文档内容
压轴题 02 相似三角形四种解题模型
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
模型一、“8”字型及其变形...........................................2
模型二、“A”字型及其变形...........................................9
模型三、“手拉手”旋转型...........................................15
模型四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型.........................20
压轴能力测评（4题）...............................................................................................25
【模型】一、“8”字型及其变形
模型展示：
(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝.
(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝.
图1 图2[来源
【模型】二、“A”字型及其变形
模型展示：
(1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝.
(2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝.
(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝.
[来源:学科网]
图1 图2 图3【模型】三、“手拉手”旋转型
模型展示：
如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]
【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型
模型展示：
(1)“三垂直”模型
如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型
如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
[来源:学科网]
【模型】一、“8”字型及其变形
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落在边AD上，点
C落在点N处， 与CD交于点 ，折痕分别与边AB，CD交于点 ， ，连接BM．若 ，则
的值是 ．
【答案】【详解】解：如图，延长 交于点 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，正方形 边长为 ，
∴ ．
由翻折和正方形的性质可得， ．
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
解得： （舍）， ．
∴ ．
在 中， ，
∴
解得： ，
∴ ，∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股
定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于 ， 是边 延
长线上的一点，联结 ，与边 交于 ，与对角线 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ．
， ．
， ．
．
．
（2） ，
．
，
．
，
．
，即 ．
，．
．
四边形 是平行四边形，
．
，即 ．
平行四边形 是菱形．
3．（2024·安徽·模拟预测）如图 ，在四边形 中， ，点 在边 上，且
，点 在边 上，且 ，连接 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图 ，若 ，求证： ；
(3)如图 ，若延长 恰好经过点 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，得出 ，证明四边形 为平行四边形，得出 ，则
可得出结论；（2）证明 ，得出 ，证明 ，得 ，则得出结论；（3）证明 ，得出 ，设 ，解方程求出 ，则可得出答案．
【详解】（1）
在 和 中，
又
（SAS）
四边形 为平行四边形
（2）
又
，即
．
又
，即
（3），
．
设 ，则有
解得 （负值舍去）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似
三角形的判定和性质是本题解题的关键．
4．（2023·江苏南通·一模）正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点，
将 沿 翻折得到 ，直线 交射线 于点 ．
(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；
(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说明理由；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，是定值
(3)
【分析】 根据翻变换的性质可以得到 ，加上对顶角相等得到的
，从而得到 ，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到
，加上对顶角相等得到的 证明出： ，最终得到对应角相等
得出结果．如图 中，连接 ， 证明 是等腰直角三角形，可得结论；
证明 是等边三角形，可得结论．
【详解】（1）如图 中，设 交 于点 ．
四边形 是正方形，
， ，
，
由翻折变换的性质可知， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2） ，是定值．
理由：如图 中，连接 ， ．
四边形 是正方形，， ，
，
，
，
，
，
同法可证， ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图 中，当 时，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三
角形解决问题，属于中考压轴题．
【模型】二、“A”字型及其变形
1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊 ，文化长廊上伫立
着三座名人塑像 ， ， ，点 ， ， ， ， 在同一直线上，且 ．在明
德楼的楼顶有一照明灯 ，塑像 的影子为 ，塑像 的影子为 ．该校“探数学”兴趣小组的同
学测得文化长廊 米，塑像高 米，塑像 的影长 米．
（1）求明德楼的高 ；
（2）求塑像 的影长 ．【解答】解：（1） ， 米，
米，
由题意得： ，
，
，
，
，
解得： ，
明德楼的高 为12米；
（2）由题意得： ，
，
，
，
，
解得： ，
塑像 的影长 为4米．
2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个
方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离） 为 ，离小李 处
的小张拿一根高 的标杆直立地面，小张离教学楼 ，此时小李的眼睛、标杆
顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼 的高度．【解答】解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
（米 ，
答：教学楼 的高度为16.6米．
3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为 的小尺测量这棵
树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端 ， ，然后
不断调整站立的位置，在点 处时恰好能看到该大树的顶端 和底部 ．（图中所有点均在同一平面，点
， ， 在同一条直线上． 经测量，小明的手臂长 ，点 到树底端的距离 ，求
大树 的高度．
【解答】解： ， ，
，，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
答：大树 的高度为 ．
4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰 的高度，在 处和 处树立标杆 和 ，
标杆的高都是20米， ， 两处相隔200米，并且 ， 和 在同一平面内．从标杆 后退80米
的 处，可以看到顶峰 和标杆顶端 在一条直线上；从标杆 后退160米的 处，可以看到顶峰 和
标杆顶端 在一条直线上．求山峰的高度 及它和标杆 的水平距离 各是多少米？
【解答】解：由题意得： ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
解得： ，
，
解得： ，
山峰的高度 为70米，它和标杆 的水平距离 是200米．
5．（2023秋•莱西市期末）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，以 为直径作 ，与 交于点 ，连接 ．设运动时
间为 ，解答下列问题：
（1） 取何值时， 平分 ；
（2）设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使 与 相切？若存在，求出 的值；若不存在说明理由．
【解答】解：（1）由题意得： ， ， ， ， ，
是 的直径，
，
在 中， ，
， ，
，
，即 ，
，
，
当 时， 平分 ，
，解得： ，
当 时， 平分 ；
（2）如图，过点 作 于点 ，
，
，即 ，
，
， ，
，即 ，
，
；
（3）存在某一时刻 ，使 与 相切．理由如下：
如图，过点 作 于点 ，
由（1）（2）知： ， ， ， ， ，，
，
，
，
与 相切，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
当 时， 与 相切．
【模型】三、“手拉手”旋转型
1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在 中，点 在边 上， ， ，
与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证： ．
【 解 答 】 （ 1 ） 证 明 ： ， ，
，
，
，
，；
（2）证明：如图， ，
，
，
，
，
由（1）知： ，
，
．
2．（2023秋•陵城区期末）如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形，
的顶点 与 的斜边 的中点重合，将 绕点 旋转，旋转过程中，线段 与线段
相交于点 ，线段 与射线 相交于点 ．
（1）如图①，当点 在线段 上时，且 ，求证： ；
（2）如图②，当点 在线段 的延长线上时，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， 时，求点 、 两点间的距离．（用含 的代数式表示）【解答】（1）证明：如图1中，
和 是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
，
，
， ，
，
，
；
（2）如图2，
，即 ，
，
，
又 ，
；（3）解： ，
，
，
，
解得： ，
，
，
， ，
在 中， ．
3.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE
，BE与DC交于点P，已知PA=3，PB=4，PC=5．
(1)求证：△ADC≌△ABE；
(2)求∠DPB的度数及BE的长；
(3)若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQ、AR、QR，作出
图象，求QR的长．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ADC≌△ABE
（2）解：∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
设AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；
如图①在PE上取点F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）解：
如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，
∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG=2x×sin30°=❑√3x,AB=2❑√3x
AQ AR ❑√3
∵ = = ∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
AB AE 3
∴∠QAR=∠BAE，
∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
❑√3
∴QR= ×12=4❑√3
3
【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型
1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图， 是等边三角形，点 、 分别在边 、 上，
．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 的长．【解答】（1）证明： 是等边三角形，
， ，
， ，
；
（2）解：由（1）证得 ，
，
设 ，则 ，
，
或 ，
或 ．
2．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形 中， 为 边上一点，连结 ，过点
作 交 于点 ．易证： ．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，连结 ，过点 作 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， 为 的中点，求 的长．
【应用】如图③，在 中， ， ， ． 为 边上一点（点 不与点 、
重合），连结 ，过点 作 交 于点 ．当 为等腰三角形时， 的长为
或 2 ．【解答】【探究】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
又 ，
；
（2）解： 为 的中点，
，
由（1）知 ，
，
即 ，
；
【应用】解：如果 ，则 ， ，则点 与点 重合，点 与点 重
合，不符合题意，
②如果 ，则 ，
为 的外角，
，
， ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
， ， ，
，；
如果 ，则 ，
，
在 中， ，
，
，
又 ，
点 为 的中点，
，
综上， 的长为 或2，
故答案为： 或2．
3．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形 中， 是对角线，且 ． 是 边上一动
点，连接 ， ， 交 于点 ，其中 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ．
①如图2，若 ，求 的值；
②如图3，若 ，求 的面积．
【解答】（1）证明： ，
，
， ，
，
，
，
即 ；
（2）解：① ，
，，
又 ，
，
，
，
，
，
；
②如图，过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，则 ，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
又 ，则 ，
．
又 ，
，
，
则 ，，
则 ，
，
，
，
由 ，
得 ，
，
，
．
1．（2023秋•市南区期末）如图1，在 中， ， ，点 以每秒1个单位长度的
速度，从点 出发沿 方向向终点 运动，同时，点 以每秒2个单位长度的速度，从点 出发沿
方向向终点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒，请解答下
列问题：
（1）当 为何值时， ；
（2）在点 、 的运动过程中，是否存在某一时刻 ，使得 的面积等于6？若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
（3）如图2， 是 的中点，连接 ，与 交于点 ，是否存在某一时刻 ，使得 ？若存
在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得： ， ，
， ，， ，
，
，
，即 ，
解得： ，
当 时， ；
（2）存在某一时刻 ，使得 的面积等于6．
理由如下：
过点 作 于 ，作 于 ，如图1，
则 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ， ，
，
，当 时， 的面积等于6．
（3）存在 ，使得 ．
理由如下：
如图2，过点 作 于 ， 于 ，交 于 ，过点 作 于 ，
则 ， ，
是 的中点，
， ， ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
， ，
，
，即 ，
， ，
，， ，
，
，即 ，
解得： ；
存在 ，使得 ．
2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形 中，对角线 、 交于 ， 是边 延
长线上的一点，联结 ，与边 交于 ，与对角线 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证：平行四边形 是菱形．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ．
， ．
， ．
．
．
（2） ，
．
，
．
，
．
，即 ．，
．
．
四边形 是平行四边形，
．
，即 ．
平行四边形 是菱形．
3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边 ， ， 分别在边 、 上，将 沿 折叠，
点落在 边上的 处．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 ．
【解答】解：（1）证明： 等边
将 沿 折叠， 点落在 边上的 处．
又
；
（2）
设 ，则 ，翻折，
设 ，
， ，
由 得：
①
由 得：
②
由①②解得： ，
．
4.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在同一
直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
(1)求证：△MFC∽△MCA；
BE
(2)求 的值；
CF
(3)若DM=2,CM=4，求正方形AEFG的边长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°,∠BAC=45°，
❑√2
∴AB= AC，
2
❑√2
同理可得AE= AF，
2
AE AB ❑√2
∴ = = ，
AF AC 2
∵∠BAC=∠EAF=45°，
∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
BE AB ❑√2
∴ = = ；
CF AC 2
（3）∵DM=2,CM=4，
∴AD=CD=2+4=6，
AM=❑√AD2+DM2=❑√62+22=2❑√10
∴ ，
¿
¿
∵△MFC∽△MCA，
CM FM
∴ = ，
AM CM
∴CM2=AM⋅FM，
4
∴FM= ❑√10，
5
6
∴AF=AM−FM= ❑√10，
5
❑√2 6
∴AG= AF= ❑√5，
2 5
6
即正方形AEFG的边长为 ❑√5．
5
