文档内容
专题 06 等腰三角形的性质与判定的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长.............................................................................................2
类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数.............................................................................................4
类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题.........................................................................................8
类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明.......................................................................................12
类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题...................................................................................................15
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................20
解题知识必备
1.等腰三角形的有关定义
有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰
的夹角叫做底角.
(1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
(2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶
角还是底角,需要分类讨论.
2.等腰三角形的性质
(1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
应用模式:在△ABC中, AB=AC.∠B=∠C.
①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②
应用这个性质时,必须在同-一个三角形中.
3.等腰三角形的判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形.
(2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证
明一个三角形是等腰三角形的常用方法.
压轴题型讲练
类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的
周长为 ．【变式训练1】（23-24七年级下·重庆·期末）已知一个等腰三角形的两边a，b满足 ，
则此三角形周长为 ．
【变式训练2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是 ，另一边长是10，则该等
腰三角形的周长是 ．
（2）若等腰三角形的周长是 ，则它的腰长 的取值范围是 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角
形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ．
类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数
例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为 ，则这个等腰三角形的底角的度
数为 ．
【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是 ，则它顶角的
度数为 ．
【变式训练2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， ， 平分 ，如果射线 上
的点 满足 是等腰三角形， 的度数为 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在 中， 为钝角， ，如果经过
其中一个顶点作一条直线能把 分成两个等腰三角形，那么 的度数为 ．
类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题
例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角
形的“优美比”．若等腰 的两边长分别是3和9，则这的“优美比” 为 ．
【变式训练1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形
叫做“倍长三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边 的长为 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段 的最大值
称为该图形的“通径”．已知 中， ， 是等腰 的最短边，将 沿 翻折得
到 ，四边形 的“通径”是8，将 沿 翻折得到 ，四边形 的“通径”
也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5）
【变式训练3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割
线”，在 中， ，若存在过点C的“钻石分割线”，使 是“钻石三角形”，则满
足条件的 的度数为 ．
类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明
例题：如图，点 ， 在 的边 上， ，
(1)若 求 的度数；
(2)求证：
【变式训练1】如图，在 中， ， 平分 并交 于点 ，则
．
【变式训练2】如图，在 中， ， ， 是 边上的高．线段 的垂直平分线
交 于点E，交 于点F，连接 ．
(1)试问：线段 与 的长相等吗？请说明理由；
(2)求 的度数．
【变式训练3】如图，点D、E在 的 边上， ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题
例题：如图，在 中， ，D是 边的中点，连接 ， 平分 交 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点E作 交 于点F，求证： 是等腰三角形．
(3)若 平分 的周长， 的周长为15，求 的周长．
【变式训练1】如图，在 中， ，D为 延长线上一点， 于点E，交 于点F．
(1)求证： 是等腰三角形
(2)若 ，求线段 的长．
【变式训练2】如图，在 中， ， ，分别交 、 于点 、 ，点 在 的延
长线上，且 ，
(1)求证： 是等腰三角形；(2)连接 ，当 ， ， 的周长为 时，求 的周长．
【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在 中， ， 平
分 ， 平分 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则图中共有 个等腰
三角形； 与 、 之间的数量关系是 ， 的周长是
（2）如图2，若将（1）中“ 中， ”改为“若 为不等边三角形， ，
”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形； 与 、 之间的数量关系是什么？证明
你的结论，并求出 的周长
（3）已知：如图3， 在 外， ，且 平分 ， 平分 的外角 ，过点
作 ，分别交 、 于 、 两点，则 与 、 之间又有何数量关系呢？直接写出结
论不证明．
压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
2．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图， 中， ， ， 是 边上的中线，
且 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）四边形 的边长如图所示，对角线 的长度随四边形的形
状的改变而变化，当 为等腰三角形时，对角线 的长为（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．1.5或2
4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试） 如图，在 中， ，高 ，高 交于点
H．若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知一个等腰三角形的一边是6，另一边是8，则这个等腰三角
形的周长是 ．
6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 ，则这个
等腰三角形的顶角为 ．
7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．则 的周长是 ．
8．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知 中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”．
如图1， 为“等直三角形”．在图2中， 为“等直三角形”， ，则 的度
数为 ．
三、解答题9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在等腰 中， ， 边上的中线 把三角形的周
长分成 和 的两部分，求等腰三角形底边的长．
10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ， 的平分线 交
于点 ，过 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)已知 ， ，求 的长．
11．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， ， ，点D在 边
上， 、 关于 所在的直线对称， 的角平分线交 边于点G，连接 ．
(1)求 的度数．
(2)设 ，当 为何值时， 为等腰三角形？
12．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点D
从B出发以每秒2个单位的速度在线段 上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速
度在线段 上向点A运动，连接 、 ，设D、E两点运动时间为t秒（ ）．
(1)运动 秒时， ；
(2)运动多少秒时， 能成立，并说明理由；
(3)若 ， ，则 （用含α的式子表示）．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知 平分 的外角 ， 为 上一点，
．(1)如图 ，求证： ；
(2)判断 的形状并证明；
(3)如图 ，过点 作 于点 ，若 ， ，求线段 的长．
14．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称
这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
(1)如图1， 中， ，线段 的垂直平分线交 于点D，交 于点E．求证： 是
的一条特异线．
(2)如图2，已知 是 的一条特异线，其中 ， 为钝角，求出所有可能的 的度
数．
15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为 边
的中点，点 分别在射线 上，且 ，连接 ．
(1)如图1，当点 分别在边 和 上时，连接 ，
①判断 的形状，并说明理由；
②写出 、 和 的关系，并说明理由；
(2)探究：如图2，当点 分别在边 的延长线上时，写出 、 和 的关系，并说明
理由；
(3)应用：若 ， ，利用上面的结论，直接写出 的面积：______．
