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27.2.2 相似三角形的性质 分层作业
基础训练
1．若两个相似三角形周长的比为 ，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为 ，
∴相似三角形的对应边比为 ，
故选 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关
键．
2． 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 ，其最长边为12，则 的周长
是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，
∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．
3．如图， 中，点 ， 分别在 ， 上， ，若 ， ，则 与 的面
积之比为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由 ，易得 ，利用相似三角形的性质，
S
△ADE=
(AD) 2
即可．
S AB
△ABC
【详解】 ，
， ，
，
，
，
，
∴
S
△ADE=
(1) 2
=
1
．
S 3 9
△ABC
故选择：D．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比问题，关键是掌握相似三角形的判定方法，会用方法证明两个三角
形相似，掌握相似三角形的性质，会利用性质解决对应线段比、周长比，面积比等问题．
4．在 中，点 、 分别为边 、 的中点，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，进而得出
△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
【详解】如图所示，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，∴△ADE∽△ABC，
∴ .
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC
是解题的关键．
5．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则
＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【答案】D
【分析】先设出 ，进而得出 ，再用平行四边形的性质得出 ，进而求出CF，最后用
相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本
题的关键．
6．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是 ，则△ABC与△DEF的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比解答即
可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是 ，
∴△ABC与△DEF的相似比为 ，
∴△ABC与△DEF对应高的比为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相
似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
7．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F， ，则
DE：EC=（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
【答案】B
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据
S DEF∶S ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结
△ △
论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF∴
∵ ，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似
比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
8．若 ，相似比为 ，则 与 的对应角平分线的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】C
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答．
【详解】∵两个三角形的相似比为 ，
∴这两个三角形对应角平分线的比为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，比较简单．
9．若△ABC∽△DEF，且S ABC：S DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
△ △
A．3：4 B．4：3
C． ：2 D．2：
【答案】C
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S ：S =3：4，
△ABC △DEF
∴△ABC与△DEF的相似比为 ：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为 ：2.
故选C
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似
比．
10．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝ ，则 ＝ ．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出 ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方
解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝( )2＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中
线的比等于相似比是解题的关键．
11．如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为 ．
【答案】【分析】设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，可得到 ，在网格图中，利
用锐角三角函数值得到 ，继而 ，可得到 ，证得 ，
然后分别求出 、 ，即可解答．
【详解】如图，
设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．
12．如图，点 、 分别是 、 的中点，则 ．【答案】
【分析】点 、 分别是 、 的中点，可知 是 的中位线，则 ，即相似比是 ，根
据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到 ，且 ，由此即
可求解．
【详解】解：∵点 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ， ，即 是 的中位线，
且 ，
∴ ，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是三角形相似求面积的问题，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
13．如果两个相似三角形的面积比为1:4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．
【答案】9
【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为 ，
∴两个相似三角形的相似比为 ，
∴两个相似三角形的周长也比为 ，
∵较大的三角形的周长为18，∴较小的三角形的周长为 ．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ．
【答案】3
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．
【详解】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3．
∵△ADE的面积是1，
∴四边形DBCE的面积是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
15．若△ABC∽△DEF，△ABC的面积81 ，△DEF的面积是36 ，且AB=12cm，则DE= ．
【答案】8cm
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ ，
∵△ABC的面积81 ，△DEF的面积是36 ，且AB=12cm，
∴ ，解得 cm，
故答案为：8cm
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．能力提升
1．如图，在 ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行
四边形， ．
(1)若 ，求线段AD的长．
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明 ，得到 即可求出；
（2）利用平行条件证明 ，分别求出 、 的相似比，通过相似三角形
的面积比等于相似比的平方分别求出 、 ，最后通过 求出．
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ， ，DE=BF，
∴ ，∴
∴ ，
∵ ，DE=BF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证
明三角形相似并求出相似比是解题关键．
2．如图，在 中， ， ， ，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s
的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点
P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为 ．
(1)当移动几秒时，△BPQ的面积为 ？
(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与 相似？
【答案】(1)3秒(2)3秒或 秒
【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为
9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即
可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6−t，BQ＝2t，
由题意得： ＝ PB·BQ＝ （6−t）·2t＝ ＝9，
解得： ，
答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；
（2）分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，
则 ，即 ，
解得： ，
②当△BPQ∽△BCA时，
则 ，即 ，
解得： ，
综上，当移动3秒或 秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与 相似．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式
是解答此题的关键．
拔高拓展
1．如图，矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿 边以 的速度向点
匀速移动，动点 从点 出发，沿 边以 的速度向点 匀速移动，一个动点到达端点时，另一个
动点也停止运动，点 ， 同时出发，设运动时间为 ．(1)当 为何值时， 的面积为 ？
(2) 为何值时，以A， ， 为顶点的三角形与 相似．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】 由题意知， ， ，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案；
由 ，则当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，代入
计算即可．
【详解】（1）由题意知， ， ，
的面积为 ，
，
解得 或 ，
，
时， 的面积为 ；
（2） ，
当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
或 ，
解得 或 ，
或 时，以A， ， 为顶点的三角形与 相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是
解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
