文档内容
专题 04 三角形全等模型之手拉手模型与角平分线模型
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、等腰三角形中的手拉手模型................................................................................................................3
类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直）...............................................................................................9
类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直）.............................................................................................12
类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）......................................................................14
压轴能力测评（8题）.....................................................................................................................................18
解题知识必备
模型1.等腰三角形中的手拉手模型
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫
旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记
为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得 。
【常见模型及证法】
等边三角形手拉手模型：
等腰直角三角形手拉手模型：
等腰三角形手拉手模型：模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线、 于点A时，过点C作 .
结论： 、 ≌ .
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D作 .
结论： 、 ≌ .（当 是等腰直角三角形时，还有 .）
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：① ；② ；③ .
图1 图2 图3
模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线， ，
结论：△AOC≌△BOC， 是等腰三角形、 是三线合一等。
图1 图2 图3
条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF， 是等腰三角形、BE是三线合一等。
模型4.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】条件：如图， 为 的角平分线，A为任意一点，在 上截取 ，连结 .
结论： ≌ ，CB=CA。
条件：如图， 分别为 和 的角平分线， ，在 上截取 ，连结
.
结论： ≌ ， ≌ ，AB+CD=BC。
压轴题型讲练
类型一、等腰三角形中的手拉手模型
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 和 中， ， ，若
，连接 、 交于点 ；
(1)求证： ．
(2)求 的度数．
(3)如图(2)， 是等腰直角三角形， ， ， ，点 是射线 上的一点，
连接 ，在直线 上方作以点 为直角顶点的等腰直角三角形 ，连接 ，若 ，求
的值．
【变式训练1】如图， 和 都是等边三角形，直线 ， 交于点F．(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时， 的度数为______，线段 与 的数量关系为
______．
(2)如图2，当 绕点C顺时针旋转 时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说
明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若 ， ，当 绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出 长的取值范围．
【变式训练2】（1）问题发现：如图1， 和 均为等边三角形，当 应转至点 ， ，
在同一直线上，连接 ，易证 ，则① ；②线段 ， 之间的数量关系 ；
（2）拓展研究：如图2， 和 均为等腰三角形，且 ，点 ， ， 在同
一直线上，若 ， ，求 的长度；
（3）如图3， 为等边三角形 内一点，且 ， ， ， ， ，
求 的长．
类型二、角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
例题：如图，在 中， 为 边上一点， 于点 ， 于点 ， ．(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ， ，则 的长为 ．
【变式训练1】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的
部分内容．
已知：如图． 是 的平分线，P是 上任意一点， ， ，垂足分别为点D和点
E．
求证： ．
分析：
图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等便可证得 ．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明 的过程．
【类比探究】
（1）如图②， 是 的平分线，P是 上任意一点，点M，N分别在 和 上，连接 和
，若 ，求证： ；
（2）如图③， 的周长是12； 、 分别平分 和 ， 于点D，若 的
面积 ，则 长为________．
类型三、角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
例题：（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图， 中， ， ， 平分 ，
，垂足 在 的延长线上．(1)求证： ；
(2)当 时，求 的面积 用含 的代数式表示 ．
类型四、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图， 是AD中点， 平分 ．
(1)若 ，求证： 平分 ．
(2)若 ，求证： ．
【变式训练1】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图， 是 的平分线， ，点E在 上，
连接 、 ，过点D作 ， ，垂足分别是F、G．
(1)求证： ；
(2)求证： ．【变式训练2】（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，
在 、 上分别取点 、 、 、 ，使得 ， ，连接 、 ，交点为 ，则射线
为 的角平分线．
【验证】（1）试说明 平分 ，且 ；
【应用】（2）如题图2，若 、 、 、 分别为 、 上的点，且 ， ，
试用（1）中的原理说明 平分 ；
【猜想】（3）如题图3， 是 角平分线上一点， 、 分别为 、 上的点，且 ，请
补全图形，并直接写出 与 的数量关系．
压轴能力测评（8题）
一、填空题
1．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图， 于E， 于F， ， ，则
的度数是 ．2．（23-24七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在 中， ， 平分 ，交 于 ，
若 ，点 到边 的距离为6，则 的长为 ．
3．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图 中 ， ，点 是 、 角
平分线的交点，过 作 于 点，且 ，则 的面积为 ．
4．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在 中， 于E， 于F， 为 的平分
线， 的面积是 ， ， ， ．
二、解答题
5．在 与 中， ， ， ．
(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接 ， ，则 与 的关系为________．
(2)如果将图1中的 绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断 与 的关系，并
说明理由(3)如图3，若 ， ，连接 ，分别取 ， ， 的中点M，P，N，连接 ， ，
，将 绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中 的面积最大值和最小值．
6．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】
如图①， ， 平分 ， 点 F在 上， 的两边分别与 ，
交于点 D， E． 当 ， 时，则 与 的数量关系为 ；
（2）【问题探究】
如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线 ， ，分别交 ， 于点 M， N，
判断 与 的数量关系， 说明理由；
（3）【迁移应用】
某学校有一块四边形的空地 ，如图③所示， ， 是 的平分线，
， ，直接写出该空地的面积．
7．（22-23九年级下·江西抚州·阶段练习）在 中， ， ，点 是平面内不与点 ，
重合的任意一点，连接 ，将线段 绕点 旋转 得到线段 ，连接 、 、 ．
(1)当 时，①如图1，当点 在 的边 上时，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，则 与 的数量
关系是_______________；
②如图2，当点 在 内部时，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，①中 与 的数量关系
还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当 时，
①如图3，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．试判断 与 的数量关系，并说明理由；
②若点 ， ， 在一条直线上，且 ，线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，求 的值．
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利
用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.
【问题提出】
（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明 的依据是
，这两个三角形全等的判定条件是______．
【问题探究】
（2）①巧翻折，造全等
如图②，在 中， 是 的角平分线，请说明 ．
小明在 上截取 ．连接DE，则 ．请继续完成小明的解答；
②构距离，造全等
如图③，在四边形ABCD中， ， ， 和 的平分线 ， 交 于点 ．
过点 作 于点 ．若 ，求点 到 的距离；
【问题解决】
（3）如图④，在 中， ， ， 是 的两条角平分线，且 ， 交于点 ．请判
断 与 之间的数量关系，并说明理由．
