文档内容
压轴题 07 二次函数中三种面积最值问题
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、三角形面积最值.................................................................................................2
题型二、四边形面积最值.................................................................................................9
题型三、面积和差最值...................................................................................................18
压轴能力测评（17题）.............................................................................................27
二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：
1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：
一般步骤为：①设出要求的点的坐标；
②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；
③列出关系式求解；
④检验是否每个坐标都符合题意．
2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；
②通过已知点的坐标，求出直线解析式；
③求出题意中要求点的坐标；
④检验是否每个坐标都符合题意．
题型一： 三角形面积最值问题
【例1】．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线 与x轴交于不同的两点．
(1)求 的取值范围；
(2)证明该抛物线经过象限内的某个定点P，并求点P 的坐标；
(3)设抛物线与 轴的两个交点分别是A，B，当 时， 的面积是否有最大值或最小值？若
有，求出该最大值或最小值及对应的 的值；若没有，请说明理由．
【变式1】．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，抛物线 与 轴相交于点，交 轴于点 ，点 是线段 上一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于
点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接 ，求四边形 面积的最大值．
【变式2】．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，
抛物线交x轴于A，C两点，与直线 交于A，B两点，直线 与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)点P在直线 上方的抛物线上运动，若 的面积最大，求此时点 的坐标．【变式3】．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线 的图像与 轴交于点 ，点 ，
与 轴交于点 ，且 ．
(1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点 的坐标；
(2)若点 为第一象限内抛物线上一点，求 点坐标为多少时， 的面积最大，并求出这个最大面积．
题型二： 四边形面积最值问题
【例2】．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，直线 交y轴于点A，交x轴于点C， 抛
物线 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
(1)直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ；
(2)求该抛物线的解析式；
(3)在直线 上方的抛物线上是否存在点M，使四边形 面积最大？若存在，求出该最大值；若不存
在，请说明理由；
(4)将线段 绕x轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，
请结合函数图象，求m的取值范围．【变式1】．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A、
两点，与y轴交于C点，直线 交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形 面积的最大值；并直接写出M点的坐标．
【变式2】．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点
， ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点 是二次函数第四象限图象上一点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，求四边形 面积
的最大值及此时点 的坐标；
(3)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，
直接写出点P的坐标．【变式3】．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线 与 轴交于点 ，
与 轴交于 ， 两点，点 在点 左侧．点 的坐标为 ， ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线对称轴 上的一个动点，当 的值最小时，求点 的坐标．
(3)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值．
题型三： 面积和差最值问题
【例3】．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线 与x轴交于A(−2,0)， ，
交y轴于点C，点P是线段 下方抛物线上一动点，过点P作 交 于点Q，连接 ， ，
， ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求 周长的最小值；
(3)假设 与 的面积分别为 ， ，且 ，求S的最大值．【变式1】（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，直线 经过点A．
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若直线 与抛物线 的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记 的面积为 ，记 的面积为 ， ，求
S与x的函数表达式，并求出S的最大值．
【变式2】（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线 （ 为常数，且 ）与 轴交于
两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ，经过点 的直线 与抛物线的另一交点为点
，与 轴的交点为点 ．
(1)如图1，若点 的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若 ，试确定 的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接 ，点 为抛物线在第一象限内的点，连接 交 于点 ，
当 取最大值时，试求点 的坐标．【变式3】（2024·广东广州·一模）综合应用
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线 与抛物线在第二象限交于点 ，若动点 在 上运动，线段 绕点 顺时针旋转，点
首次落在 轴上时记为点 ，在点 运动过程中，判断 的大小是否发生变化？并说明理由．
(3)在（ ）的条件下，连接 ，记 的外接圆的最小面积为 ，记 的外接圆的最大面积为
，试求 的值（结果保留 ）．
1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知二次函数 的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于
点C，点P是直线 上方的抛物线上的动点．
(1)求直线 的解析式．
(2)当P是抛物线顶点时，求 面积．
(3)在P点运动过程中，求 面积的最大值．2 ．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 经过 、C(0,−3)两
点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），
①当点E在直线 的下方运动时，求 的面积的最大值；
②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的
四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B左
侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，其横坐标为a．
(1)已知点 ，求抛物线的解析式．
(2)若 ，
①如图，当点P位于第二象限时，过点P分别作 于点E， 轴于点N，当 取得最
大值时，求a的值；
②在①的条件下，连接 ， ，判断此时 的面积是否为最大，并说明理由．4．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ．抛物线 的对称轴是 ，且经过 两点，与 轴的另一交点为点 ．
(1)求抛物线解析式．
(2)若点 为直线 上方的抛物线上的一点，连接 ．求 的面积的最大值，并求出此时点 的
坐标．
5．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ，直线 经过 、 两点，点 是第二象限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 、 ，求 面积的最大值；
(3)若点 关于直线 的对称点 恰好落在直线 上，求点 的坐标.6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线 的图像与x轴交于点 和点C，与y
轴交于点B(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当 的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得 的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存
在，请说明理由．
7．（23-24九年级上·广西柳州·期中）如图，已知抛物线 的顶点为 ，且通过点
．
(1)求顶点 的坐标；
(2)点 为直线 上方抛物线上一动点，求 面积的最大值；
(3)在抛物线上存在一点 ，使得 ，求点 坐标．8．（23-24九年级上·四川自贡·期末）将拋物线 平移到图中 的位置，且与直线 交于
A(0,−1)，B(2,1)两点．
(1)抛物线 是由抛物线 向左平移______个单位，再向下平移______个单位得到的；
(2)求抛物线 的顶点坐标；
(3)动点 在直线 下方的抛物线 上，求以点 为顶点的四边形的最大面积．
9．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是
A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是 ．
(1)求A，C两点的坐标．
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
(3)在直线 上方的抛物线上是否存在点P，使 的面积最大？若存在，求P点的坐标及 面积
的最大值．10．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，连接 ，点 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接 ， ，请求出 面积的最大值；
(3)点 在抛物线上移动，连接 ，存在 ，请直接写出点 的坐标．
11．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在 中， ， ， ，点
从点 开始沿 边向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度运动． 、
分别从 、 同时出发，当 、 两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为 ．
(1)当 为何值时， 的长度等于 ；
(2)求出 关于 的函数解析式，计算 、 出发几秒时， 有最大值，并求出这个最大面积？12．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图1，抛物线 与x轴交于点A、B(4,0)（A点在B
点左侧），与y轴交于点C(0,6)，点P是抛物线上一个动点，连接 ， ，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求 的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线 上方运动时，连接 ，求四边形 面积的最大值，并写出此时P点
坐标．
(4)若点M是 轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，
使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．13．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 左
侧），与 轴交于点 ，抛物线过 ， ，点 为第一象限内抛物线上一动点：
(1)求抛物线的函数表达式和直线 的函数表达式；
(2)在 轴上取F(0,1)，连接 ， ，当 面积最大时，求点 横坐标；
(3)当 时，点 在抛物线对称轴右侧时，直线 上存在两点 （ 在 上方），
，动点 从 出发，沿 运动到终点 ，当 运动路程最短时，直接写出点
坐标．
14．（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于
两点，点 在点 的左侧，点 的坐标为(1,0)，点 的坐标
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值；
(3)若点 在 轴上，点 在抛物线上，是否存在以 为顶点，且以 为一边的平行四边形呢？
若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（22-23九年级上·海南海口·期中）如图①，已知二次函数 与 轴相交于 、
两点，与 轴相交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图②，连结 、 ．
①求直线 的表达式；
②在对称轴上是否存在一个点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标和此时 的周长；
若不存在，请说明理由；
③点 为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，请求出
点 的坐标和此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由．16．（22-23九年级上·贵州黔南·期中）已知，如图抛物线 与 轴交于点 ，与
轴交于A(−4,0)、 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值．
(3)点 是抛物线对称轴上一动点，点 是直线 上一动点，且以点 为顶点的四边形是平行
四边形，请直接写出点 的坐标．
17．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线 经过点B(−2,0)和点 ，与
轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是第四象限内抛物线上的动点，求四边形 的面积的最大值和此时点 的坐标；
(3)点 是 轴上的一个动点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，若线段 与抛物
线有一个公共点，结合函数图像，请直接写出 的取值范围．
