文档内容
专题 03 二次函数中三角形存在性的三种考法
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、等腰三角形存在性........................................................................................2
题型二、直角三角形的存在性...................................................................................11
题型三、等腰直角三角形的存在性.................................................................................20
压轴能力测评（5题）...............................................................................................34
一、等腰三角形存在性
根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）
CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2
个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．
1、知识内容：
在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：
（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；
（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）
2、解题思路：
（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
二、直角三角形存在性
在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；
③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定
理。
以函数为背景的直角三角形存在性问题
1、知识内容：
在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出
垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直
角三角形．
2、解题思路：
（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．
题型一、等腰三角形存在性
【例1】．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交
轴于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，点 是 轴上一点，是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
(3)如图 ，点 是抛物线上且在直线 上方的一个动点，试求出 面积的最大值及此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
(3) ，
【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，等腰三角形的性质；
（1）把 、 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）分 ， ， 三种情况分别求解即可；
（3）先求得直线 的解析式为 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 ，
则 ，进而表示出 面积，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点
∴
解得：∴二次函数表达式为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
设
①当 时，则
∴ 或
②当 时，
解得： 或 （舍去）
∴ ，
③当 时，
解得： ，
∴ ，
综上所述， 或 或 或
（3）解：设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入，
解得：
∴直线 的解析式为 ，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设点 ，则 ，
则 ，，
当 时，面积取得最大值为： ，
则 ．
【变式1】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线 与x轴于A，B两点，交y轴于
点C， ．
(1)直线 过A，C两点，
①如图1，求抛物线的解析式；
②如图1，将直线 向右平移，A的对应点为B，且 ，以 为一腰作等腰三角形 ，求N
的坐标；
(2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线 交y轴于点H，若 ，求a的值．
【答案】(1)① ；②N点坐标为 或 或 ， 或 或 或
(2)
【详解】（1）解：① 直线 过 ， 两点，
，
将 、 点坐标代入 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
②当 时， ，解得 或 ，
，
将直线 向右平移， 的对应点为 ，
平移后的直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
，
过点 作 轴交于点 ，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
当 时， 或 或 ， ；
当 时， 或 或 ；
综上所述： 点坐标为 或 或 ， 或 或 或 ；
（2）解： ，
，
设 ，直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
同理可得直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、解直
角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
【变式2】．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，已知 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点 的坐标；
如果不存在，请说明理由；
(3)点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当 面积 最大时，求
点 的坐标及 的最大值．
【答案】(1) ；
(2)存在，点P的坐标为 或 或 ；(3) ， ．
【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出P点坐标，则可表示出 和 的长，分 、 两种情况分别得到关于P
点坐标的方程，可求得P点坐标；
（3）由B、C的坐标可求得直线 的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出
的长，可表示出 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．
【详解】（1）解： 在抛物线 上，
则 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）存在，
理由： ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
，且 ，
，
∵点P在对称轴上，
∴可设 ，
，
当 时，则有 ，
解得 ，此时P点坐标为 或 ；
当PC=CD时，则有 ，
解得 （与D重合，舍去）或 ，
此时P点坐标为 ，
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为 或 或 ；（3）当 时，即 ，
解得 或 ，
， ，
设直线 解析式为 ，
由题意可得 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
∵点E是线段 上的一个动点，
∴可设 ，则 ，
，
，
∴当 时，S CBF有最大值，最大值为 ，
△
此时 ，
，
∴当 时， 的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为 ．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、
方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出
和 是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综
合性较强，难度适中．
【变式3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点 ．直线 与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点P的坐标及该面积的
最大值；
(3)在y轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存
在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当 面积最大时点P的坐标为 及该面积的最大值为 ；
(3)存在， 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点P作 于H，交直线 于F，直线过点D作 于G，设直线 的解析式为 ，
解方程组得到直线 的解析式为 ，设 ，则 ，求得
，设 面积 ，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）利用勾股定理得 ，①当 ， 在点C的上方时，②当
， 在点C的下方时，③当 时，解方程即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线 经过点 ， ， ，
，
解得 ，
物线的解析式为 ；
（2）解：如图1，过点P作 于H，交直线 于F，直线过点D作 于G，设直线 的解析式为 ，
直线 经过 ， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
点P是抛物线上的点且在直线 上方，
设 ，则 ，
，
设 面积为 ，
，
，
当 最大值为 时， ，此时 ，
当 面积最大时点P的坐标为 及该面积的最大值为 ；
（3）解：当 时， ，
，
，
①当 ， 在点C的上方时，，
点 的坐标为 ；
②当 ， 在点C的下方时，
，
点 的坐标为 ；
③当 时，
设 ，则 ，
，
点 的坐标为 ；
综上所述，存在点Q，使 是以 为腰的等腰三角形，点Q的坐标为 或 或
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，
勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造
特殊三角形解决问题．
题型二、直角三角形存在性
【例2】．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上， ，将线段 绕点
O顺时针旋转 到OB的位置，点A的横坐标为方程 的一个解且点A、B在y轴两侧；
(1)求经过A、B、C的抛物线的解析式；
(2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使 为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
【分析】（1）先求出 ，由旋转的性质得到 ，则 ，解方程求出 ，再把解
析式设为交点式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出对称轴为直线 ，设 ，则 ， ， ，分当
时，则 ，当 时，则 ，当 时，
则 ，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点C在y轴正半轴上， ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
解方程 得 ，
∵点A的横坐标为方程 的一个解且点A、B在y轴两侧，
∴ ，
设经过A、B、C的抛物线的解析式为 ，
把 代入 得 ，解得 ，
∴经过A、B、C的抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
设 ，
∴ ， ，
，
当 时，则 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或 ；
当 时，则 ，∴ ，
解得 ，
∴点M的坐标为 ；
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴点M的坐标为 ；
综上所述，点M的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求二次函数解析式等
等，利用分类讨论的思想并通过勾股定理建立方程求解是解题的关键．
【变式1】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
， ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点 ， 的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存
在，请说明理由；
(3)如图，点 是直线 上的一个动点，连接 ， ，是否存在点 使 最小，若存在，请
求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1) ， ， ，
(2)存在， ， ， ， ， ， ， ，
(3)存在， ，【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
即 ，解得： ，
∴ ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
解得： ，
， ，
（2）解：存在 是直角三角形，
∵ ，对称轴为直线 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
①当 时， ,
∴
解得：
②当 时， ,
∴
解得：
③当 时， ,
解得： 或 .
综上所述： ， ， ， ， ， ， ，
（3）存在点 使 最小，理由如下：
作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，由对称性可知， ，
，
当 、 、 三点共线时， 有最小值，
， ， ， ，
，
，
由对称性可知 ，
，
， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式 ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得 ，， ；
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问
题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线 经过 ， 两点，
与y轴交于点C，连接 ， ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证： 平分 ；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 是以 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐
标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ．
(2)见解析
(3)当 为直角三角形时，M的坐标为 或 ．
【分析】（1）本题用待定系数法求二次函数解析式，将 ， 两点代入 求解，
即可解题．
（2）本题根据抛物线的表达式得到点C的坐标，利用勾股定理求得 的长，结合 ，得到 ，
推出 ， ，以及 ，推出 ，最后利用等量代换即可解题．
（3）本题利用 、 求得对称轴，根据 是以 为直角边的直角三角形，分别过点B作
交对称轴于 和过点A作 交对称轴于 ，先求出直线 解析式，根据垂直得到直线 解
析式和直线 解析式，将 代入上述解析式，即可解题．
【详解】（1）解：将 ， 两点代入 中，
有 ，解得 ，
抛物线的表达式为： ．（2）解：令 ，则 ，
，
， ，
，
又 ， ，
，
，
，
平分 ．
（3）解：存在，理由如下：
， ，
对称轴为直线 ，
过点B作 交对称轴于 ，
设直线 解析式为 ，则得 ，解得 ，
直线 解析式为 ，
设直线 为 ，
，
，
．
当 时， ，
；
过点A作 交对称轴于 ，设直线 为 ，则得 ，
，
．
当 时， ，
；
当 为直角三角形时，M的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形性质、平行线的性质、勾股定理、角平
分线的判定、二次函数与一次函数综合、一次函数互相垂直，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用
分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键．
【变式3】．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y
轴相交于点C，对称轴为直线 ，顶点为D，点B的坐标为 ．
(1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______；
(2) 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使 是以 为斜边的直角三角形？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数 的自变量x满足 时，函数y的最小值为 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）由对称轴为直线 ， 点 的坐标为 ，得 ，用待定系数法可求得抛物线的解
析式为 即可得顶点 ；
（2）设 ， 可得 根据 是以 为斜边的直角三角形，
有 即可解得 或 ；
（3）由抛物线对称轴为直线 分三种情况： ①当 即 时， 随 的增大而减小，可得 ②当 即 时， 时最小值为 这种情况不存在最
小值为 ；③当 时， 随 的增大而增大，有 ，分别解方程可得答案.
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ， 点 的坐标为 ，
∴ ，
将 代入 得：
，解得
∴抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
，
故答案为： ；
（2）解：存在点 ， 使 是以 为斜边的直角三角形，理由如下：
设 ，
在 中，令 得 ，
∴ ，
∵ ，
， ， ，
是以AC为斜边的直角三角形，
，
，
解得 或
∴ 或 ；
（3）解：由抛物线对称轴为直线 分三种情况：
①当 即 时， 随 的增大而减小，
时， 取得最小值，
，
解得 (舍去)或 ，∴此时 ；
②当 即 时， 时最小值为 ，
∴这种情况不存在最小值为 ；
③当 时， 随 的增大而增大，
时， 取最小值，
，
解得 (舍去)或 ；
∴此时 ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的
关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用．
题型三、等腰直角三角形的存在性
【例3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点
A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶
点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或 或 或 ．【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作 交 于点 ，先求得直线 的解析式，设点P的坐标为 ，则点R的坐标为
，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将 、 代入 得，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：作 交 于点 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点P的坐标为 ，则点R的坐标为 ，
∴
，
∵ ，
∴ 时， 有最大值，此时点P的坐标为 ；（3）解：∵点Q是线段 上一点，
∴设点Q的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时， 是等腰直角三角形，此时点P的坐标为 ；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时， 是等腰直角三角形，此时点P的坐标为 ；
如图，当点P在第四象限时，过点Q作 轴于点 ，作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即点P的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 ；
如图，当点P在第三象限时，过点P作 轴于点 ，作 交 于点 ，设 ，
同理 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
解得 ，
∴点P的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ；
综上，点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的
性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟
练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．
【变式1】．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系 中，二次函数 的
图象与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．
(1)写出点 、 、 的坐标；
(2)过动点 作平行于 轴的直线 ，直线 与二次函数 的图象相交于点 ， ．
①若 ，以 为直径作 ，当 与 轴相切时，求 的值；
②直线 上是否存在一点 ，使得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出 的值：若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，
(2)① ；②存在， 的值为 ， ， 或3
【分析】（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入 ，求解即可．（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为 ，可推出D、E
两点的坐标分别为： ， ，因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m．
（3）使得 是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者
底，则共有3种情形；而三种情形中F点在 的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求
解时．利用全等三角形知识得m的值．
【详解】（1）当 时，有 ，
解得： ， ，
∴ 、 两点的坐标分别为 和 ．
当 时， ，
∴ 点的坐标为 ．
（2）①∵ 与 轴相切．且与 交于 、 两点，
∴圆心 位于直线与抛物线对称轴的交点处，
∵抛物线的对称轴为 ， 的半径为 点的纵坐标 ，
∴ 、 两点的坐标分别为： ，
∵ 点在二次函数 的图象上，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去）．
②解：存在．
①当 ， 时，如图1，过点F作 轴于G，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 或 ．
②当 ， 时，如图2，
过点F作 轴于P，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ 或 ．
③当 ， 时，如图3，则F点一定在 的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，
分别过F， 两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ 四边形 为正方形．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ．
∴ ．
∴ ， ．
∴ 四边形 为正方形．
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ y的最大值为 ．
∵ 直线l与抛物线有两个交点，
∴
∴ m可取值为 或 或3或 ．
综上所述，m的值为 或 或3或 ．
【点睛】本题难度适中，考查的主要是二次函数，切线的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形及
全等三角形性质，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考．
【变式2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，点 在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点 在第二象限内，且 的面积为3时，求点 的坐标；
(3)在直线 上是否存在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2) 的坐标为 或
(3) 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过 作 轴交 于 ，求出直线 解析式，根据 列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线 解析式，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，分
以下情况分别讨论即可：① 与 重合， 与 重合时；②当 在第一象限， 在第四象限时；③当 在
第四象限， 在第三象限时；④当 在第四象限， 在第一象限时．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：过 作 轴交 于 ，如图：
由 ， 得直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
，
的面积为3，
，即 ，
解得 或 ，
的坐标为 或 ；
（3）解：在直线 上存在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在 中，令 得 ，
解得 或 ，
， ，
由 ， 得直线 解析式为 ，
设 ， ，
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
① ，
当 与 重合， 与 重合时， 是等腰直角三角形，如图：此时 ；
②当 在第一象限， 在第四象限时，
是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，
解得 （ 小于0，舍去）或 ，
，
的坐标为 ；
③当 在第四象限， 在第三象限时，如图：是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
同理可得 ，
解得 或 （大于0，舍去），
，
的坐标为 ；
④当 在第四象限， 在第一象限，如图：
是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，，
解得 （舍去）或 ，
，
的坐标为 ；
综上所述， 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三
角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
【变式3】（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图
象与x轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知 为抛物线上一点， 为抛物线对称轴 上一点，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，
且 ，求出点 的坐标；
(3)如图 ， 为第一象限内抛物线上一点，连接 交 轴于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，在点
运动过程中， 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3) ，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线 ，设 与 交于点 ，过点 作 于点 ，证明，设 ，则 ， ，进而得出 点的坐标，代
入抛物线解析式，求得 的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当 点与 点重合时，求得另一
个解，进而即可求解；
（3）设 ，直线 的解析式为 ， 的解析式为 ，求得解析式，然后求得
，即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， ，代入
得
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ： ，
如图所示，设 与 交于点 ，过点 作 于点
∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 点在抛物线 上∴
解得： （舍去）或 ,
∴ ，
如图所示，设 与 交于点 ，过点 作 于点
∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 点在抛物线 上
∴
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
当 点与 点重合时，如图所示，
∵ ， 是等腰直角三角形，且 ，∴
此时 ，
综上所述， 或 或 ；
（3）设 ，直线 的解析式为 ， 的解析式为 ，
∵点 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ， 的解析式为 ，
对于 ，当 时， ，即 ，
对于 ，当 时， ，即 ，
∵ 在抛物线上，则
∴
∴ 为定值 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函
数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
1．（23-24九年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，(1)求抛物线的解析式；
(2)平移抛物线，平移后的顶点为 ．
①如果 ，设直线 ，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线不全是上升趋势，求 的取值范围；
②若平移后的新抛物线交 轴于点 ，且 恰好为顶角是 的等腰三角形，求点 的坐标、
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出点 是原抛物线的顶点，进而得到原抛物线向右平移了 个单位，再根据三角形面积计算
公式得到 ，据此求出 ，再根据抛物线的增减性求出两个抛物线呈上升趋势时x的取值范
围，再根据题意即可得到答案；②分当 是 的等腰三角形时，当 是
的等腰三角形时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：①∵抛物线解析式为 ，
原抛物线的顶点坐标为 ，即点 是原抛物线的顶点，
平移后的抛物线顶点为 ，
原抛物线向右平移了 个单位，
∵ ，∴ ，
∴
，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴平移前后的两个抛物线的开口都向上，
∴当 时，原抛物线呈上升趋势，当 时，原抛物线呈下降趋势，
当 时，平移后抛物线呈上升趋势，当 时，平移后的抛物线呈下降趋势，
在直线 的右侧原抛物线和新抛物线不全是上升趋势，
∴ ；
②如图所示，当 是 的等腰三角形时，过点M作 于C，
∴ ，
∴ ，
由题意得，平移后的抛物线解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴
如图所示，当 是 的等腰三角形时，过点M作 轴于C，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），∴ ，
∴ ；
综上所述，点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象
上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握
待定系数法是解题的关键．
2．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是
直线 ，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接 、 、
．求四边形 的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线 上一点，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直
接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)P点的坐标是
(3) ， ， ，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作直线 ，过点P作 轴，交 于点K，求出直线 解析式，设P的坐标为 ，
则点K的坐标是 ， ，表示出四边形 的面积，然后利用二次函数的性质即可
求解；
（3）分 和 两种情况求解即可．
【详解】（1）∵对称轴为直线 ，点A的坐标是 ，则B的坐标是 ，
则 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）如图，作直线 ，过点P作 轴，交 于点K，
∵对称轴为直线 ，
∴点D的坐标是 ，
当 时， ，
∴点 ，直线 解析式为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
设P的坐标为 ，则点K的坐标是 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
则 ，
∴当 时， 有最大值10，此时P点的坐标是 ；
（3）设点 ，
由点O、P、M的坐标得， ， ， ，
当 时，即 ，
解得： ；即点 或 ；
当 时，则 ，
解得： 或 ，
则点 或 ．
综上，点M的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面
积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键．
3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点 为二次函数 的顶点，直线 与
该二次函数图象交于 两点（点 在 轴上），与二次函数图象的对称轴交于点 ．
(1)求 的值及点 坐标；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 的取值范围；
(3)连接 、 ，求 的面积；
(4)在该二次函数的对称轴上是否存在点 ，使得以 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写
出符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)存在， 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）将点 坐标代入解析式可求 的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）先求出点B的坐标，再由图象直接可求得一次函数值大于二次函数值的 的取值范围；
（2）先求出 ，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．
【详解】（1）∵直线 过点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
二次函数解析式为 ，
顶点坐标为 ；
（2）将 代入 得： ，
，且 ，
由图象直接可得一次函数值大于二次函数值的 的取值范围为： ；
（3）由（1）知，直线 的解析式为 ， ，二次函数对称轴为 ，
∵直线 与二次函数图象的对称轴交于点D，
∴设点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积
（4）∵顶点坐标为 ，
∴对称轴为 ，
∴设点 ，
又∵ ，点 ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ （舍去），
∴点 坐标为 ，
当 时，则 ，
∴点 坐标为 或 ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴点 坐标为 ；综上所述：点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分
类讨论思想解决问题是解题的关键．
4．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使 的值最小，此时P的坐标为 ；
(3)点 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 、点 重合），过点 作 轴于点 ，交直线
于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部分？若能，请求出点 的坐标；
若不能，请说明理由；
(4)若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)能， 或 ；
(4)点 的坐标为： 或 或 或 ．
【分析】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到面积的计算，直角三角形的性质、点的对称性等，分
类求解是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，则 交抛物线对称轴于点 ，点 为所求点，即可求解；
（3）当直线 能否把 分成面积之比为 的两部分时，即 或 ，即可求解；
（4）当 是斜边时，由勾股定理列出等式，即可求解；当 或 为斜边时，同理可解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线 ，
点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，则 交抛物线对称轴于点 ，点 为所求点，理由：
为最小，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，
即点 ，
故答案为： ；
（3）解：能，理由：
当直线 能否把 分成面积之比为 的两部分时，即 或 ，
设点 ，点 ，
则 或 ，
解得： 或 ，
则点 或 ；
（4）解：设点 ，
由点 、 、 的坐标得， ， ， ，
当 是斜边时，
则 ，
解得： 或 ，
即点 或 ；
当 或 为斜边时，同理可得：
或 ，
解得： 或 ，
即点 或 ，
综上，点 的坐标为： 或 或 或 ．5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 的图像与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且 ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接 ，作 的角平分线交抛物线于点D，求点D的坐标；
(3)在（2）的情况下，若点E为抛物线的顶点，作直线 ，将抛物线沿直线 平移，点E平移后的对应
点为F，过点D作x轴的垂线与平移后的抛物线交于点G．在平移过程中，是否存在这样的点F，使得由
三个点D、G、F构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设 ， ，，根据根与系数的关系可得 ，再由 求出 ，
，再将点A或B代入函数解析式即可求解；
（2）设射线 与y轴的交点为G点，过点G作 交于H点，在 中，利用勾股定理求出
，可知 ，直线 的解析式为 与抛物线的交点为D点，从而可得答案；
（3）设抛物线向右平移h个单位长度，则向上平移 个单位长度，E点平移后 ，
平移后函数的解析式为 ， ，当 时， 轴，求
F点坐标，当 时和 时，不成立．
【详解】（1）解：设 ， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 解得 ，∴ ，
∴ ， ，
将B代入 中，可得 ，
解得 ，
∴函数的解析式为 ；
（2）如图，
设射线 与y轴的交点为G点，过点G作 交于H点，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ， 解得 ，
∴直线 的解析式为 ，当 时，解得 （舍）或 ，
∴ ；
（3）存在点F，使得由三个点D，G、F构成的三角形为直角三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设抛物线向右平移h个单位长度，则向上平移 个单位长度，
∴E点平移后 ，
平移后抛物线的解析式为 ，
∵ ， 轴，
∴ ，
当 时， 轴， 如图，
∴ ，解得 ，
∴ ；
当 时和 时，不成立；如图，综上所述： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及
性质，角平分线的性质，勾股定理，平移的性质是解题的关键．
