文档内容
专题 02 三角形全等模型之倍长中线与截长补短
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、三角形全等模型之倍长中线模型........................................................................................................2
类型二、三角形全等模型之截长补短模型........................................................................................................8
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................14
解题知识必备
1. 倍长中线模型
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2，C为AB的中点.
证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则 ;
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点.
2. 截长补短模型
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
压轴题型讲练
类型一、三角形全等模型之倍长中线模型
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在
中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 到 ，使 ，请补充完整证明“
”的推理过程．
(1)求证：
证明：延长 到点 ，使
在 和 中
（__________）
请补齐空白处
(2)由（1）的结论，根据 与 之间的关系，探究得出 的取值范围是__________；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，求
的长．
【答案】(1)已作；对顶角相等； ；
(2)(3)6
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边
关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）延长 到点 ，使 ，由“ ”可证 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ，由三角形的三边关系可求解；
（3））延长 交 的延长线于F，由“ ”可证 ，则 ， ，证
明 ，得 ，根据 ，即可得 的长．
【详解】（1）证明：延长 到点 ，使 ，
在 和 中，
，
；
（2）由（1）得： ，且 ， ，
，
在 中， ，
；
（3）延长 交 的延长线于F，
∵ 是 的中线
∴
， ，，
在 和 中，
，
， ，
又 且
，
，
，
．
即： 的长是6．
【变式训练1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角
互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图， ， ， ．回答下列问题：
(1)求证： 和 是兄弟三角形．
(2)取 的中点 ，连接 ，试说明 ．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线
（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造 ，并证明 ．
②求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
（1）证出 ，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长 至 ，使 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ；
②证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论．
【详解】（1）证明： ，，
又 ， ，
和 是兄弟三角形；
（2）证明：①延长 至 ，使 ，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
；
② ，
，
∴ ，
，
又 ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
【变式训练2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
(1)如图①， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使 ，连接 ．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到 ，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得 的取值范围是______（直接填空）；
(2)如图②，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，若
为 的中线，猜想 与 的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①见解析；② ；③
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全
等三角形．
（1）①根据题意补全图形即可；
②由 是中线得到 ，又 ， ，通过“ ”可证 ．
据此可解答；
③由 ， ，根据三角形的三边关系有 ，即
，因此 ；
（2）延长 ，使得 ，连接 ，证明 ，可得 ，再证明
即可．
【详解】（1）解：①根据题意画出图形：；
②解： 是中线，
，
在 和 中，
，
．
故答案为： ；
③解： ，
，
，
，即 ，
，
，
．
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
如图，延长 ，使得 ，连接 ，
根据（1）中原理可得 ，
， ，
，
，
，
，
，
，∴
．
类型二、三角形全等模型之截长补短模型
例题：（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于
点O，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到 ， ，在 上
截取 ，连接 ，分别证明 ， ，得到 ，即可证明
结论．
【详解】证明： ，
，
、 分别平分 、 ，
， ，
，
，
，
如图，在 上截取 ，连接 ，在 和 中，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等
三角形是解题关键．
【变式训练1】（20-21八年级上·北京·期中）在四边形 中，点C是 边的中点．
(1)如图①， 平分 ， ，写出线段 ， ， 间的数量关系及理由；
(2)如图②， 平分 ， 平分 ， ，写出线段 ， ， ， 间的数量
关系及理由．
【答案】(1) ，见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）在 上取一点F，使 ，可以得出 ，就可以得出 ，
，就可以得出 ．就可以得出结论；
（2）在 上取点F，使 ，连接 ，在 上取点G，使 ，连接 ．可以求得， 是等边三角形，就有 ，进而得出结论；
【详解】（1） ，理由如下：
在 上取一点F，使 ，连接 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中
∴ ．
∴ ， ，
∵C是 边的中点．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2） ，理由如下：
在 上取 ， ，连接 ， ．
与（1）同理，可得 ， ．
∴ ， ， ， ．
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答
时证明三角形全等是关键．
【变式训练2】（21-22七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中， ， ， ，E、F分别是BC、CD上
的点，探究当 为多少度时，使得 成立．
小亮同学认为：延长FD到点G，使 ，连接AG，先证明 ，再证明
，则可求出∠EAF的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中， ， ，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF
与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有 成立，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，在正方形ABCD中， ，若 的周长为8，求正方形ABCD的面积．
【答案】（1）60°；（2）当 时， 成立，理由见解析；（3）16
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 证明 得到
根据题意，计算即可得出结果．（2）延长FD到点H，使 ，连接AH，分别证明 ， 根据全等三角
形的性质解答即可．
（3）根据（2）的结论得到 ，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）当 时， ，理由如下，
延长FD到点G，使 ，连接AG，
在 和 中，
在 和 中，
；
（2）当 时， 成立，
理由如下：如图2，延长FD到点H，使 ，连接AH，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ （SAS），
∴ ；
（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的周长为8，
∴ ，
∴ ，
∴AD+CD=8，
∴ ，
∴正方形ABCD的面积 ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键．压轴能力测评（10题）
一、填空题
1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在 中， ，则 边上的中线 的长
取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新
的三角形中运用三边关系定理求解．延长 到E，使 ，连接 ，证 ，推出
，根据三角形的三边关系求出即可．
【详解】解：如图所示，延长 到 ，且 ，并连接 ，
是 中点，
，
又 ，
，
，
在 中，
有 ，
，即 ，
．
2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图， 中， 为 的中点， 是 上一点，连接 并延长
交 于 ．若 ， ， ，那么 的长度为 ．【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长 到 使 ，连
接 ，通过 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代换得到
，由等腰三角形的性质得到 ，推出 即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长 到 使 ，连接 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
，
，即 ，
，
故答案为： ．
二、解答题
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知 是 的中线，且 ．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长 至点E，使 ，连接 ，证明
，得出 ，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【详解】证明：如图，延长 至点E，使 ，连接 ，
在 中，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
即 ．
4．（18-19八年级上·辽宁抚顺·期末）如图， 交 于 ，交 于 平分 平分
，直线 经过点 并与 分别交于点 ．(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出 三条线段的数量
关系．
【答案】(1)见解析；
(2)（1）中结论不成立， ；
【分析】（1）在 上截取 ，连 ，根据题意证明 ，得到 ，
，再由 证明 ，由平角定义得到 ，则有
，再证明 ，得到 ，则 ；
（2）延长 交 于点H，根据题意证明 ，得到 ， ，再由 平分
，证明 ，得到 ，则 ．
【详解】（1）证明：如图，在 上截取 ，连 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）（1）中的结论不成立， ；
理由：延长 交 于点H，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题
意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．
5．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在 中，若 ， ， 为 边上的
中线，求 的取值范围；
（2）如图②，在 中，点D是 的中点， ， 交 于点E， 交 于点F，连接
，判断 与 的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F，点E是 的中点，若 是
的角平分线．试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1） ；（2） ，见解析；（3） ，见解析
【分析】（1）由已知得出 ，即 为 的一半，即可得出答
案；
（2）延长 至点M，使 ，连接 ，可得 ，得出 ，由线段垂
直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）延长 交于点G，根据平行和角平分线可证 ，也可证得 ，从而可得
，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图①，延长 到点E，使 ，连接 ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
延长 至点M，使 ，连接 ，如图②所示．同（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得：
，
∴ ；
（3） ，理由如下：
如图③，延长 交于点G，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判
定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等
是解题的关键．
6．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图 ， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围 小红在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长 到点 ，使 ，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到 的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得 的取值范围是______；
A． B． C． D．
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集合到同一个三角形中 完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解
答．
如图 ，在 中，点 在 上，且 ，过 作 ，且 求证： 平分 ．
【答案】(1)B
(2)C
(3)证明见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和
性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由平行线的性质和等腰三角形的性质
可证 ，可得 平分 ．
【详解】（1）解：延长 到点 ，使 ，
，
在 和 中，，
，
故选：B．
（2）解： ，
，
， ， ，
，
，
故选：C；
（3）证明：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ．
7．（23-24七年级下·四川成都·期中）在 的高 、 交于点 ， ．(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，求 的度数；
(3)如图2，延长 到点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，当 时，探究线段 、
、 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) 证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证 和 全等得 ，从而得 为等腰直角三角形，进而可得 的度数；
（3）在 上截取 ，连接 ，先证 和 全等得， ，再证
，进而可依据“ ”判定 和 全等，从而得 ，由此可得线段 、
、 的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练
掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构
造全等三角形．
【详解】（1）证明： 的高 、 交于点 ，如图1所示：
， ，
， ，
，
（2）解：在 和 中，，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解： 、 、 的数量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图2所示：
是 的高， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
由（2）可知： ，即 ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
．
8．（23-24八年级上·福建福州·期中）【探究与发现】（1）如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ．连接 ．求证： ．
【变式与应用】
（2）如图2，若 ， ，试求出 的中线 的长的取值范围．
【理解与感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和
所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3， 是 的中线， 与 均为等腰直角三角形， ．试探究
线段 与 的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ， ．见解析
【分析】（1）根据 即可求证；
（2）设 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．证 ，在 中利用三角形的
三边关系即可求解；
（3）延长 至点 ，使得 ，连接 ，延长 交 于点 ．证 、
即可求解．
【详解】解：（1） 是 的中线，
．
在 和 中，
．
（2）如图：设 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．
是 的中线，．
在 和 中，
，
，
， ．
在 中， ，
即 ，
，
即 ．
（3） ， ．
证明：如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，延长 交 于点 ．
是 的中线，
．
在 和 中，
，
，
， ．
，
．
，
∴ ，
．
，，
．
在 和 中，
，
， ．
，
，
，
，
．
，
．
，
．
综上，可得 ， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的常见模型―倍长中线模型，熟记模型的构成条件、求证过程及结论是解
题关键．
9．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践
问题提出
如图1，在 中， 平分 ，交 于点D，且 ，则 ， ， 之间存在怎样
的数量关系？并说明理由．
方法运用
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长 至点E，使得 ，连接 ，
……，请判断 ， ， 之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在 上截取线段构造全等三角形来
解题．如图3，在线段 上截取 ，使得 ①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．
延伸探究
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形
中， ， ， ，若 ，求 的度数．
【答案】（1） ，见解析
（2）①AC ②DF，见解析
（3）
【分析】（1）利用 证明 ，得出 ，从而证得 ，所以 ，即
可得出结论 ；
（2）根据语言描述作出图形即可；
（3）延长 至点G，使 ，连接 ，利用 证明 ，得出 ，
，从而可证得 ．即可利用 证明 ，得出 ，即可由
求解．
【详解】（1） ．
理由：∵ 平分 ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）①AC ②DF．
辅助线如图1所示．
（3）如图2，延长 至点G，使 ，连接 ， ．∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中，
若 ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
如图1所示，延长 到点 ，使 ，连接 ．请根据小明的思路继续思考：
(1)由已知和作图能证得 ，得到 ，在 中求得 的取值范围，从而求得
的取值范围是______________．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系；
(2)如图2， 是 的中线， ，试判断线段 与 的数量
关系，并加以证明；
(3)如图3，在 中， 是 的三等分点．求证： ．【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．
（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，根据题意证明 ，可知 ，在
中，根据 ，即可；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）的结论以及已知条件证明 ，进而
可得 ，由 ，即可求得 与 的数量关系；
（3），取 中点 ，连接 并延长至 点，使得 ，连接 和 ，通过“倍长中线”思想
全等证明，进而得到 然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1所示，延长 到点 ，使 ，连接 ．
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
（2） ，理由：
如图2，延长 到 ，使得 ，连接 ，
由（1）知， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
又∵ ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）证明：如图所示，取 中点 ，连接 并延长至 点，使得 ，连接 和 ，
∵ 为 中点， 为 三等分点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ,
同理可得: ,
∴ ，
此时, 延长 交 于 点，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
