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§8.3 圆的方程
考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方
程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
圆心C ( a ， b )
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
半径为r
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心C
一般
(D2＋E2－4F>0) 半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2>r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|0.( √ )
(4)若点M(x，y)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx＋Ey＋F>0.( √ )
0 0 0 0
教材改编题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
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B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2
＝2.
2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0]
D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
答案 B
解析 由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，
得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，
由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.
3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是( )
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
答案 AD
解析 由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2
－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内．
题型一 圆的方程
例1 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案 (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
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则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝；
若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，
则
解得满足D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为
x2＋y2－x－2y－＝0，
即2＋(y－1)2＝.
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方
程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 方法一 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M，
∴解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，
则k ＝＝－，AB的中点坐标为，
AB
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.
联立解得
∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
思维升华 求圆的方程的常用方法
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(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
答案 A
解析 根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，
解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为
____________．
答案 2＋2＝
解析 设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝＝
＝.
当a＝时，r ＝.
min
故所求圆的方程为2＋2＝.
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以k ·k ＝－1，
AC BC
又k ＝，k ＝，
AC BC
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝
2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，
所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
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(2)设M(x，y)，C(x，y)，
0 0
因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x＝2x－3，y＝2y.
0 0
由(1)知，点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x＝2x－3，y＝2y代入得
0 0
(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝|PM|，
所以＝·，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x ，y )，
A A
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以AQ＝2QB，即(x－x ，y－y )＝2(6－x，－y)，
A A
解得
又点A在轨迹C上运动，
由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
化简得(x－4)2＋y2＝，
即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝.
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 (2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
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(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解 (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、
最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴k ＝，k ＝－.
max min
∴ ＝， ＝－.
max min
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小
值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，
故(y－x) ＝－2－.
min
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，
则(x2＋y2) ＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2) ＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
max min
命题点2 利用函数求最值
例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则
PA·PB的最大值为________．
答案 12
解析 由题意，得PA＝(2－x，－y)，
PB＝(－2－x，－y)，
所以PA·PB＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
延伸探究 若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，
－2)”，则|PA＋PB|的最大值为________．
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答案 10
解析 由题意，知PA＝(－x,2－y)，
PB＝(－x，－2－y)，
所以PA＋PB＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|PA＋PB|＝＝2.
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5时，|PA＋PB|的值最大，最大值为2×＝10.
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征
选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和
转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(
)
A．6 B．25 C．26 D．36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2] ＝[＋1]2＝36.
max
(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________．
答案
解析 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，
表示圆上的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率，
设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k，
则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
由圆心到切线的距离等于半径，
可得＝1，
解得k＝0或k＝，
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所以0≤k≤，即的最大值为.
课时精练
1．(2023·六安模拟)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案 D
解析 因为圆心为(1，－2)，半径为3，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(
)
A．－6
C．k>－6 D．k<
答案 A
解析 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.
若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足>，且1－2k>0，即13>1－2k且
k<，即－60，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最小值
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点(2，－2)
在直线ax－by－6＝0上，
则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，
于是得＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取“＝”，
所以＋的最小值为4.
12．(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离
为1，则实数a的可能取值为( )
A．－12 B．－8 C．6 D．－1
答案 ABD
解析 由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，
圆心为(1,2)，半径为r＝(a<10)，
圆心到已知直线的距离为d＝＝4，
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则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，
由题意得3<<5，解得－150，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内
两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则△PAB面积的最大值是( )
A. B．2 C．2 D．4
答案 C
解析 设以经过点A，B的直线为x轴，AB的方向为x轴正方向，以线段AB的垂直平分线
为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－1,0)，B(1,0)．
设P(x，y)，∵＝，∴＝，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即点P的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.
要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，
此时面积为×2×2＝2.
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