文档内容
27.2.2 相似三角形的性质 导学案
学习目标
1 理解并掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线的性质.
2 理解并掌握相似三角形的周长与面积的性质.
3 会用相似三角形的性质解决相关问题.
重点难点突破
★知识点1： 相似三角形的性质：
核心知识
相似三角形的性质：
复习回顾
【提问1】相似三角形的判定方法有哪几种呢？【提问2】根据相似三角形的定义，你知道它有哪些性质吗？
新知探究
【问题一】三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？
【猜想】如果两个三角形相似，那么对应的这些要素有什么关系呢？你能证明吗？
【探究一】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的中线，
问AD、A'D'有什么关系呢？
【探究二】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分别是∠A、∠A‘的角平分，线问
AD、A'D'有什么关系呢？【探究三】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的高，
问AD、A'D'有什么关系呢？
典例分析
例1 已知ΔABC∽ΔDEF，且相似比为4:9，则ΔABC与ΔDEF的对应高之比为（ ）
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
【针对训练】
1．如图，AD经过△ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作EG//BC交AD于点G，若BC=16，则
线段GE的长为（ ）A．6 B．4 C．5 D．3
1
2.如图，AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。1)当SR=
2
1
BC时，求DE长.2)当SR= BC时，求DE长.
3
新知探究
【探究四】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长有什么关系？
A
A'
B C B' C'
【探究五】如图，△AB∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的高，
它们对应面积的比是多少？【问题二】简述相似三角形的性质？
典例分析
例2 相似三角形对应边的比为1∶4，那么相似比为_________,
对应角平分线的比为______，对应高的比为_________，对应中线的比为______，
对应周长的比为__________，对应面积的比为_________.
【针对训练】
1．把一个三角形变成和它相似的三角形，
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的__________。
2．若ΔABC与ΔA B C 相似且对应中线之比为3:5，则周长之比和面积比分别是_________、
1 1 1
____________.
3．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是______．
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE：EB=1：2，△CDF 的面积是 6cm2，则△ADF 的面积是
___________cm2
5．如图，在ΔABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若ΔADC的面积为a，
则ΔABD的面积为（ ）
5 7
A．2a B． a C．3a D． a
2 2
AB BC AC 4
6．已知，△ABC和△DEF中， = = = ，△ABC的周长为80厘米，求△DEF的周长．
ED EF DF 3
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．正方形EFCD的三个顶点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，当
AD＝2，BF＝3时，正方形CDEF的面积是_______．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、
△COD、△DOA的面积分别记作S 、S 、S 、S ，那么下列结论中，不正确的选项是（ ）
1 2 3 4
A．S ＝2S B．S ＝S C．S ＝2S D．S ＝2S
2 1 1 3 2 4 3 4能力提升
AD
1. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则 = .
AB
2. 如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为
（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
感受中考
1．（2023重庆市中考）若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（
）
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
2．（2023泰州市中考）两个相似图形的周长比为3:2，则面积比为 ．
3．（2023南通市中考）如图，在△ABC中点D、E分别为AB、AC的中点，则S ADE：S ABC＝
△ △
．4．（2023眉山市中考）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．
若AE 2，则S ．
= △ADF =
EB 3 S
△AEF
课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述相似三角形的性质？
【参考答案】
新知探究
【问题一】三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？
高、中线、角平分线、周长、面积
【猜想】如果两个三角形相似，那么对应的这些要素有什么关系呢？你能证明吗？
对应高、中线、角平分线、周长等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方.
【探究一】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的中线，
问AD 、 A'D'有什么关系呢？解：∵ △ABC∽△A'B'C'
AB BC
∴∠B=∠B’， = =k
A'B' B'C'
而AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线
BD BC AB BD
∴ = ∴ = 而∠B=∠B’
B'D' B'C' A'B' B'D'
AB AD
∴ △ABD∽△A'B'D'∴ = =k
A'B' A'D'
【探究二】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分别是∠A、∠A‘的角平分线，问
AD 、 A'D'有什么关系呢？
解：∵ △ABC∽△A'B'C' ∴∠B=∠B’，∠A=∠A’
而AD、A'D'分别是∠A、∠A‘的角平分线
1 1
∴ ∠BAD= ∠BAC, ∠B' A'D'= ∠B'A'C’
2 2
∴ ∠BAD= ∠B' A'D'∴ △ABD∽△A'B'D'
AB AD
∴ = =k
A'B' A'D'
【探究三】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的高，
问AD 、 A'D'有什么关系呢？解：∵ △ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B’ 而∠ADB=∠A'D'B'=90°
∴ △ABD∽△A'B'D'
AB AD
∴ = = k
A'B' A'D'
典例分析
例1 已知ΔABC∽ΔDEF，且相似比为4:9，则ΔABC与ΔDEF的对应高之比为（ C ）
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
【针对训练】
1．如图，AD经过△ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作EG//BC交AD于点G，若BC=16，则
线段GE的长为（ B ）
A．6 B．4 C．5 D．3
1
2.如图，AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。1)当SR=
2
1
BC时，求DE长.2)当SR= BC时，求DE长.
31）∵SR⟂AD,BC⟂AD,∴RS∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
AE SR 1
∴△ASR∴ ABC. ∴∽ △ = 而SR= BC
AD BC 2
1 1
∴AE= AD则DE= ℎ
2 2
AE SR 1 1 2
2)∵ = 而SR= BC ∴AE= AD则DE= ℎ
AD BC 3 3 3
新知探究
【探究四】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长有什么关系？
A
A'
B C B' C'
∵ △ABC∽△A'B'C'
AB AC BC
∴ = = =k
A'B' A'C' B'C'
AB+BC++AC
由等比性质，得 =k
A'B'+B'C'+A'C'
【探究五】如图，△AB∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的高，
它们对应面积的比是多少？
解：∵ △ABC∽△A'B'C'
BC AD
∴ = =k ∴BC=kB’C’，AD=kA’D’
B'C' A'D'
1 1
•BC•AD •kB’C’•kA’D’
S 2 2
则 ΔABC = = =k2
S 1 1
ΔA'B'C' •B'C'•A'D' •B'C'•A'D'
2 2
【问题二】简述相似三角形的性质？典例分析
例2 相似三角形对应边的比为1∶4，那么相似比为____1∶4_____,
对应角平分线的比为____1∶4_____，对应高的比为____1∶4______，对应中线的比为____1∶4_____，
对应周长的比为____1∶4_____，对应面积的比为____1∶16_____.
【针对训练】
1 把一个三角形变成和它相似的三角形，
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的_____25_____倍。
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的____10______倍。
1
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的_____ _____。
4
2 若ΔABC与ΔA B C 相似且对应中线之比为3:5，则周长之比和面积比分别是______3:5___、
1 1 1
________9:25____.
3．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是
__12____．
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE：EB=1：2，△CDF 的面积是 6cm2，则△ADF 的面积是
_______2____cm2
5．如图，在ΔABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若ΔADC的面积为a，
则ΔABD的面积为（ C ）
5 7
A．2a B． a C．3a D． a
2 2AB BC AC 4
6．已知，△ABC和△DEF中， = = = ，△ABC的周长为80厘米，求△DEF的周长．
ED EF DF 3
AB BC AC 4
解：∵ = = = ，
ED EF DF 3
C
∴ △ABC
∴△ABC∼△≝¿， 4 ，
C = ¿
△≝¿ 3
∵△ABC的周长为80厘米，
∴C （厘米），
3 3
△≝¿= C = ×80=60¿
4 △ABC 4
答：△DEF的周长是60厘米
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．正方形EFCD的三个顶点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，当
AD＝2，BF＝3时，正方形CDEF的面积是____6___．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、
△COD、△DOA的面积分别记作S 、S 、S 、S ，那么下列结论中，不正确的选项是（ C ）
1 2 3 4
A．S ＝2S B．S ＝S C．S ＝2S D．S ＝2S
2 1 1 3 2 4 3 4
能力提升AD ❑√2
1. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则 = .
AB 2
2. 如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为
（ B ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
感受中考
1．（2023重庆市中考）若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是（ B ）
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
2．（2023泰州市中考）两个相似图形的周长比为3:2，则面积比为 9:4 ．
1
3．（2023南通市中考）如图，在△ABC中点D、E分别为AB、AC的中点，则S ADE：S ABC＝
△ △ 4
．
4．（2023眉山市中考）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．
若AE 2，则S 5 ．
= △ADF =
EB 3 S 2
△AEF
