文档内容
27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十七章“相
似”27.2.3 相似三角形应用举例，内容包括：利用相似三角形解决实际生活问题.
2.内容解析
对于一些大型建筑物的高度(如测金字塔的高度)或河流宽度，利用全等知识解决有些不切实际，但是
学生有过运用全等三角形知识解决不能直接测量物体长度或高度问题的活动经验，本节课是在已有学习经
验基础上，将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，利用相似三角形的对应边成比例解决问题，
构建恰当的相似三角形，应为本节课的着力点.通过本课知识的学习，将进一步训练学生的应用意识，加
深学生对于相似三角形的理解和认识.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用相似三角形解决实际生活问题．
二、目标和目标解析
1.目标
1）能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体高度和测量河宽等一些实际问题.
2）通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养分析问题、
解决问题的能力.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：利用相似三角形的知识，构建数学模型并解决测量物体高度和测量河宽等一
些实际问题.
达成目标2）的标志是：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思
想，培养分析问题、解决问题的能力.
三、教学问题诊断分析
把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型是本节课知识的一个难点.针对这一问题，在教学中应
引导学生运用相似三角形的知识，利用相似三角形的对应线段成比例的性质，从而解决实际问题.
基于以上分析，本节课的教学难点是：把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型.
四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问1】相似三角形的判定方法有哪几种呢？
【提问2】简述相似三角形的性质？师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来利用相似三角形解决实际问题打好基础．
（二）探究新知
【情景】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学
家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原
理吗？你还有其它方法吗？
师生活动：教师提出问题，学生尝试通过多种方法解决此问题.再由教师总结常见测量高度的方法：
【方法一】下面是借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度的示意图：
原理：在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等，即△ABO∽△DEF．
【方法二】构建数学模型：
方法：在金字塔影子处立一根木棍，使木棍影子的顶端恰好和金字塔影子顶端重合.
原理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似，即△ACD∽△AOB．
【方法三】构建数学模型：
原理：利用光的反射定律，入射角等于反射角，可以通过∠EAF=∠BAO， ∠EFA=∠BOA 证明
△AFE∽△AOB．
【设计意图】介绍利用相似三角形解决高度测量问题的常用方法.
【问题一】如图，木杆长2 m，木杆的影长为3 m，测得金字塔底座中心到影子顶点的长为201 m，尝
试用多种方法求金字塔的高度．师生活动：教师提出问题，学生利用三种方法求解.教师通过多媒体给出具体求解过程：
【方法一】解：∵ BF∥ED
∴∠BAO=∠EDF，∠BOA=∠EFD=90°
BO AO
∴△ABO∽△≝¿∴ =
EF DF
而AO=201 m,EF=2 m,FD=3 m
AO 2
∴ BO= •EF=201× =134 m
DF 3
因此金字塔的高度为134m
【方法二】
解：∵ ∠BAO=∠DAC，∠BOA=∠DCA
DC AC
∴△ABO∽△ADC∴ = ,
BO AO
而AO=201 m,CD=2 m,AC=3 m
AO 201
∴ BO= •DC=2× =134 m
AC 3
因此金字塔的高度为134m
【方法三】
解：∵ ∠EAF=∠BAO， ∠EFA=∠BOA
EF AF
∴△ABO∽△AEF∴ = ,
BO AO
而AO=201 m,EF=2 m,AF=3 m
AO 201
∴ BO= •EF=2× =134 m
AF 3
因此金字塔的高度为134m
再由教师展示借助太阳光下的影子测量物体高度的方法：
【设计意图】介绍例题背景，唤醒学生对数学的热爱，通过对例题的分析，让学生体会在实际测量物
体的长度或高度时，关键是要构造一个与实物所在三角形相似的三角形，测量出相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式解决问题，突破教学重点.
师：简述利用三角形相似解决实际问题的一般步骤？
师生互动：学生回答问题.教师引导与归纳，得出：
（1）根据题意画出示意图
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量
（4）写出答案
【设计意图】让学生理解与掌握利用相似三角形解决高度测量问题的方法.
（三）典例分析与针对训练
例1 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前
后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小
明的眼高1.6m，求树的高度.
例2 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，
①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；
②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；
③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
【针对训练】
1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．
立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影
子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，问竹竿
长为几丈几尺？2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的
高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB？
3.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ
的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．
4. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发
经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，
PD＝12米，求该古城墙的高度.
【设计意图】考查学生对利用相似三角形解决高度测量问题的掌握情况.
（四）探究新知
【问题二】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，
使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确
定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
师生活动：教师提出问题，学生通过给出的方法解决测量河宽问题. 教师巡视，针对还不会解决的同
学，教师给出提示：
【方法一】构建数学模型：
原理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似，即△PQR∽△PST
求解方法：
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
PQ QR
∴△PQR∽△PST ∴ =
PS ST
PQ QR 60
即 = = ， 解得 PQ=90（m）．
PQ+QS ST 90
因此，河宽大约为 90 m．
【问题三】如图，为了估算河的宽度，还有别的方法吗？
师生活动：教师提出问题，学生尝试利用相似三角形解决测量河宽问题.
【设计意图】让学生体会在测量河宽时，关键是要构造一个与实物所在三角形相似的三角形，测量出
相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式解决问题，突破教学重点.
（五）典例分析与针对训练
例3 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然
后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活
动的描述错误的是（ ）
A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
【针对训练】
1. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，
再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量
信息，求河宽AB．
2 . 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥AF的长．如图，
该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在
AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC=120米，DE=200米，且点E到河岸BC
的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
【设计意图】考查学生对利用相似三角形解决河宽测量问题的掌握情况.
（六）探究新知
【问题四】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一
个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低
的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
师生活动：教师提出问题，根据情况给出提示内容：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类
似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内.
在点E位置时，观察员恰好看到顶端C点，再往前走就根本看不到 C 点了.
求解方法：
解：∵ AB⊥l，CD⊥l ∴AB∥CD
EH AH
∴△AEH∽△CEK．∴ =
EK CK
x 8−1.6
设 EH 长为 x ，即 = ，解得 EH =8
x+5 12−1.6
（m）．
因此距左边较低的树为8m时，恰好看到两树顶端，若小于8m，则看不到右边树的顶端C点
【设计意图】视线遮挡问题更具挑战性，题目中没有直接给出相似三角形，需要学生分析在不同的行
进位置时观察大树CD的不同情况，自己构造相似模型解决实际问题.
常见利用相似三角形解决实际问题的基本模型：
【设计意图】回顾与总结本节课所学基本模型，提高学生利用相似三角形解决实际问题的能力.
（七）直击中考
1．（2022·江苏盐城·统考中考真题）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法
步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横
向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，
点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到
观测点的距离约为（ ）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
2．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚
下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗
杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水
平距离为10m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
3．（2023·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问
题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、
CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，
EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高
度为 米．
（八）归纳小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述利用三角形相似解决实际问题的一般步骤？
（九）布置作业
P42：习题27.2 第9题、第10题
