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专题 02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入
理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
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模型1.“母子型”模型（共边共角模型）.....................................................................................................1
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【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子型”模型（共边共角模型）
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，
恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ ，∴AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ ，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ；
证明：∵对角线 平分 ，∴∠ABD=∠CBC，
∵ ，∴△ADB∽△DCB，∴ ，∴
例1．（2024·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在 中， 是 边上的一点，
当 时， ．例2．（2024·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的
绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点
， 与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若
，求证： ；(3)如图2，过 作 于点 ，若 ， ，求 的长．
例3．（22-23八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中， 于点 ， ，若
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024.浙江中考模拟预测）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图
2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速
度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 在边 上，连接 ， ，使
，且 ．(1)请判定 的形状，并说明理由；(2)若 ， ，求
的面积．
例6．（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图2，四边形 为平行四边形， 在 边上， ，点 在 延长线上，
连结 ， ， ，若 ， ， ，求 的长；
【拓展提高】（3）如图3，在 中， 是 上一点，连结 ，点 ， 分别在 ， 上，连结
， ， ，若 ， ， ， ， ，求 的值．例7．（23-24九年级上·河南·期末）三角形的布洛卡点（ ）是法国数学家和数学教育家克洛
尔（ 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡
点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（ 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若
内一点 满足 ，则点 是 的布洛卡点， 是布洛卡角．
(1)如图2，点 为等边三角形 的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 ； 、 、 的数量关系是
；
(2)如图3，点 为等腰直角三角形 （其中 的布洛卡点，且 ．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②将 绕点 逆时针旋转 ，得到四边形 ，若 的面积为 ，求四边形 的面积．例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，
更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一
基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在 中，点 为边 上一点，连接 ．
(1)初步探究：如图2，若 ，求证： ；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点 为 中点， ，求 的长；
(3)创新提升：如图4，点 为 中点，连接 ，若 ， ， ，
求 的长．1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点 是 的边 上一点，要使得 与 相
似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，过点C作 于点
D，点M为线段 的中点，连接 ，过点D作 于点E．设 ， ，则图中可以表
示为 的线段是（ ）A． B． C． D．
3．（2024·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图， 中 ， ， 、 在 边上，
（ 在 的左边）且 是边长为6的等边三角形，则 ．
4．（2023秋·山东聊城·九年级校联考阶段练习）如图， ，则
．
5．（2023秋·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，等腰梯形 中， ， ，点 在
边 上， 与 交于点 ，且 ．(1)求证： ；(2)求证： ．
6．（2024·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在 中，点 为 上一点，且满足 .
(1)求证： ；(2)当 ， 时，求 的长.7．（2023秋·安徽六安·九年级统考期中）如图，在 中，点 是 上一点，且 ， ，
， ．求 的长．
8．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于点 ．
(1)求证：
；
(2)若
，
，则的长为__________．
9．（2022·上海·九年级专题练习）已知：如图所示， 中，CD⊥AB， ，BD=1，AD=4，求
AC的长．
10．（2024·甘肃酒泉·九年级统考期末）已知：如图，在 中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD
=∠ACB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.
11．（2024·福建漳州·九年级校联考期中）如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且
△
，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△12．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，垂足为点 是
的中点， 的延长线与 的延长线交于点 ．(1)求证： ；(2)求证： ．
13．（2023·陕西·九年级校考阶段练习）如图，矩形 的对角线 交于点O，过D作
交 的延长线于点F， 的延长线交 于点E．(1)求证： ；(2)若 ，求
的长．
14．（2023·湖北·校考一模）（1）如图1，在 中，D为AC边上一点， ，求证：
；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且 ， ，
，求DE的长；（3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点， ， ， ．请直按写出 的值．
15．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在Rt ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·△AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 ，求 的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
16．（2024·江苏·九年级专题练习）（1）如图1，在 中， 为 上一点， ．求证：
．
（2）如图2，在 中， 是 上一点，连接 ， ．已知 ， ， ．求证：．
（3）如图3，四边形 内接于 ， 、 相交于点 ．已知 的半径为2， ，
， ，求四边形 的面积．
17．（2024·安徽安庆·九年级校考阶段练习）在 ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点
D． △
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分
别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求 的值．18．（2024·安徽·统考一模）如图，已知 中， ， 是边 的中点， 是边 上一动点，
与 相交于点 ．（1）如果 ， ，且 为 的中点，求线段 的长；
（2）连接 ，如果 ，且 ， ，求 的值；
（3）连接 ，如果 ，且 ， ，求线段 的长．
