  C F G ∽  C M A ，
CF GF 4
 = ，即GF =CFAM CM = x，
CM AM 3
 y = (1 2 − 2 x ) 
4
3
x = −
8
3
x 2 + 1 6 x ( 0  x  6 ) ．练习3:【学习框12】
（★★★★☆）（2021•奉贤区尚同中学期中）如图，矩形
10
D E F G 的边EF在  A B C 的边 B C 上，
顶点D、G分别在边AB、AC上，已知ABC的边BC长 60 厘米，高AH 为 40 厘米，矩
形DEFG相邻两边 D E : E F = 2 : 3 ．求矩形 D E F G 的边DE、 E F 的长．
【配题说明】三角形中矩形模型在解答题中的综合应用
【常规讲解】解： 四边形DEFG是矩形，
 D G / / B C ， D G = B C ，
D E : E F = 2 : 3 ，
 设 D E = 2 x c m ， D G = E F = 3 x c m ，
D E / / B C ，
  A D G ∽  A B C ，

3
6
x
0
=
4 0 −
4 0
2 x
，
 x = 1 0 ，
 D E = 2 0 c m ，EF =30cm．知识加油站 2——相似三角形性质定理 2【推荐时长15分钟】
考点三：相似三角形性质定理 2
知识笔记3
相似三角形的性质定理2
相似三角形_____________等于相似比．
【填空答案】
周长的比
例题4:
（1）（★★☆☆☆）（2023•宝山区一模）已知一个三角形的三边之比为
11
2 : 3 : 4 ，与它相似的
另一个三角形 A B C 的最小边长为4厘米，那么三角形 A B C 的周长为_______厘米．、
（2）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是 4 : 9 ，那么它们
的对应角平分线的比为_______．
（3）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）如果两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，这两个三
角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为_______cm．
【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理2的概念
【常规讲解】
（1）解：所求三角形的三边的比是 2 : 3 : 4 ，
设最短边是2x厘米，则2x=4，
解得x=2，
因而另外两边的长是 3 x = 6 厘米， 4 x = 8 厘米．
则三角形的周长是 6 + 8 + 4 = 1 8 （厘米）．
故答案为：18．
（2）解： 两个相似三角形的周长之比是4:9，12
 两个相似三角形的相似比为4:9，
 它们的对应角平分线的比为 4 : 9 ．
故答案为：4:9．
（3）解：设较小的三角形的周长为 x c m ，则较大的三角形的周长为 (1 0 0 − x ) c m ，
两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，
 两个相似三角形的相似比为2:3，
 两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，

1 0 0
x
− x
=
2
3
，
解得 x = 4 0 ，
故答案为：40．
练习4:【学习框14】
（1）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期末）两个相似三角形的对应边的中线之比是 2 : 3 ，周
长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是_______．
（2）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区期末）已知ABC的三边长分别为2、3、4，  D E F 与ABC
相似，且  D E F 周长为54，那么  D E F 的最短边的长是_______．
（3）（★★☆☆☆）（2023•杨浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，那么它们的
对应高的比为_______．
【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理2的概念
【常规讲解】
（1）解：因为该相似比为 2 : 3
2
，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20 =8cm，
5
故答案为：8cm．
（2）解： ABC的三边长分别为2、3、4，
ABC的周长为：9，
DEF与ABC相似，且DEF 周长为54，
DEF与ABC的周长比为：9:54=1:6，
DEF与ABC的相似比为：1:6，设DEF 的最短边的长是
13
x ，
 2 : x = 1 : 6 ，
解得：x=12．
故答案为：12．
（3）解： 两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，
 这两个相似三角形的相似比为2:3，
 它们的对应高的比为： 2 : 3 ，
故答案为：2:3．
例题5:
（★★★☆☆）（2021•徐汇区期中）已知：如图，点 D 、 F 在  A B C 边 A C 上，点 E 在边 B C
上，且 D E / / A B ， C D 2 = C F  C A ．
（1）求证： E F / / B D ；
（2）如果
C
C
F
D
=
3
5
，求  D E F 与  A B D 的周长比．
【配题说明】考察性质定理2
【常规讲解】（1）证明： D E / / A B ，

C
C
D
A
=
C
C
E
B
，
C D 2 = C F  C A ，

CF CD
= ，
CD CA
CE CF
 = ，
CB CD
 E F / / B D ；
（2） EF //BD，
DFE=ADB，CEF∽CBD，14

C
C
F
D
=
E
B
F
D
=
3
5
，
D E / / A B ，
  F D E =  A ，
  D F E ∽  A D B ，
E
B
F
D
=
3
5
，

C
C


D
A
E
B
F
D
=
E
B
F
D
=
3
5
．
知识加油站 3——相似三角形性质定理 3【推荐时长40分钟】
考点四：相似三角形性质定理 3
知识笔记4
相似三角形的性质定理3
相似三角形的面积的比等于______________．
【填空答案】
相似比的平方
例题6:
（1）（★★☆☆☆）（2020•崇明区期末）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为
1 : 4 ，那么这两个三角形的面积比为___________．
（2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区中考模拟B卷）如图，平行四边形 A B C D 的对角线 A C ，
B D 相交于点 O ， E 是 C D 的中点．则  D E O 与  B C D 的面积的比等于___________．
（3）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区月考）两个相似三角形对应边的比是2:3．它们的面
积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．【配题说明】似三角形的性质定理3的直接应用（熟悉定理的直接的运用）
【常规讲解】
（1）解： 相似三角形对应高的比等于相似比，
15
 两三角形的相似比为 1 : 4 ，
 两三角形的面积比为 1 : 1 6 ．
故答案为： 1 : 1 6 ．
（2）解： 四边形 A B C D 是平行四边形，且对角线 A C 、 B D 交于点 O ，
O是 B D 的中点，
E 是 C D 的中点，
 O E / / B C ， O E =
1
2
B C ，

O
B
E
C
=
1
2
，
 D E O ∽  B C D ，

S
S


D
B
E
C
O
D
= (
O
B
E
C
) 2 = (
1
2
) 2 =
1
4
，
  D E O 与  B C D 的面积的比等于 1 : 4 ，
故答案为： 1 : 4 ．
（3）解：设两个三角形的面积分别为 x ， y
x 4
 =
，则有y 9 ，

x+ y=65
解得 x = 2 0 ， y = 4 5
答：较小三角形面积为20．
练习6:【学习框16】
（1）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区期中）已知两个相似三角形的相似比为 4 : 9 ，那么它们的
面积比为 ( )
A． 2 : 3 B． 8 : 1 8 C． 4 : 9 D．16:81（2）（★★☆☆☆）（2020•黄浦区期末）如图，
16
 O A B ∽  O C D ， O A : O C = 3 : 2 ，  O A B 与
 O C D 的面积分别是 S
1
与 S
2
，周长分别是 C
1
与 C
2
，则下列说法正确的是 ( )
A．
C
C
1
2
=
3
2
B．
S
S
1
2
=
3
2
OB 3 OA 3
C． = D． =
CD 2 OD 2
【配题说明】相似三角形面积比等于相似比平方的直接应用。（熟悉定理的直接的运用）
【常规讲解】
（1）解： OAB∽OCD，OA:OC=3:2，

C 3
1 = ，
C 2
2
A 正确；

S
S
1
2
=
9
4
， B 错误；

O
O
B
D
=
3
2
， C 错误；
 O A : O C = 3 : 2 ，D错误；
故选： A ．
（2）解： 两个相似三角形的相似比是 4 : 9 ，
 它们的面积为 1 6 : 8 1 ．
故选： D ．例题7:
（1）（★★★★☆）（2022•徐汇区期中）如图，在ABC中，点
17
D 、 E 分别在边 A B 、 A C
上，联结 D E 、 B E ，  A B E =  A E D ，
D
B
E
E
=
B
C
D
E
．
① 求证： D E / / B C ；
② 若 S
 A D E
= 1 ， S
四 边 形 D B C E
= 8 ，求  B D E 的面积．
（2）（★★★★☆）（2022•杨浦区复旦二附中期末）如图，在ABC 中，点 D 在边AB上，
点 F 、 E 在边 A C 上，且 D F / / B E ，
A
F
F
E
=
A
C
E
E
．
① 求证： D E / / B C ；
AF 1
② 如果 = ，
AE 2
S
 A D F
= 2 ，求S 的值．
ABC
【配题说明】利用相似三角形的性质定理3综合计算面积相关的解答题。（期中/一模的
21题常考，分值10分）
【常规讲解】
（1）① 证明： A E 2 = A D  A B ， 
AE AB
= ，
AD AE
又 EAD=BAE，AED∽ABE，
AED=ABE，
ABE=ACB，
AED=ACB，
DE//BC；② 解：
18
D E / / B C ，
  A D E ∽  A B C ， 
S
S


A
A
D
B
E
C
= (
A
A
D
B
) 2 ，
S
 A D E
= 1 ， S
四 边 形 D B C E
= 8 ，
AD 1 AD 1
( )2 = ， = ，
AB 9 AB 3

AD 1
= ，
DB 2
 S
 A D E
: S
 B D E
= 1 : 2 ．
 S
 B D E
= 2 ．
（2）① 证明： D F / / B E ，

A
B
D
D
=
A
F
F
E
，
又
A
F
F
E
=
A
C
E
E
，

A
D
D
B
=
A
C
E
E
，
 D E / / B C ．
② 解：
A
A
F
E
=
1
2
， A E = A F + F E ，
 A F = F E =
1
2
A E ，
 S
 A D F
=
1
2
S
 A D E
，
又 D E / / B C ，
  A D E ∽  A B C ，
AE AF
又 = =1，
EC FE

1
AE= AC，
2

1
S =( )2S ，
ADE 2 ABC
S =4S =8S =16．
ABC ADE ADF练习7:【学习框18】
（1）（★★★★☆）（2022•奉贤区五校联考期中）如图，
19
 A B C 中，点D、 E 分别在边 A B 、
A C 上，DE//BC，联结BE、 C D 相交于点O，AE=2，AD=EC=3， B D = 4 .5 ，DE=4．
① 求线段 B C 的长；
② 若 S
 B O C
= 5 ，求  C E D 的面积．
（2）（★★★★☆）（2021•松江区月考）如图，AD和 B C 相交于点 E ， A C / / B D ，点 F 在
C D 上， A C = 4 ， B D = 6 ，
S
S


C
D
E
E
F
F
=
2
3
，
① 求 E F 的长；
② 已知 S
 C B D
= 2 5 ，求  C E F 的面积．
【配题说明】利用相似三角形的性质定理3综合计算面积相关的解答题。
【常规讲解】
（1）① 解： A E = 2 ，AD=EC=3，BD=4.5，
AB= AD+BD=7.5，AC= AE+EC=5，

A
A
D
B
=
2
5
=
A
A
E
C
，
又 A=A，
  A D E ∽  A B C ， 
A
A
D
B
=
D
B
E
C
=
2
5
，
5
BC= DE=10；
2②
20
 A D E ∽  A B C ，
  A D E ∽  A B C ，  D E / / B C ，
  D O E ∽  C O B ，

D
B
E
C
=
D
C
O
O
=
2
5
，
S
S


D
C
O
O
E
B
=
4
2 5
，
 S
 D O E
=
4
5
，
D
C
O
O
=
2
5
，  S
 C O E
= 2 ，
 S
 C E D
= 2 +
4
5
=
1 4
5
．
（2）解：① AC//BD，
  A C E ∽  D B E ， 
C
B
E
E
=
A
B
C
D
，
AC=4， B D = 6 ，

C
B
E
E
=
A
B
C
D
=
4
6
=
2
3
，
CEF 与  D E F 同高， 
C
D
F
F
=
S 2
， CEF = ，
S 3
DEF

C
B
E
E
=
C
D
F
F
， 
CE CF 2
= = ，
CB CD 5
又 ECF =BCD，   E C F ∽  B C D ，

E
B
F
D
=
C
C
F
D
=
2
5
，
 E F =
2
5
 6 =
1 2
5
，
 E F
12
的长为 ；
5
②  E C F ∽  B C D ，
S
S


C
C
E
B
F
D
= (
2
5
) 2 =
4
2 5
，
S =25，
CBD
4
S =25 =4．
CEF 25
CEF 的面积为4．全真战场
关卡一
练习1:
（1）（★★☆☆☆）已知两个相似三角形的相似比为4:9，那么这两个三角形的周长之比为
______．
（2）（★★☆☆☆）如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相
差60厘米，那么大三角形的周长是___________．
【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1,2,3的性质定理概念
【常规讲解】
（1）解： 两个相似三角形的相似比为
21
4 : 9 ，
 它们的周长比等于相似比，即： 4 : 9 ．
故答案为 4 : 9 ．
（2）两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm，小三角形周
长为2acm，则5a−2a=60，所以a=20，所以大三角形的周长为100cm．
练习2:
（★★☆☆☆）如果  A B C ∽  D E F ， A 、 B 分别对应 D 、 E ，且AB:DE=1:2，那么下列
等式一定成立的是 ( )
A． B C : D E = 1 : 2
B．ABC的面积：  D E F 的面积=1:2
C．A的度数：  D 的度数=1:2
D．ABC的周长：DEF 的周长=1:2
【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1,2,3的性质定理概念
【常规讲解】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC:DE=1:2不一定成立，故本选项
错误；B、
22
 A B C 的面积：DEF 的面积 = 1 : 4 ，故本选项错误；
C 、  A 的度数：  D 的度数 = 1 : 1 ，故本选项错误；
D 、  A B C 的周长：  D E F 的周长 = 1 : 2 正确，故本选项正确．
故选： D ．
练习3:
（★★★☆☆）（2021•金山区期末）如图， R t A B C 中，  C = 9 0  ，矩形 D E F G 的边DE在
边AB上，顶点F 、 G 分别在边 B C 、 A C 上，如果BEF、  A D G 、  C F G 的面积分别是
1、2、3，那么矩形 D E F G 的面积等于_______．
【配题说明】考察三角形中的矩形模型（填空、选择）
【常规讲解】
解： 四边形 A B C D 是矩形，
 G D = E F ，  G D E =  F E D = 9 0  ， G F / / A B ，
  A D G =  F E B = 9 0  ，
G F / / A B ，
  A =  C G F ，  B =  C F G ，
 C =  A D G =  F E B = 9 0  ，
  C G F ∽  D A G ，  C G F ∽  E F B ，
  C G F ∽  D A G ∽  E F B ，
 B E F 、  A D G 、  C F G 的面积分别是1、2、3，
  B E F 、  A D G 、  C F G 的相似比为=1: 2: 3，
设 G D = E F = x ，则AD= 2EF = 2x，CG= 3EF = 3x，
ADG的面积是2，
1
 ADGD=2，
2

1
 2xx=2，
2
x2 =2 2，
EF2 =2 2，CF 3
= ，
DG 2
23
 C F =
2
6
x ，
在 R t C F G 中， F G 2 = C G 2 + C F 2
6
=( 3x)2 +( x)2
2
18
= x2
4
=
1 8
4
 2 2
=9 2，
 F G 2  E F 2 = 9 2  2 2 = 3 6 ，
 矩形 D E F G 的面积=FGEF =6，
故答案为：6．
练习4:
（★★★☆☆）如图，在  A B C 中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，  A D E 和四边形BCED
的面积相等，求
A
B
D
D
的值．
【配题说明】利用相似三角形的性质定理3综合计算面积相关的解答题。
【常规讲解】解： DE//BC，   A D E ∽  A B C ，

S
S


A
A
D
B
E
C
=
 A
A
D
B
 2
， S
 A D E
= S
四 边 形 B C E D
A
D E
B C
，
S 1 AD 1 AD 1
 ADE = ， = ， = = 2+1．
S 2 AB 2 DB 2−1
ABC关卡二
练习5:
（★★★★☆）（2020•嘉定区期末）如图，已知矩形
24
D E F G 的边DE在  A B C 的边 B C 上，顶
点G， F 分别在边 A B 、 A C 上，  A B C 的高 A H 交GF 于点l．
（1）求证： B D  E H = D H  C E ；
（2）设 D E = n  E F ( n
n 1 1
为正实数），求证： + = ．
BC AH EF
【配题说明】三角形中矩形模型的延伸证明
【常规讲解】（1）证明： 四边形 D E F G 是矩形，
 G D ⊥ B C ， F E ⊥ B C ， D G = E F ，
A H ⊥ B C ，
 G D / / A H / / F E ，
  B D G ∽  A B H ，  F E C ∽  A C H ，

G
A
D
H
=
B
B
D
H
=
B D
B
+
D
D H
，
FE CE CE
= = ，
AH CH CE+EH
G D = F E ，

B D
B
+
D
D H
=
C E
C
+
E
E H
，
BD(CE+EH)=CE(BD+DH)，
BDEH =DHCE；
（2）证明： G F / / B C ，
AGF∽ABC，
GF AF
 = ，
BC AC
FC EF
= ，
AC AH25

G
B
F
C
+
E
A
F
H
=
A
A
F
C
+
F
A
C
C
=
A F
A
+
C
F C
= 1 ，
G F = D E = n  E F ，

n 
B
E
C
F
+
E
A
F
H
= 1 ，

B
n
C
+
A
1
H
=
E
1
F
．
练习6:
（★★★★☆）（2020•徐汇区徐汇中学期中）已知：如图，有一块锐角三角形余料 A B C ，它
的边BC=12cm，高AH =8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，
其余两个顶点 G 、 F 分别在边 A B 和 A C 上．
（1）当加工的矩形零件的两边 E F : G F = 2 : 3 时，求这个矩形零件的面积；
（2）当矩形零件 D E F G 与  A B C 的面积之比为 4 : 9 时，求此时矩形零件 D E F G 的两边
E F : G F 的值．
【配题说明】三角形中矩形模型的实际应用
【常规讲解】解：（1） 矩形零件的两边EF:GF =2:3，
设EF =2x，GF =3x，
F G / / B C ，
  A G F ∽  A B C ，

A
A
K
H
=
F
B
G
C
，
8−2x 3x
则 = ，
8 12
解得： x = 2 ，
则EF =4cm，FG=6cm，
故这个矩形零件的面积为： 2 4 c m 2 ；
（2） BC=12cm，高AH =8cm，26
 S
 A B C
=
1
2
 1 2  8 = 4 8 ( c m 2 ) ，
矩形零件 D E F G 与  A B C 的面积之比为 4 : 9 ，
 矩形零件 D E F G 的面积为： 4 8 
4
9
=
6 4
3
( c m 2 ) ，
设EF =a c m ，则 F G =
6
3
4
a
c m ，
由（1）得：
A
A
K
H
=
F
B
G
C
，

64
8−a 3a ，
=
8 12
解得： a
1
=
8
3
， a
2
=
1 6
3
，
当 E F = a =
8
3
，则FG=8，此时 E F : G F =
8
3
: 8 = 1 : 3 ；
16
当EF =a= ，则
3
F G = 4 ，此时 E F : G F =
1 6
3
: 4 = 4 : 3 ．
练习7:
（★★★★★）（2021•嘉定区一模）如图，已知 A C 与 B D 相交于点 O ，联结 A B ．
（1）如果 A D / / B C ，S =4，S =9，求：
AOD BOC
S
 A B O
；
（2）分别将  A O D 、  A O B 、  B O C 记为S 、S 、S ，如果S 是S 与S 的比例中项，求
1 2 3 2 1 3
证： A D / / B C ．
【配题说明】利用相似三角形的性质定理3解决与面积问题相关的几何证明题（一模21、
23题）。
【常规讲解】（1）解： AD//BC，27
  A O D ∽  C O B ，

S
S


A
C
O
O
D
B
= (
O
O
A
C
) 2 ，即 (
O
O
A
C
) 2 =
4
9
，
解得，
O
O
A
C
=
2
3
，

S
S


A
B
O
O
B
C
=
O
O
A
C
=
2
3
，即
S
 A9 B O =
2
3
，
解得， S
 A B O
= 6 ；
（2）证明： S
2
是 S
1
与 S
3
的比例中项，

S S
AOB = BOC ，
S S
AOD AOB

O
O
B
D
=
O
O
C
A
，
 A D / / B C ．
练习8:
（★★★★★）（2019•闵行区一模）如图，在  A B C 中，点D为边 B C 上一点，且
A D = A B ， A E ⊥ B C ，垂足为点 E ．过点D作 D F / / A B ，交边AC于点 F ，连接 E F ，
E F 2 =
1
2
B D E C ．
（1）求证：  E D F ∽  E F C ；
S 1
（2）如果 EDF = ，求证：AB=BD．
S 4
ADC
【配题说明】利用相似三角形的性质定理3解决与面积问题相关的几何证明题（一模23
题）。
【常规讲解】证明：（1） AB= AD， A E ⊥ B C ，
1
BE=ED= DB，
2
1
EF2 = BD EC，
228
 E F 2 = E D E C ，即得
E
E
F
C
=
E
E
D
F
，
又 FED=CEF，
  E D F ∽  E F C ．
（2） A B = A D ，
  B =  A D B ，
又 D F / / A B ，
  F D C =  B ，
ADB=FDC，
  A D B +  A D F =  F D C +  A D F ，即得  E D F =  A D C ，
EDF∽EFC ，
  E F D =  C ，
  E D F ∽  A D C ，

S
S


E
A
D
D
F
C
= (
E
A
D
D
) 2 =
1
4
，

E
A
D
D
=
1
2
，即 E D =
1
2
A D ，
1
又 ED=BE= BD，
2
 B D = A D ，
 A B = B D ．