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第二十七章 相似（4 大压轴考法 60 题专练）
目录
题型一：平行线分线段成比例综合题................................................................................1
题型二：相似三角形的判定............................................................................................44
题型三：相似三角形的判定与性质综合..........................................................................59
题型四：相似三角形中动点问题...................................................................................124
题型一：平行线分线段成比例综合题
1．（23-24九年级上·河北唐山·期末）白老师布置了如下题目：“如图，以 为直径的半圆上有一点 ，
且 ， ，M为直径 上一动点，点 与点 关于 对称， 于点 ，交
的延长线于点 ．”要求同学们添加一个条件，提出问题，并给出相应问题的答案，则两位同学中正确的
是（ ）
嘉嘉：当 时， 与半圆相切．
琪琪：若点 恰好落在弧 上，则 ．
A．只有嘉嘉 B．只有琪琪 C．两人都正确 D．两人都不正确
2．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图， 中， ， ， .点 、 分
别在边 、 上， ，那么 的长为 .（用含 的代数式表示）
3．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图， 中， ．四边形 是正方形，
点D是直线 上一点，且 ．P是线段 上一点，且 ．过点P作直线a与 平行，分
别交线段 ，线段 于点G，H，则 的长是 ．4．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在 中， ， ，对角线 与 相交
于点O，过点O作 交 的延长线于点 E，交 于点F．若 ，则对角线 的长为
．
5．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，正方形 的边长为6， 为 边中点， 为 边上一
点，连接 ， ，相交于点 ．若 ，则 的值为 ， 的长为 ．
6．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题：
如图，在 和 中， ， ，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在 同侧，
若 ，求证： ．
张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题：
①如图1，从条件出发：过A作 交 于M，过D作 交 于N，依据等腰三角形的性
质“三线合一”分析 与 之间的关系，可证得结论；
②如图2，从结论出发：过D作 交 于P，依据三角形全等的判定，证明 ，可证得结论；请你运用其中一种方法，解决上述问题．
（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：
如图3，在 中， ，在 中， ，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在
同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若 ， ， 的面积为7，求 的长．
（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题：
如图4，在四边形 中， ， ，点E为 中点，连接 ，若 ，
， ，求 的长．
7．（23-24九年级上·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在线段 的上方画出一点 ，使得
【问题探究】
（2）如图2，在矩形 中， ．点 是圆心角为 的圆弧 上的一点，点 在
边上，且 ．连接 ，求 的最大值．
【问题解决】
（3）如图3，四边形 是一个仓库的平面图，设计者想在 边上的点 处安装一个监测仪，以监测
门口 处人员进出情况，此时 ，在四边形 中， ，
米．求此时监测仪 到大门 的水平距离．
8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知 为 两对角线的交点，直线 过顶点 ，且绕点 顺时
针旋转，过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足为点 ， ．
(1)如图1，若直线 过点 ，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，求 的度数；
(3)如图3，若 为菱形， ， ， ，直接写出 的长．
9．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）【基础巩固】（1）如图1，在 中，点D、E分别在边 上，连接 ，若 ，求证：
；
【尝试应用】
（2）如图2，在 中，在边 上取一点E，以 为一边构造平行四边形 ，使点D，F恰好落
在边 上，连接 ，若 ，求 的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在 中，在边 上取一点E，以 为一边构造平行四边形 ，使点F恰好落在
边 上，连接 ，若 ，求 的长．（提示：延长 交于点
G）
10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在7×9的网格中， 的三个顶点均在格点上．
(1)在图1中，取格点 ， ，连接BD， ，DE，线段DE交AB于点 ．
①求证： ．
②在线段 上作点 ，使得 ．（仅用无刻度直尺，保留作图痕迹）
(2)在图2中，已知点 ， ， ， 是边AB的五等分点，过点 作 ，过点 作 ，
与 交于点 ．连接 ， ， ．求出 的值．11．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，对称轴上是否存在点 ，使 周长最小，求出此时点 的坐标和周长最小值；
(3)如图2，点 为第二象限抛物线上一动点连接 交 于点 ， ，是否存在点 ，使
取最大值，如果存在求出此时点 的坐标和最值；若不存在，请说明理由．
12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知 是 的直径， 是 上的动点（不与 重
合）， 是 上一点， 是 的中点，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的值．13．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ，E、F分别是 上的点，
的外接圆交 于点Q、D；
(1)如图甲所示，若D为 的中点，求证： ．
(2)在第（1）题的条件下，请回答下列问题：
①如图乙所示，连接 ，交 于点H， ，若 为等腰三角形，求 的长；
②如图乙所示， 与 的面积之比是 ，且 ，求 与 的面积之比．（直接
写出答案）
14．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图， 中， ，将 边绕点A逆时针旋转 后点B
的对应点恰好落在 边上的点D处，点E在 的延长线上，且 ，延长 交 于点F．
(1)求证： ；
(2)如图2，点G为 的中点，连接 ， ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ，点M是线段 的中点，P为 边上一动点，连接 ，把
沿 翻折到 所在平面内得到 ，当 时，直接写出 的值．15．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）在等腰直角 中，点 ，点 分别为线段 ， 上的动点，
连接 ．
(1)如图1，当点 为 中点时，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，将 绕着点 逆时针旋转 得到 ．分别连接 ， ．延长 至点 ，交
于点 ．若 ， 时，求证 ；
(3)如图3， ， ，点 为线段 上一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到
线段 ，连接 ．当 的值最小时，请直接写出 的面积．
16．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）在四边形 中， ， ，点 是边
的中点，连接 、 ， ．
(1)如图1，若 ，连接 ，求证： ；
(2)如图2，点 是边 的中点；
①若 ，求 的长；
②直接写出 的值．题型二：相似三角形的判定
17．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形 的对角线 相交于点O，点F是 上一
点， 交 于点E，连接 交于点P，连接 ．则下列结论：① ；②
；③四边形 的面积是正方形 面积的 ；④ ；⑤若
，则 ．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
18．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图：分别以点
B，D为圆心，以大于 的长为半径在 两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线 分别与 ，
交于点E，F，交 于点O，连按 ， ．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A． 是 的中位线 B．点O为 的重心
C． D．
19．（22-23九年级上·广东佛山·期末）直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．
(1)问题提出：如图1，在 中，过 上一点D作直线 交 于点E，使所得的三角形与原三角形
相似，请画出这样的直线；(2)操作确认：在（1）的条件下，将 沿着过点D的直线折叠，使点C落在射线 的点P处，折痕交
于点F．判断四边形 的形状，写出3条不同类型的性质；
(3)迁移运用：如图2， ，在 的延长线上取一点M，且满足 ．
①当 ， 时，求a的值；
②当 时，过点M作 ，并使 ，求 的值．
20．（23-24九年级上·河北沧州·期末）在 中， ， ， .点 在线段 上运
动，过点 作 的垂线交线段 （如图1）或线段 的延长线（如图2）于点 ．
(1)当点 在线段 上时，求证： ；
(2)当点 与点 重合时，求 的长；(3)若点 从点 以每秒2个单位长的速度向点 运动，求点 与点 的距离不大于1的时长；
(4)当 为等腰三角形时，直接写出 的长．
21．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）在 中， ， ， ，将 绕点C
逆时针旋一个角度 得到 ，连接 ， ．
(1)如图①，当 时，求证： ；
(2)如图②，当 时，点 在 上， 的延长线交 于点P，请确定 与 的位置关系，并说
明理由；
(3)如图③，当 时，如果 ，连接 ，求 的长．
22．（22-23九年级上·重庆渝北·期末）如图，在 中， ，把边 绕点 旋转到 ．
(1)如图1，连接 ，使 ， ，求 到 的距离；(2)如图2，连接 交 于点 ，当 时，在 边取一个点 ，使 ，过点 作 的垂
线交 于点 ，交 于点 ，交 延长线于点 ，求证： ；
(3)如图3，若 ，连接 ，点 是 内部一个动点，连接 、 使 ，
连接 、 ，若 ， ，当 取最小时，请直接写出 的面积．
题型三：相似三角形的判定与性质综合
23．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在矩形 中，点E在 边上，连接 ，过点E作
交 的外角平分线于点F，若 ， ， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
24．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形 是边长为2的正方形，点P为线段 上的动点，E
为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H、交 的延长线于点
F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当
时， ；⑤当点P和点B重合时， ，成立的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在矩形 中， ，若点E在以 为直径的
半圆上运动，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
26．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点P是边长为2的正方形 的对角线 上的动点，过点P
分别作 于点E， 于点F，连接 并延长，交射线 于点H，交射线 于点M，连接
交 于点G，当点P在 上运动时（不包括B、D两点），以下结论：① ；② ；
③ ；④ 的最小值是 ．其中正确结论的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
27．（24-25九年级上·全国·期末）如图，矩形 中， ，对角线 、BD交于点 ，CE平
分 交AD于点 ， 为CE上一点， 为AD延长线上一点，连接 、 ， 的延长线交
于点 ， 交CD于点 ，且 ，以下结论：① ；② 是等边三
角形；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤
28．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形 中，E是边 的中点，连接 ，过点B作
于点F，延长 交 于点G，连接 ，则 的值为 ．29．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， ，以C为圆心，任
意长为半径作弧，分别交 ， 边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两
弧相交于点P，射线 交 于点D，点F在线段 上，且 ，则 （用含a的代
数式表示）．
30．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在菱形 中， ，E为 的中点，F是 上
一点，G为 上点，且 ， 交 于点H，则 的值为 ．
31．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点P是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长，分别交
的延长线于E，F．
(1)图中 与哪个三角形全等？并说明理由；
(2)求证： ；
(3)若 ，那么 与 有何关系？请说明理由．32．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，在正方形 中， 是射线 上的一个动点，过点 作
交 的延长线于点 ，射线 交直线 于点 ，连接 ．
(1)求证∶
(2)猜想线段 之间满足的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形边长为4， ．
①如图2，当点 在 的延长线上时，求 和 的长；
②如图3，当点 在线段 上时，直接写出 和 的长．
33．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）问题情境在“综合与实践”课上，大家对矩形折叠中的数学问题进
行了探究，老师提出如下问题：如图1，在矩形纸片 中，点E 为边 上的一个点，连接 ，将
沿直线 折叠，使点D的对应点F恰好落在边 上，过点F作 ，交 于点H，然后
将纸片展开铺平，连接 ．请判断四边形 的形状，并说明理由．
【观察思考】
（1）请解答老师提出的问题；
（2）图1中，若 ，求 的长；
【类比探究】（3）善思小组受此问题启发，将矩形 变为平行四边形进行了同样的操作探究，如图2，在
中，若 ，其他条件不变．
①求 的长；
②直接写出四边形 的面积．
34．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）二次函数 的图象与x轴交于点 ，点B，
与y轴交于点 ，连接 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求 的度数；
(3)如图2，若D是此二次函数图象上第一象限内的点，设D点横坐标为m，当四边形 的面积最大时，
求m的值；
(4)如图3，若P是此二次函数图象上第四象限内的点，当 时，求点 P 的坐标．
35．（24-25九年级上·山西长治·期末）已知：如图，在 中， ， ， ，
点P从点A出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时点Q从点C出发，沿 方向匀速运动，速度
为 ，设运动时间为t秒，解答下列问题：(1)当t为何值时， 与 相似？
(2)是否存在某一时刻t，使 ，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
36．（24-25九年级上·全国·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明
的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．
(1)如图1，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于 ，则
与 的数量关系是： ______ （填“ ”“ ”“ ”号）．
(2)①如图2，在矩形 中， 为 上的点，连接 ，过点 作 于
点 ，交 于 ．小明发现，过 作 于点 ，可以得到 与 的数量关系．这个数量关系
是什么？请说明理由；
②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比，等于 ；
③应用上述结论解决问题：在 中， ，点 是 的中点，连接 ，
过 作 的垂线 ，交直线 于 ，垂足是点 ，直接写出 的长度．37．（24-25九年级上·全国·期末）【初识图形】
（1）如图1，E、F分别为正方形 边和 边上的点，连接 、 ，且 ．则 ______．
（2）如图2，矩形 中，点 分别在边 、 上，连接 、 ，且 ， ，
，求 的值．
【类比探究】
（3）如图3， 中， 分别为 、 边上的点， ， ， 为 中点，连接 ，
作 交 于点 ，交 于 ．直接写出 的长为________．
【拓展迁移】
（4）在矩形 中， ， ，点 分别为线段 和线段 边上的一点，以 为折
痕，将四边形 翻折，得到四边形 ，直线 和直线 分别交直线 于点 和点 ，且
， ．
①请直接写出线段 的长 ．
②若点 分别为线段 和线段 边上的动点，满足 ．且直线 始终经过一个定点 ，
求 的最大值______．38．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点A(−4,0)和点
，与 轴相交于点 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点 在线段 上运动，过点 作 轴的垂线，与 交于点 ，与抛物线交于点 ．
①连接 ， ，当四边形 的面积最大时，求此时点 的坐标和四边形 面积的最大值；
②探究是否存在点 使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，说明理由．
39．（24-25九年级上·全国·期末）已知在 中， ，过点A作直线
于点D，点E是射线 上一动点，连接 ，在 右侧作 ，使得
．(1)如图，连接 交 于点G，求证： ；
(2)在（1）问条件下，若 ，试判断 的形状并说明理由；
(3)若 ，延长 到点P，使 ，连接 ．
i）当P落在 的某条边上时，求 的长．
ii）连接 ，直接写出线段 的长．
40．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，四边形 中， ， ， ，
， ，求 的长．
41．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标中，点 、 、 坐标分别是 、 、
，点 从点 出发（不含点 ），沿 轴正半轴运动，点 从点 与点 同时出发，当点 运动到
原点 时， 、 停止运动，过点 作 轴交 于 ，连接 ，设运动时间为 个单位/秒， 、
运动速度均为2个单位/秒．(1)当 时，求 的值；
(2)求在运动过程中， 与 的重叠部分 与运动时间 的函数关系式．
42．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线 经过点 和点 ，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作 轴于点D，作 轴于点E，当 时，求 的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得 ？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，
请说明理由．43．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）（1）如图1，等边 中， ，D是 上的动点，连接 ，
将 绕着点D逆时针旋转 得到 ，连接 ，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长．
（2）如图2，等腰 中， ， 于D，E是 上的一点，连接 ，将 绕着
点E逆时针旋转 ，得到 ， 交 于点G，连接 ，若 ，求 的值．44．（24-25九年级上·全国·期末）如图1， 为 的外接圆，点B为 的中点，点F为劣弧
上除弧中点外一动点，连接 ， ，连接 交 于D点，过F点作 的切线交直线 于
E点．
(1)连接 ，则 _______ ，若 ，则 的面积 _______；
(2)判断 的形状，并进行证明；(3)已知 的半径为r，如图2，取 延长线上一点G，连接 ，且 平分 ．
①求 ；（结果用r表示）
② 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示）
45．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， ，动点P
从点A出发，沿边 向终点B匀速运动，点P出发后，过点P作 交射线 于点Q，当点Q不
与点C重合时，作点Q关于 的对称点D，连结 ．设 ．
(1) ___________．
(2)用含x的代数式表示 的长．
(3)设 与边 的交点为E，当 是锐角三角形时，求x的取值范围．
(4)当 时，直接写出x的值．
46．（24-25九年级上·全国·期末）在 中， ，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将
绕点D旋转得到 ，点B的对应点E落在直线 上， 与 相交于点G，连接 ．
(1)如图1，当点D与点A重合时，
①求证： ；
②判断 与 的位置关系是 ；
(2)如图2，当点D不与点A重合，点E在边 上时，判断 与 的位置关系，并写出证明过程；(3)如图3，当点D是AB的中点，点E在边 上时，延长 ，CF相交于点P．若 ，求 的
长．
题型四：相似三角形中动点问题
47．（23-24九年级上·江西·期末）如图， ， ．若在直线
上有一点 ．使点 组成的三角形与 相似，且相似比不为1．则这样的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
48．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分
别为 ， 上一个动点，沿 折叠 得到 、点 的对应点为 ，若点 落在 上，且
与 相似，则 的长为 ．
49．（23-24九年级上·浙江·期末）已知 的直角顶点 与原点 重合，点 ， 都落在抛物线
上，则 与 轴的交点为 ；若 于点 ，则点 到点 的最大距离为
．50．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系 中（如图），已知点A(−2,0)、 、
、 在同一个二次函数的图像上．
(1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；
(2)如果射线 平分 ，交 轴于点 ，
①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段 的点 处，求此时抛物线顶点 的坐标；
②如果点 在射线 上，当 与 相似时，请求点 的坐标．
51．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面 中，抛物线 经过点
三点．(1)求该抛物线的表达式；
(2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接 ，将抛物线向下平移 个单位后，点D
落在点E处，过B、E两点的直线与线段 交于点F．
①如果 ，求 的值；
②如果 与 相似，求m的值．
52．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在矩形 中， ，点E为
边 的中点，连接 ， 交 于点F．点P从点B出发，沿 方向匀速运动，速度为2cm/s；
同时，点Q从点A出发，沿 方问匀速运动，速度为3cm/s，当一个点停止运动时，另一个点也停止运
动．设运动时间为 ．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点P在线段 的垂直平分线上？
(2)连接 ，设五边形 的面积为 ，求y与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使点Q在 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由．
53．（23-24九年级上·湖南常德·期末）综合与实践如图，在 中， ，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿
方向向终点B匀速运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿 方向向终点A匀速运动，
连接 ．设运动的时间为t秒．
(1)求 的长（用含t的代数式表示）．
(2)当 秒时，求 的面积．
(3)如图2，连接 ，当 为直角三角形时，求所有满足条件t的值．
54．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在 中， ，动点 以
的速度从点 向点 运动；同时，动点 从点 出发，以 的速度向点 运动，动点 从点
出发，以 的速度向点 运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为
．连接 ．
(1) 为何值时， ？
(2)当 时，求 值；
(3)如图1，沿 折叠 得到 ，是否存在某一时刻 ，使四边形 为菱形？若存在求出 值；
若不存在，请说明理由．55．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在 中， ，点 从点
出发，沿折线 以 速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 方向以 的速度向
点 运动，点 到达点 时，点 同时停止运动，当点 不与 重合时，作点 关于直线 的对
称点 ，连接 交 于点 ，连接 ．设运动时间为 ．
备用图
(1)当 为何值时， ？
(2)设 的面积为 ，求 与 的函数关系式并写出 的取值范围；
(3)当 为何值时， 为直角三角形？
56．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 、 、
分别从点 、 、 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 、 的速度均为 ，点 的
速度为 ，当点 追上点 （即点 与点 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 秒时，
的面积为
(1)当 秒时， 的值是多少？
(2)写出 和 之间的函数解析式，并指出自变量 的取值范围；
(3)若点 在矩形的边 上移动，当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶
点的三角形相似？请说明理由．57．（24-25九年级上·辽宁大连·期末） ， 于 ， ， ， ，点 沿
射线 方向一直运动，将点 绕点 逆时针旋转90°得到点 （ 在射线 上），点 与点 关于点
成中心对称（点 在射线DB上），连接 、 、 得到 ．
(1)求 的长；
(2)在点 的运动过程中，设 ， 与 的重叠部分面积为 ，求 与 的函数关系式．
58．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系 中，将中心为 的正方形记作正方形 ，对
于正方形 和点 （不与 重合）给出如下定义：若正方形 的边上存在点 ，使得直线 与以 为半
径的 相切于点 ，则称点 为正方形 的“伴随切点”．
(1)如图、正方形 的顶点分别为点 ， ，B(4,0)， ．
①在点 ， ， 中，正方形 的“伴随切点”是 ；
②若直线 上存在正方形 的“伴随切点”，求 的取值范围；
(2)已知点 ，正方形 的边长为 ．若存在正方形 的两个“伴随切点” ， ，使得 为等
边三角形，直接写出 的取值范围．59．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图①，已知在 中， cm， cm，以 为边
作正方形 ，点P从点B出发，沿 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿
方向匀速运动，速度为2cm/s，点M从点A出发，沿 方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，
另外两个点也停止运动．分别连接 ， ．设运动时间为t（s）（ ），解答下列问题：
(1)是否存在某一时刻t，使点P在 的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(2)当t为何值时， 为等腰三角形？
(3)如图②，连接MQ，设四边形 的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
(4)当 时，求t的值．
60．（23-24九年级上·吉林·期末）如图①，在 中， ， ， ，直线
于点 ，分别交 ， 于点 ， ．点 从点 出发，沿 以每秒 个单位长度的速度向终点 运
动．同时直线 从点A出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．以 为边向下作正方形
，连接 ，点 的运动时间为 秒．
(1) 的长为______个单位长度．
(2)当点 落在直线 上时，求 的值．
(3)设正方形 与四边形 重叠部分图形的面积为 ，求 与 之间的函数关系式．
(4)如图②，连接 ， ，设 的面积与正方形 的面积比为 ．当 时，直接写出 的
取值范围．
