FY25暑假初三A06B03相似三角形的性质教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

06A/B03 相似三角形的性质 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）性质定理1 （2）性质定理2 （3）性质定理3 2. 考情分析 （1）相似三角形的性质定理，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%. （2）相似三角形的性质定理以选择、填空题为主，也会在解答题中进行综合考察. （3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形 24.5相似三 角形的性质. （4）相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角 形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定 的互相结合． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：相似三角形性质定理 1 30分钟 切片2：相似三角形性质定理 2 15分钟 切片3：相似三角形性质定理 3 40分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——相似三角形性质定理 1【建议时长：40 分钟】 考点一：相似三角形性质定理 1 知识笔记1 1、相似三角形的基本性质 相似三角形对应边___________，对应角___________ 2、相似三角形的性质定理1 相似三角形___________的比、___________的比和___________的比都等于相似比． 【填空答案】 1、成比例；相等 2、对应高；对应中线；对应角平分线 例题1: （1）（★★☆☆☆）（2020•虹口区期末）已知 2  A B C ∽ △ A B C  ，顶点A、B、 C 分别与 顶点 A  、 B  、C对应，AD、 A D  分别是 B C 、 B C  边上的中线，如果 B C = 3 ， A D = 2 .4 ， B C  = 2 ，那么AD的长是_____________． （2）（★★☆☆☆）（2022•金山区金山初级中学月考）已知两个相似三角形的相似比为 1 : 4 ， 则它们的对应高的比为( ) A． 1 : 2 B． 1 : 4 C． 1 : 8 D． 1 : 1 6 【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1的概念 【常规讲解】（1）解：  A B C ∽ △ABC，AD和 A D  是它们的对应中线， B C = 3 ， AD=2.4， B C  = 2 ，  B C : B C  = A D : A D  ，  2 .4 : A  D  = 3 : 2 ，  A D  的长是1.6， 故答案为：1.6． （2）解：因为两个相似三角形的相似比为1:4，所以这两个三角形的对应高的比为 3 1 : 4 ． 故选： B ． 练习1:【学习框8】 （★★☆☆☆）（2019•虹口区期末）已知ABC∽△ A 1 B C1 1 ，顶点 A 、 B 、 C 分别与 A 1 、 B 1 、 C 1 对应， A C = 1 2 、AC =8， 1 1  A B C 的高AD为6，那么△ A 1 B C1 1 的高 A 1 D 1 长为__________． 【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1的概念 【常规讲解】解：  A B C ∽ △ A 1 B C1 1 ，AC=12、 A 1 C 1 = 8 ，  相似比为： 1 2 8 = 3 2 ，  A B C 的高 A D 为6，  △ A 1 B C1 1 的高 A 1 D 1 长为： 6  2 3 = 4 ． 故答案为：4． 考点二：三角形中矩形模型 知识笔记2 结论1：  A B C ∽  A D G  A A O H = D B G C 结论 2：一般相似三角形里面含有矩形的问题，运用相似三角形_________________等于 ____________________. 【填空答案】 对应边之比；对应边上的高之比 B D E A H O F G C例题2: （1）（★★★☆☆）（2020•宝山区二模）如图，矩形 4 E F G H 内接于  A B C ，且边FG落在 B C 上，如果 A D ⊥ B C ， B C = 3 ，AD=2，EF:EH =2:3，那么EH 的长为 ( ) A． 1 2 B． 3 2 C． 1 1 2 3 D．2 （2）（★★★☆☆）（2021•黄浦区期中）如图，在ABC中，有矩形DEFG，G、F 在BC 上，D、 E 分别在 A B 、 A C 上，AH ⊥BC交 D E 于M， D G : D E = 1 : 2 ， B C = 1 2 c m ， A H = 8 c m ， 则 D E = _________ c m ． （3）（★★★☆☆）（2022•宝山区期中）如图，矩形 D E F G 的边 D E 在  A B C 的边 B C 上， 顶点G、 F 分别在边AB、 A C 上．已知 B C = 6 c m ， D E = 3 c m ， E F = 2 c m ，那么ABC的 面积是_____ c m 2 ． 【配题说明】考察三角形中的矩形模型（填空、选择） 【常规讲解】 （1）解：如图所示： 四边形EFGH是矩形，EH //BC， 5   A E H ∽  A B C ， AM ⊥EH， A D ⊥ B C ，  A A M D = E B H C ， 设 E H = 3 x ，则有 E F = 2 x ， A M = A D − E F = 2 − 2 x ，  2−2x 3x = ， 2 3 解得： x = 1 2 ， 3 则EH = ． 2 故选：B． （2）解：设 D G = x ，则 D E = 2 x ， 四边形 D E F G 是矩形，  D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ， A H ⊥ B C 交 D E 于 M ，  四边形 D G H M 是矩形，  D G = M H = x ， A H = 8 c m ，  A M = A H − M H = 8 − x ， D B E C = A A M H ，  2 1 x 2 = 8 − 8 x ， 解得： x = 2 4 7 ， 48 DE=2x= cm， 7 48 故答案为 ． 7 （3）解：过A作AH ⊥BC于 H ，交GF 于 M ，如图所示： 则MH =EF =2cm，四边形DEFG是矩形， 6  G F / / B C ， D G = E F = 2 c m ， G F = D E = 3 c m ， GF //BC，   A G F ∽  A B C ，  A A M H = G B F C ， AM 3 即 = ， AM +2 6 解得： A M = 2 ( c m ) ，  A H = A M + M H = 4 ( c m ) ，   A B C 的面积 = 1 2 B C  A H = 1 2  6  4 = 1 2 ( c m 2 ) ， 故答案为：12． 练习2:【学习框10】 （1）（★★★☆☆）（2021•徐汇区徐汇中学月考）如图，矩形 D E F G 的一边 G F 在  A B C 的 边 B C 上，D、 E 分别在 A B 、 A C 上， A H ⊥ B C 交DE于 M ， D G : D E = 1 : 2 ， B C = 1 2 c m ， A H = 8 c m ，则DE的长_________． （2）（★★★☆☆）（2022•浦东新区期中）如图，矩形 D E F G 内接于  A B C ， B C = 6 c m ， D E = 3 c m ， E F = 2 c m ，则 B C 边上的高的长是___________．（3）（★★★☆☆）（2022•虹口区上海外国语大学附属外国语学校月考）如图，矩形DEFG 为ABC的内接矩形，点 7 G ， F 分别在 A B ， A C 上， A H 是 B C 边上的高，BC =10， A H = 6 ， E F : G F = 2 : 5 ，则矩形DEFG的面积为___________． 【配题说明】考察三角形中的矩形模型（填空、选择） 【常规讲解】 （1）解：设 D G = x c m ，则 D E = 2 x c m ， 四边形DEFG是矩形，  D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ， A H ⊥ B C 交 D E 于 M ， 四边形 D G H M 是矩形，  D G = M H = x ， A H = 8 c m ，  A M = A H − M H = 8 − x ， AM ，AH 分别是ADE，ABC的对应高，  D B E C = A A M H ，  2 1 x 2 = 8 − 8 x ， 24 解得：x= ， 7 48 DE=2x= cm， 7 48 故答案为 cm． 7（2）解；过 8 A 点作 B C 边上的高 A H ，交 G F 于 M ，交BC于 H ， 由S =S +S 可得， ABC AGF 梯形BCFG 1 2 B C  A H = 1 2 G F  A M + 1 2 ( G F + B C )  A H ， 将BC=6cm， D E = 3 c m ，EF =2代入上式可得 A H = 4 c m ． 故答案为： 4 c m ． （3）解：设 E F = 2 x ，则 G F = 5 x ． G F / / B C ， A H ⊥ B C ，  A K ⊥ G F ． G F / / B C ， AGF∽ABC，  A A K H = G B F C ． AH =6，BC =12，  6 − 6 2 x = 5 1 x 0 ． 解得 x = 6 5 ． 12 EF = ，GF =6， 5  72 矩形DEFG的面积为 ． 5 72 故答案为： ． 5例题3: （★★★★☆）（2020•嘉定区期中）如图，矩形 9 E F G D 的边 E F 在等腰  A B C 的底边 B C 上， 顶点D、G分别在边AB、 A C 上，已知AB= AC=10，BC =12，设BE=x，矩形EFGD 的面积为 y ． （1）求 B C 边上的高． （2）试求 y 关于 x 的函数关系式及定义域． 【配题说明】三角形中矩形模型在解答题中的综合应用 【常规讲解】解：（1）过 A 作 A M ⊥ B C 于 M ， R t A M C 中， A B = A C ， A M ⊥ B C ，  C M = 1 2 B C = 6 ， A C = 1 0 ， 由勾股定理，得 A M = A C 2 − C M 2 = 8 ； （2） A B = A C ，   B =  C ； 四边形 D E F G 是矩形，   D E B =  G F C = 9 0  ， D E = F G ；   D E B   G F C ( A A S ) ；  B E = F C = x ， A M ⊥ B C ，GF ⊥BC，  G F / / A M ，   C F G ∽  C M A ， CF GF 4  = ，即GF =CFAM CM = x， CM AM 3  y = (1 2 − 2 x )  4 3 x = − 8 3 x 2 + 1 6 x ( 0  x  6 ) ．练习3:【学习框12】 （★★★★☆）（2021•奉贤区尚同中学期中）如图，矩形 10 D E F G 的边EF在  A B C 的边 B C 上， 顶点D、G分别在边AB、AC上，已知ABC的边BC长 60 厘米，高AH 为 40 厘米，矩 形DEFG相邻两边 D E : E F = 2 : 3 ．求矩形 D E F G 的边DE、 E F 的长． 【配题说明】三角形中矩形模型在解答题中的综合应用 【常规讲解】解： 四边形DEFG是矩形，  D G / / B C ， D G = B C ， D E : E F = 2 : 3 ，  设 D E = 2 x c m ， D G = E F = 3 x c m ， D E / / B C ，   A D G ∽  A B C ，  3 6 x 0 = 4 0 − 4 0 2 x ，  x = 1 0 ，  D E = 2 0 c m ，EF =30cm．知识加油站 2——相似三角形性质定理 2【推荐时长15分钟】 考点三：相似三角形性质定理 2 知识笔记3 相似三角形的性质定理2 相似三角形_____________等于相似比． 【填空答案】 周长的比 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2023•宝山区一模）已知一个三角形的三边之比为 11 2 : 3 : 4 ，与它相似的 另一个三角形 A B C 的最小边长为4厘米，那么三角形 A B C 的周长为_______厘米．、 （2）（★★☆☆☆）（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是 4 : 9 ，那么它们 的对应角平分线的比为_______． （3）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）如果两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，这两个三 角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为_______cm． 【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理2的概念 【常规讲解】 （1）解：所求三角形的三边的比是 2 : 3 : 4 ， 设最短边是2x厘米，则2x=4， 解得x=2， 因而另外两边的长是 3 x = 6 厘米， 4 x = 8 厘米． 则三角形的周长是 6 + 8 + 4 = 1 8 （厘米）． 故答案为：18． （2）解： 两个相似三角形的周长之比是4:9，12  两个相似三角形的相似比为4:9，  它们的对应角平分线的比为 4 : 9 ． 故答案为：4:9． （3）解：设较小的三角形的周长为 x c m ，则较大的三角形的周长为 (1 0 0 − x ) c m ， 两个相似三角形的面积之比为 4 : 9 ，  两个相似三角形的相似比为2:3，  两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，  1 0 0 x − x = 2 3 ， 解得 x = 4 0 ， 故答案为：40． 练习4:【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期末）两个相似三角形的对应边的中线之比是 2 : 3 ，周 长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是_______． （2）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区期末）已知ABC的三边长分别为2、3、4，  D E F 与ABC 相似，且  D E F 周长为54，那么  D E F 的最短边的长是_______． （3）（★★☆☆☆）（2023•杨浦区一模）如果两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，那么它们的 对应高的比为_______． 【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理2的概念 【常规讲解】 （1）解：因为该相似比为 2 : 3 2 ，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20 =8cm， 5 故答案为：8cm． （2）解： ABC的三边长分别为2、3、4， ABC的周长为：9， DEF与ABC相似，且DEF 周长为54， DEF与ABC的周长比为：9:54=1:6， DEF与ABC的相似比为：1:6，设DEF 的最短边的长是 13 x ，  2 : x = 1 : 6 ， 解得：x=12． 故答案为：12． （3）解： 两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，  这两个相似三角形的相似比为2:3，  它们的对应高的比为： 2 : 3 ， 故答案为：2:3． 例题5: （★★★☆☆）（2021•徐汇区期中）已知：如图，点 D 、 F 在  A B C 边 A C 上，点 E 在边 B C 上，且 D E / / A B ， C D 2 = C F  C A ． （1）求证： E F / / B D ； （2）如果 C C F D = 3 5 ，求  D E F 与  A B D 的周长比． 【配题说明】考察性质定理2 【常规讲解】（1）证明： D E / / A B ，  C C D A = C C E B ， C D 2 = C F  C A ，  CF CD = ， CD CA CE CF  = ， CB CD  E F / / B D ； （2） EF //BD， DFE=ADB，CEF∽CBD，14  C C F D = E B F D = 3 5 ， D E / / A B ，   F D E =  A ，   D F E ∽  A D B ， E B F D = 3 5 ，  C C   D A E B F D = E B F D = 3 5 ． 知识加油站 3——相似三角形性质定理 3【推荐时长40分钟】 考点四：相似三角形性质定理 3 知识笔记4 相似三角形的性质定理3 相似三角形的面积的比等于______________． 【填空答案】 相似比的平方 例题6: （1）（★★☆☆☆）（2020•崇明区期末）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为 1 : 4 ，那么这两个三角形的面积比为___________． （2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区中考模拟B卷）如图，平行四边形 A B C D 的对角线 A C ， B D 相交于点 O ， E 是 C D 的中点．则  D E O 与  B C D 的面积的比等于___________． （3）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区月考）两个相似三角形对应边的比是2:3．它们的面 积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．【配题说明】似三角形的性质定理3的直接应用（熟悉定理的直接的运用） 【常规讲解】 （1）解： 相似三角形对应高的比等于相似比， 15  两三角形的相似比为 1 : 4 ，  两三角形的面积比为 1 : 1 6 ． 故答案为： 1 : 1 6 ． （2）解： 四边形 A B C D 是平行四边形，且对角线 A C 、 B D 交于点 O ， O是 B D 的中点， E 是 C D 的中点，  O E / / B C ， O E = 1 2 B C ，  O B E C = 1 2 ，  D E O ∽  B C D ，  S S   D B E C O D = ( O B E C ) 2 = ( 1 2 ) 2 = 1 4 ，   D E O 与  B C D 的面积的比等于 1 : 4 ， 故答案为： 1 : 4 ． （3）解：设两个三角形的面积分别为 x ， y x 4  = ，则有y 9 ，  x+ y=65 解得 x = 2 0 ， y = 4 5 答：较小三角形面积为20． 练习6:【学习框16】 （1）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区期中）已知两个相似三角形的相似比为 4 : 9 ，那么它们的 面积比为 ( ) A． 2 : 3 B． 8 : 1 8 C． 4 : 9 D．16:81（2）（★★☆☆☆）（2020•黄浦区期末）如图， 16  O A B ∽  O C D ， O A : O C = 3 : 2 ，  O A B 与  O C D 的面积分别是 S 1 与 S 2 ，周长分别是 C 1 与 C 2 ，则下列说法正确的是 ( ) A． C C 1 2 = 3 2 B． S S 1 2 = 3 2 OB 3 OA 3 C． = D． = CD 2 OD 2 【配题说明】相似三角形面积比等于相似比平方的直接应用。（熟悉定理的直接的运用） 【常规讲解】 （1）解： OAB∽OCD，OA:OC=3:2，  C 3 1 = ， C 2 2 A 正确；  S S 1 2 = 9 4 ， B 错误；  O O B D = 3 2 ， C 错误；  O A : O C = 3 : 2 ，D错误； 故选： A ． （2）解： 两个相似三角形的相似比是 4 : 9 ，  它们的面积为 1 6 : 8 1 ． 故选： D ．例题7: （1）（★★★★☆）（2022•徐汇区期中）如图，在ABC中，点 17 D 、 E 分别在边 A B 、 A C 上，联结 D E 、 B E ，  A B E =  A E D ， D B E E = B C D E ． ① 求证： D E / / B C ； ② 若 S  A D E = 1 ， S 四 边 形 D B C E = 8 ，求  B D E 的面积． （2）（★★★★☆）（2022•杨浦区复旦二附中期末）如图，在ABC 中，点 D 在边AB上， 点 F 、 E 在边 A C 上，且 D F / / B E ， A F F E = A C E E ． ① 求证： D E / / B C ； AF 1 ② 如果 = ， AE 2 S  A D F = 2 ，求S 的值． ABC 【配题说明】利用相似三角形的性质定理3综合计算面积相关的解答题。（期中/一模的 21题常考，分值10分） 【常规讲解】 （1）① 证明： A E 2 = A D  A B ，  AE AB = ， AD AE 又 EAD=BAE，AED∽ABE， AED=ABE， ABE=ACB， AED=ACB， DE//BC；② 解： 18 D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ，  S S   A A D B E C = ( A A D B ) 2 ， S  A D E = 1 ， S 四 边 形 D B C E = 8 ， AD 1 AD 1 ( )2 = ， = ， AB 9 AB 3  AD 1 = ， DB 2  S  A D E : S  B D E = 1 : 2 ．  S  B D E = 2 ． （2）① 证明： D F / / B E ，  A B D D = A F F E ， 又 A F F E = A C E E ，  A D D B = A C E E ，  D E / / B C ． ② 解： A A F E = 1 2 ， A E = A F + F E ，  A F = F E = 1 2 A E ，  S  A D F = 1 2 S  A D E ， 又 D E / / B C ，   A D E ∽  A B C ， AE AF 又 = =1， EC FE  1 AE= AC， 2  1 S =( )2S ， ADE 2 ABC S =4S =8S =16． ABC ADE ADF练习7:【学习框18】 （1）（★★★★☆）（2022•奉贤区五校联考期中）如图， 19  A B C 中，点D、 E 分别在边 A B 、 A C 上，DE//BC，联结BE、 C D 相交于点O，AE=2，AD=EC=3， B D = 4 .5 ，DE=4． ① 求线段 B C 的长； ② 若 S  B O C = 5 ，求  C E D 的面积． （2）（★★★★☆）（2021•松江区月考）如图，AD和 B C 相交于点 E ， A C / / B D ，点 F 在 C D 上， A C = 4 ， B D = 6 ， S S   C D E E F F = 2 3 ， ① 求 E F 的长； ② 已知 S  C B D = 2 5 ，求  C E F 的面积． 【配题说明】利用相似三角形的性质定理3综合计算面积相关的解答题。 【常规讲解】 （1）① 解： A E = 2 ，AD=EC=3，BD=4.5， AB= AD+BD=7.5，AC= AE+EC=5，  A A D B = 2 5 = A A E C ， 又 A=A，   A D E ∽  A B C ，  A A D B = D B E C = 2 5 ， 5 BC= DE=10； 2② 20  A D E ∽  A B C ，   A D E ∽  A B C ，  D E / / B C ，   D O E ∽  C O B ，  D B E C = D C O O = 2 5 ， S S   D C O O E B = 4 2 5 ，  S  D O E = 4 5 ， D C O O = 2 5 ，  S  C O E = 2 ，  S  C E D = 2 + 4 5 = 1 4 5 ． （2）解：① AC//BD，   A C E ∽  D B E ，  C B E E = A B C D ， AC=4， B D = 6 ，  C B E E = A B C D = 4 6 = 2 3 ， CEF 与  D E F 同高，  C D F F = S 2 ， CEF = ， S 3 DEF  C B E E = C D F F ，  CE CF 2 = = ， CB CD 5 又 ECF =BCD，   E C F ∽  B C D ，  E B F D = C C F D = 2 5 ，  E F = 2 5  6 = 1 2 5 ，  E F 12 的长为 ； 5 ②  E C F ∽  B C D ， S S   C C E B F D = ( 2 5 ) 2 = 4 2 5 ， S =25， CBD 4 S =25 =4． CEF 25 CEF 的面积为4．全真战场 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）已知两个相似三角形的相似比为4:9，那么这两个三角形的周长之比为 ______． （2）（★★☆☆☆）如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相 差60厘米，那么大三角形的周长是___________． 【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1,2,3的性质定理概念 【常规讲解】 （1）解： 两个相似三角形的相似比为 21 4 : 9 ，  它们的周长比等于相似比，即： 4 : 9 ． 故答案为 4 : 9 ． （2）两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm，小三角形周 长为2acm，则5a−2a=60，所以a=20，所以大三角形的周长为100cm． 练习2: （★★☆☆☆）如果  A B C ∽  D E F ， A 、 B 分别对应 D 、 E ，且AB:DE=1:2，那么下列 等式一定成立的是 ( ) A． B C : D E = 1 : 2 B．ABC的面积：  D E F 的面积=1:2 C．A的度数：  D 的度数=1:2 D．ABC的周长：DEF 的周长=1:2 【配题说明】直接考察相似三角形的性质定理1,2,3的性质定理概念 【常规讲解】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC:DE=1:2不一定成立，故本选项 错误；B、 22  A B C 的面积：DEF 的面积 = 1 : 4 ，故本选项错误； C 、  A 的度数：  D 的度数 = 1 : 1 ，故本选项错误； D 、  A B C 的周长：  D E F 的周长 = 1 : 2 正确，故本选项正确． 故选： D ． 练习3: （★★★☆☆）（2021•金山区期末）如图， R t A B C 中，  C = 9 0  ，矩形 D E F G 的边DE在 边AB上，顶点F 、 G 分别在边 B C 、 A C 上，如果BEF、  A D G 、  C F G 的面积分别是 1、2、3，那么矩形 D E F G 的面积等于_______． 【配题说明】考察三角形中的矩形模型（填空、选择） 【常规讲解】 解： 四边形 A B C D 是矩形，  G D = E F ，  G D E =  F E D = 9 0  ， G F / / A B ，   A D G =  F E B = 9 0  ， G F / / A B ，   A =  C G F ，  B =  C F G ，  C =  A D G =  F E B = 9 0  ，   C G F ∽  D A G ，  C G F ∽  E F B ，   C G F ∽  D A G ∽  E F B ，  B E F 、  A D G 、  C F G 的面积分别是1、2、3，   B E F 、  A D G 、  C F G 的相似比为=1: 2: 3， 设 G D = E F = x ，则AD= 2EF = 2x，CG= 3EF = 3x， ADG的面积是2， 1  ADGD=2， 2  1  2xx=2， 2 x2 =2 2， EF2 =2 2，CF 3 = ， DG 2 23  C F = 2 6 x ， 在 R t C F G 中， F G 2 = C G 2 + C F 2 6 =( 3x)2 +( x)2 2 18 = x2 4 = 1 8 4  2 2 =9 2，  F G 2  E F 2 = 9 2  2 2 = 3 6 ，  矩形 D E F G 的面积=FGEF =6， 故答案为：6． 练习4: （★★★☆☆）如图，在  A B C 中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，  A D E 和四边形BCED 的面积相等，求 A B D D 的值． 【配题说明】利用相似三角形的性质定理3综合计算面积相关的解答题。 【常规讲解】解： DE//BC，   A D E ∽  A B C ，  S S   A A D B E C =  A A D B  2 ， S  A D E = S 四 边 形 B C E D A D E B C ， S 1 AD 1 AD 1  ADE = ， = ， = = 2+1． S 2 AB 2 DB 2−1 ABC关卡二 练习5: （★★★★☆）（2020•嘉定区期末）如图，已知矩形 24 D E F G 的边DE在  A B C 的边 B C 上，顶 点G， F 分别在边 A B 、 A C 上，  A B C 的高 A H 交GF 于点l． （1）求证： B D  E H = D H  C E ； （2）设 D E = n  E F ( n n 1 1 为正实数），求证： + = ． BC AH EF 【配题说明】三角形中矩形模型的延伸证明 【常规讲解】（1）证明： 四边形 D E F G 是矩形，  G D ⊥ B C ， F E ⊥ B C ， D G = E F ， A H ⊥ B C ，  G D / / A H / / F E ，   B D G ∽  A B H ，  F E C ∽  A C H ，  G A D H = B B D H = B D B + D D H ， FE CE CE = = ， AH CH CE+EH G D = F E ，  B D B + D D H = C E C + E E H ， BD(CE+EH)=CE(BD+DH)， BDEH =DHCE； （2）证明： G F / / B C ， AGF∽ABC， GF AF  = ， BC AC FC EF = ， AC AH25  G B F C + E A F H = A A F C + F A C C = A F A + C F C = 1 ， G F = D E = n  E F ，  n  B E C F + E A F H = 1 ，  B n C + A 1 H = E 1 F ． 练习6: （★★★★☆）（2020•徐汇区徐汇中学期中）已知：如图，有一块锐角三角形余料 A B C ，它 的边BC=12cm，高AH =8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上， 其余两个顶点 G 、 F 分别在边 A B 和 A C 上． （1）当加工的矩形零件的两边 E F : G F = 2 : 3 时，求这个矩形零件的面积； （2）当矩形零件 D E F G 与  A B C 的面积之比为 4 : 9 时，求此时矩形零件 D E F G 的两边 E F : G F 的值． 【配题说明】三角形中矩形模型的实际应用 【常规讲解】解：（1） 矩形零件的两边EF:GF =2:3， 设EF =2x，GF =3x， F G / / B C ，   A G F ∽  A B C ，  A A K H = F B G C ， 8−2x 3x 则 = ， 8 12 解得： x = 2 ， 则EF =4cm，FG=6cm， 故这个矩形零件的面积为： 2 4 c m 2 ； （2） BC=12cm，高AH =8cm，26  S  A B C = 1 2  1 2  8 = 4 8 ( c m 2 ) ， 矩形零件 D E F G 与  A B C 的面积之比为 4 : 9 ，  矩形零件 D E F G 的面积为： 4 8  4 9 = 6 4 3 ( c m 2 ) ， 设EF =a c m ，则 F G = 6 3 4 a c m ， 由（1）得： A A K H = F B G C ，  64 8−a 3a ， = 8 12 解得： a 1 = 8 3 ， a 2 = 1 6 3 ， 当 E F = a = 8 3 ，则FG=8，此时 E F : G F = 8 3 : 8 = 1 : 3 ； 16 当EF =a= ，则 3 F G = 4 ，此时 E F : G F = 1 6 3 : 4 = 4 : 3 ． 练习7: （★★★★★）（2021•嘉定区一模）如图，已知 A C 与 B D 相交于点 O ，联结 A B ． （1）如果 A D / / B C ，S =4，S =9，求： AOD BOC S  A B O ； （2）分别将  A O D 、  A O B 、  B O C 记为S 、S 、S ，如果S 是S 与S 的比例中项，求 1 2 3 2 1 3 证： A D / / B C ． 【配题说明】利用相似三角形的性质定理3解决与面积问题相关的几何证明题（一模21、 23题）。 【常规讲解】（1）解： AD//BC，27   A O D ∽  C O B ，  S S   A C O O D B = ( O O A C ) 2 ，即 ( O O A C ) 2 = 4 9 ， 解得， O O A C = 2 3 ，  S S   A B O O B C = O O A C = 2 3 ，即 S  A9 B O = 2 3 ， 解得， S  A B O = 6 ； （2）证明： S 2 是 S 1 与 S 3 的比例中项，  S S AOB = BOC ， S S AOD AOB  O O B D = O O C A ，  A D / / B C ． 练习8: （★★★★★）（2019•闵行区一模）如图，在  A B C 中，点D为边 B C 上一点，且 A D = A B ， A E ⊥ B C ，垂足为点 E ．过点D作 D F / / A B ，交边AC于点 F ，连接 E F ， E F 2 = 1 2 B D E C ． （1）求证：  E D F ∽  E F C ； S 1 （2）如果 EDF = ，求证：AB=BD． S 4 ADC 【配题说明】利用相似三角形的性质定理3解决与面积问题相关的几何证明题（一模23 题）。 【常规讲解】证明：（1） AB= AD， A E ⊥ B C ， 1 BE=ED= DB， 2 1 EF2 = BD EC， 228  E F 2 = E D E C ，即得 E E F C = E E D F ， 又 FED=CEF，   E D F ∽  E F C ． （2） A B = A D ，   B =  A D B ， 又 D F / / A B ，   F D C =  B ， ADB=FDC，   A D B +  A D F =  F D C +  A D F ，即得  E D F =  A D C ， EDF∽EFC ，   E F D =  C ，   E D F ∽  A D C ，  S S   E A D D F C = ( E A D D ) 2 = 1 4 ，  E A D D = 1 2 ，即 E D = 1 2 A D ， 1 又 ED=BE= BD， 2  B D = A D ，  A B = B D ．