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专题 08 相似三角形的基本模型（手拉手模型）
【模型说明】
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不
变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形
称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE= ， ；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； .
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图， ， （即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD； ，AC⊥BD， .
3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）
M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF； .
条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE.
条件:
【例题精讲】
例1．（等腰三角形）【问题发现】（1）如图1，在 中， ，D为 边上
一点（不与点B、C重合）将线段 绕点A顺时针旋转90°得到 ，连接 ，则线段
与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在 和 中， 将 绕点
A旋转，当点C，D，E在同一直线时， 与 具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ，将 绕顺时
针旋转，点C对应点E，设旋转角 为 （ ），当点C，D，E在同一直
线时，画出图形，并求出线段 的长度．
例2．（直角三角形）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分
别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线
AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，
请说明理由；(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直
线BC距离的最大值．
例3．（等边三角形）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝
CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连
接BD，CE．请直接写出 的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且
＝ ＝ ．连接BD，CE．
①求 的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
例4．（正方形）如图（1），在矩形 中， ，点 分别是边
的中点，四边形 为矩形，连接 ．
（1）问题发现：在图（1）中， _________；
（2）拓展探究：将图（1）中的矩形 绕点 旋转一周，在旋转过程中， 的大小
有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决
当矩形 旋转至 三点共线时，请直接写出线段 的长．
例5．（培优综合1）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，
，连接BD，CE．求证： ．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且 ，连接BC，BC、AC、CD
之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转
90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写
出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形
CEFG，且 ，AB＝5，连接BE，BF．求BE+ BF的最小值．例6．（培优综合2）在正方形 中，等腰直角 ， ，连接 ，H
为 中点，连接 、 、 ，发现 和 为定值．
（1）① __________；
② __________；
③小明为了证明①②，连接 交 于O，连接 ，证明了 和 的关系，请你按
他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， ，
（ ）求：
① __________（用k的代数式表示）
② __________（用k、 的代数式表示）课后训练
1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，
．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使
AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合 ．
【探究】求证： ．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1) 的值为______．
(2)若 ，则MN的长为______．
2．将 绕点 逆时针方向旋转 ，并使各边长变为原来的 倍，得到 ，我们
将这种变换记为 ．
（1）问题发现
如图①，对 作变换 得 ，则 ______；直线 与直线
所夹的锐角度数为______．
（2）拓展探究
如图②， 中， 且 ，连结 ， ．对 作变换
得 ，求 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数，
并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决如图③， 中， ， ，对 作变换 得 ，使点 、
、 在同一直线上，且四边形 为矩形，请直接写出 的值．
3．如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B
重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时
针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写
出 的值（用含k的式子表示）．
4．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接
AP，以AP为腰作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是
______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接
CP，以CP为底边作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形
DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ，，求正方形ABCD的边长．
5．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针
旋转 （0°＜ ≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置
关系是 ，数量关系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若
成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．
6．如图，以 的两边 、 分别向外作等边 和等边 ， 与 交于
点 ，已知 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数及 的长；
（3）若点 、 分别是等边 和等边 的重心（三边中线的交点），连接 、
、 ，作出图象，求 的长．7．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，
，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证： ；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的
数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若 ， ，
求EF的长．
8.如图1， 分别是 的内角 的平分线，过点 作 ，交
的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，如果 ，且 ，求 的值；
（3）如果 是锐角，且 与 相似，求 的度数，并直接写出 的
值．
