文档内容
专题 07 等边三角形的性质与判定的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、利用等边三角形的性质求角度............................................................................................................1
类型二、利用等边三角形的性质求线段长........................................................................................................4
类型三、等边三角形中的动点问题...................................................................................................................6
类型四、等边三角形的性质与判定综合问题....................................................................................................9
类型五、等边三角形中旋转综合问题..............................................................................................................14
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................20
解题知识必备
1.等边三角形性质
等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
2.等边三角形的判定
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
压轴题型讲练
类型一、利用等边三角形的性质求角度
例题：（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图， 是等边三角形，在AC边的右侧作等腰 ，
，连接 ，则 的度数为 ．
【变式训练1】（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图， 为等边三角形， ，则
．【变式训练2】（23-24八年级上·北京西城·期末）在正三角形纸片 上按如图方式画一个正五边形
，其中点F、G在边 上，点E、H分别在边 、 上，则 的大小是 ．
【变式训练3】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边 中，点 、 分别在边AB、 上，
把 沿直线DE翻折，使点 落在点 处， 分别交边 于点 、 ．如果测得
，那么 ．
类型二、利用等边三角形的性质求线段长
例题：（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知 为等边三角形， 为 的高，延长 至E，使
，连接 ，则 ．
【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在等边 中，边长为 ，点 为 的中点，将
按逆时针方向旋转 后得到 ，则 ．【变式训练2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在边长为 的等边三角形 中， 于
点 ，点 在直线 上，且 ，则 的长为 ．
【变式训练3】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，已知 ，点 ， ， ， ，在射
线 上，点 、 、 ， ，在射线 上， 、 、 、…均为等边三角形，若
，则 的边长是 ．
类型三、等边三角形中的动点问题
例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在 中， 厘米，点
从点 开始以1厘米/秒的速度向点 运动，点 从点 开始以2厘米秒的速度向点 运动，两点同时运动，
当运动时间为 秒时， 是等边三角形．
【变式训练1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边 中，E是 边的中点， 是 边
上的中线，P是 上的动点，若 ，则 的最小值为 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知 ，点P在 的内部，点 与点P关于 对称，点 与点P关于 对称，连接 ，如 的周长是18，那么
．
【变式训练3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，等边 中， 于 ，
，点 、 分别为 、 上的两个定点且 ，在 上有一动点 使 最短，
则 的最小值为 ．
类型四、等边三角形的性质与判定综合问题
例题：（22-23八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形 中，点D，E分别在边 ， 上，
且 ，过点E作 ，交 的延长线于点F．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求DE的长．
【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在 中， ， ，点 、
在 上，且 ．
(1)求 的度数；
(2)若点 为线段 的中点，求证： 是等边三角形．【变式训练2】（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知在 中， ， ，点 是平
面内一点，连接 、 、 ， ．
(1)如图1，点 在 的内部．
①当 ，求 的度数；
②当 平分 ，判断 的形状，并说明理由；
(2)如果直线 与直线 相交于点 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数（直接
写出答案）．
类型五、等边三角形中旋转综合问题
例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 中， ，点 是 内一点，将 旋
转后能与 重合
(1)旋转中心是点 ；
(2)若 ，旋转角是 度；
(3)若 ，请判断 的形状并说明理由．
【变式训练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，以 为边向
右侧作等边 ，把 绕 点按顺时针方向旋转 后得到 ，若 ．
(1)求 的度数；
(2)求 的长．【变式训练2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，点O是等边 内一点， ，
等于 ，将 绕点C按顺时针方向旋转 得 ，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求 的度数；
(3)若 ，请探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．
【变式训练3】（22-23八年级上·云南西双版纳·阶段练习）你可以直接利用结论“有一个角是 的等腰三
角形是等边三角形”解决下列问题：
在 中， ．
(1)如图1，已知 ，则 共有 条对称轴， °， °；
(2)如图2，已知 ，点E是 内部一点，连接 、 ，将 绕点A逆时针方向旋转，
使边 与 重合，旋转后得到 ，连接 ，当 时，求 的长度．
(3)如图3，在 中，已知 ，点P是 内部一点， ，点M、N分别在边 、
上， 的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使 的周长最小，
要写出画图方法，并直接写出周长的最小值．压轴能力测评（12题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是等边三角形 的中线，点E在 上，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边 中， ， 与 相交于点 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， 是边长为a的等边三角形， ，且 ，
以D为顶点作一个 角，使其两边分别交 于点M．交 于点N，连接 ，则 的周长是（
）
A．a B． C． D．不能确定
二、填空题
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 是 边上的中线，延长 至点
E，使得 ，连接 ．若 ．则 的长为 ．5．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知点B是 边上的动点（不与A，C重合），在
的同侧作等边 和等边 ，连接 ， ，下列结论正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③ ；④ 是等边三角形；⑤HB平分 ；⑥
；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩图中共有2对全等三角
形
6．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是等边三角形， 于点D，点 是点 关
于直线 的对称点，连接 ， ， 交 于点 ．
（1）若 ，则 ；
（2）若点 在线段 上，连接 ， ，则 的最小值等于 的长度．（用图中的某一条
线段表示）
三、解答题
7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知等边 中，D是AC的中点，E是BC延长线上
的一点，且 ， ，垂足为M．(1)求证：M是 的中点；
(2)若 ，则 的长为__________．
8．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，垂
足为 ，且 ， ，点 ， 在 ， 上．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求证： ．
9．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图1，在等边 中，点P，Q分别是 ， 上的动点
（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接 ， 交于M．
(1)当点P，Q在边 ， 上运动时，求 的度数；
(2)当点P，Q在射线 ， 上运动时，直线 ， 交于点M，求 的度数．
10．（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知 ， 于点G， 于点F，且
．
(1)求证： ；
(2) 吗？请说明理由；
(3)若 ， 是什么三角形？
11．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，点O是等边 内一点，D是 外的一点，
， ， ，连接 ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．
12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，已知 和 都是等边三角形，且点E在线段 上．
(1)求证： ；
(2)过点E作 交 于点G，试判断 的形状并说明理由；
(3)如图2，若点D在射线 上，且 ，求证： ．
13．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图 ， 与 都是等边三角形，连接
，CD，点 ， 分别是 ，CD的中点，连接 ， ， ．
【猜想证明】请证明：
（1）求证： ；（2）求证： 是等边三角形．
【类比探究】如图 ， 与 都是等腰直角三角形，连接 ，CD，点 ， 分别是 ，CD
的中点，连接 ， 请探究：
（3）若点 恰好也是 的中点，且 ，求 的面积．
14．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图， 是边长为9的等边三角形，P是 边上的动点，由
点A向点C运动（与A，C不重合），Q是 延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向 延
长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作 于点E，连接 交AB于D．
(1)当 时，求 的长；
(2)过P作 交AB于M．
①求证： 是等边三角形；
②求线段 的长．
15．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在 中， ，D为 延长线上一点，点E为线段
的垂直平分线的交点，连接 ．
(1)如图1，当 时，则 ______°；
(2)当 时，
①如图2，连接 ，判断 的形状，并证明；
②如图3，直线 与 交于点F，满足 ， ．P为直线CF上一动点．当
的值最大时，请探究表示 与 之间的数量关系并说明理由．
