文档内容
专题 05 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、长方形中折痕过对角线模型................................................................................................................3
类型二、长方形中折痕过一顶点模型................................................................................................................7
类型三、长方形中折痕过任意两点模型..........................................................................................................11
类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型......................................................15
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型....................................................................................17
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型......................................................20
压轴能力测评（12题）....................................................................................................................................23
解题知识必备
1. 长方形中折痕过对角线模型
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
2. 长方形中折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3： AEF是等腰三角形。
3. 长方形中折痕过任意两点模型
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。
4. 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
5. 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.6. 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
压轴题型讲练
类型一、长方形中折痕过对角线模型
例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿 折叠长方形纸片 ，点D落到点E处， 交
于点F，若 ， ，则 ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理的翻折应用，涉及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折中的勾股定理是解题的
关键．利用翻折和平行判定 ，再在 中利用勾股定理列式解决即可．
【详解】解：∵四边形 为长方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
由翻折得： ， ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练1】如图，在长方形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC
交于F， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF= -EF，在Rt 中，由勾股定理得： ，由
此即可求得EF值．
【详解】解：∵ ， ，∴AD= ， ，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED= ， ， ，
∵ ，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF= -EF，
∴在Rt 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得：EF= ，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，把一个长方形纸片 放入平面直角坐标系
中，使 分别落在x轴，y轴上，连接 ，将纸片 沿着 折叠，使点A落在 的位置上，若
，则点 的坐标是 ．【答案】
【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠
问题
【分析】设 与 交于点F，作 于点E，根据 证明 ，那么 ，设
，利用勾股定理可得 ， ，利用面积可得 ，利用勾股定理
可得 ，进而可求出点 的坐标．
【详解】解：设 与 交于点F，作 于点E
∵纸片 沿 折叠
∴
∵
∴
∴ ，
设
∴
∴ ，
解得
∴ ， ，∵
∴
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了长方形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明
是解答本题的关键．
【变式训练3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形 中， ，
， ．点 为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
【答案】(1)45
(2)
【分析】（1）由 知 ，结合 点落在 边上知 ，从而得
出答案；
（2）由折叠得出 ，再由 得出 ，从而得知 ，可得
，设 ，则 ，在 中，由 得到关于 的方程，解
之可得．
【详解】（1）解：由题意知 ，
，
点落在 边上时， ，
，
故答案为：45；
（2）如图2，由题意知 ，
四边形 是长方形，
，，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由 得：
，
解得 ，即 ．
【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的
性质，和勾股定理是解决问题的关键．
类型二、长方形中折痕过一顶点模型
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与
对角线 重合，点B落在点F处，折痕为 ，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，得到 ，进而得到 ，利用勾股定理进行求解
即可；
（2）根据折叠的性质，得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形纸片 中， ，折叠纸片使 边与对角线 重合，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵折叠，
∴ ，设 ，则： ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线
上，折痕为 ，且D点落在对角线上 处，若 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先
利用勾股定理计算出 的长，再根据折叠可得 ，设 ，则
，再根据勾股定理可得方程 ，再解方程即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴根据勾股定理得 ，
根据折叠可得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中： ，即 ，
解得： ，
故答案为：B．
【变式训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．
现折叠该纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ．【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
先利用勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质得到 ， ， ，求出
，然后在 中，利用勾股定理构建方程，即可求出 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠得： ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形 中，
．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
【答案】(1)5
(2) 或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ， ，根据勾股定理即可
求得答案；
（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ．
在 中， ．则 ．
在 中， ，
即 ．
解得 ．
即 ；
（2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．
设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ， ．
在 中
．
则 ．
在 中
，即
解得 ．
即 ．
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．在 中
．
∴ ．
综上所述， 或 ．
类型三、长方形中折痕过任意两点模型
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸
片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知 ，设 利用勾股定
理进行分析计算即可．
【详解】解：由折叠可知 ，
设
由勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
，
故选：B．
【变式训练1】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使顶点C恰好
落在 边的中点 上．若 ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到 ，设 ，则，由线段中点的定义得到 ，再由勾股定理建立方程 ，
解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得 ，
设 ，则 ，
∵ 是 边的中点，
∴ ，
由长方形的性质可得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【变式训练2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形 中 ，边 ，
．将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处．
(1)证明 ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得 ，通过 即可证明 ，可得结论；
（2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明： 四边形 是长方形，
， ，
将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，
， ， ，
， ，
，，
在 和 中，
，
，
；
（2）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
解得 ，
，
，
的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾
股定理列方程是解题的关键．
【变式训练3】（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，
使其对角顶点 与 重合， 与 重合．若长方形的长 为 ，宽 为 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长；
(3)求阴影部分 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)阴影部分 的面积为
【分析】（1）由折叠可知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，
求出 的长即可；（2）过 点作 于 ，在 中，由勾股定理 的长，在 中，由勾股定理即可得
出答案；
（3）过 点作 于 ，根据三角形面积不变性， ，求出 的长，根据
三角形面积求出结果即可．
【详解】（1）解：由折叠可知 ．
设 ，则
在 中， ，
，
解得： ，
；
（2）过 点作 于 ，则 ，
在 中，
，由勾股定理： ，即
．
，
，
，
（3）过 点作 于 ，
，
， ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等
几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块 的纸片， ， ，
，将 沿 折叠，使点 落在 上的 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得 的长. 由题意可得 ，
，由勾股定理即可求得 的长，则可得 的长，然后设 ，则
，由勾股定理 ，即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解： 点 是沿 折叠，点 的对应点，连接 ，
， ，
在 中， ， ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
．
故选：A．
【变式训练1】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，
， ，将斜边 翻折，使得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，
则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出 ，设 ，根据折叠前后对应边
相等得出 ， ，再用勾股定理解 即可．
【详解】解： ， ， ，
，
设 ，则 ，
由折叠的性质可得 ， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
，
故选B．
【变式训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形 纸片， ， ，
．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可得 ，由折叠可知 ， ， ，设 ，
则 ， ，在 中，根据 ，列出方程即可求解；
（2）由折叠知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
．
由题意知 ， ， ．
．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
（2）由题意知 ，
设 ，则 ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设 ，再根据图形翻折变换的性质得出
，再根据勾股定理求出 的值．
【详解】解：设 ，则 ，
是 翻折而成，
，在 中， ，
即 ，
解得 ．
故选：C．
【变式训练1】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ，
．将 按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在 中由于 ， ， ，
所以根据勾股定理可求出 的长，由折叠可知， ，设 ，则 在
中，由 即可求出x的值，故可得出结论．
【详解】解：在 中由于 ， ， ，
由勾股定理得： ，
∵由折叠可知， ，
设 ，则 ．
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ．
【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若，求 的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1） ，（2） ， 理由见解析．
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．
（1）先求出 ，由由翻折的性质可得 ， ，再进一步得到 即可求
解．
（2）过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，先证明 ，得到
，进一步即可得到 ．
【详解】（1）解：在 中，
，
由翻折的性质可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ， 理由如下：
过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，如图：
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点
处，求 的长．
【答案】 的长度为 或3
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出 的三边的长度，然后利
用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设 ，则 ，再根据翻折
的性质可得 ，然后分两种情况求出 ，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
沿直线 折叠B落在 处，
，
点 为 的三等分点， ，
或 ，
当 时，在 中，
，即 ，
解得： ；
当 时，在 中，
，即 ，解得： ，
综上所述， 的长度为 或3．
【变式训练1】（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ， ．将 折
叠，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的
方程是解题的关键．
设 ，由翻折的性质可知 ，在 中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设 ，
由翻折的性质可知 ，
∵D是 的中点，
，
在 中，由勾股定理得：
即 ，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
【变式训练2】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将
它的锐角 翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为
（ ）A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 ，由折叠的性质可得 ，
则 ，再勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解： 点 为 的中点，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，
，
故选：D．
【变式训练3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在 中， ， ， ，
分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ．
(1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得 ，设 ，则 ，再由勾股定理进行计算即可得出答案；（2）由题意得 ，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，再由勾
股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：若点 和顶点 重合，由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
；
（2）解： 点 落在直角边 的中点上，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，
∴ ．
压轴能力测评（14题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片 沿着 折叠，点 落在 边上的点
处，已知 ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到
，根据勾股定理得到 ，根据折叠的性质
得到 ，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定
理．
【详解】∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将长方形 沿着 折叠，点D落在 边上的点F处，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图， 纸片的两直角边长分别为3和4， ，折叠
，使B、C两点重合，折痕为 ，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出 ，设 ，
利用勾股定理解 即可．【详解】解： 中， ，
为斜边， ，
由折叠知 ，
，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
即 的长为 ，
故选B．
3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形 中， ， ，将此长方形
折叠，使点B与点D重合，折痕为 ，则 为长度的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得 ，设 ，表示出
，然后在 ，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∴ 的长是 ．
故选：C．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片 中， ，点 分别在边上，且 ，将 沿 折叠，使点A落在边 上的点F处，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查勾股定理与折叠， 直角三角形的性质，由折叠可得 ，
，即可得到 ，再分别在 和 利用 直角三角形的性质和勾股
定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 沿 折叠，使点A落在边 上的点F处，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
二、填空题5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，折叠长方形 一边 ，使D落在 边的点F处，已知
， ，则 的长 ．
．
【答案】 /
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠，得到 ， ，勾股定理求出 的长，
进而求出 的长，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵折叠长方形 一边 ，使D落在 边的点F处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，解得： ，
∴ ；
故答案为：
6．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，
，将 沿直线 折叠，使得点A落在点D处， 与 交于点E，则
．
【答案】
【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查坐标与图形，折叠问题，根据点的坐标得到 轴， 轴， ，折
叠推出 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵ ，
∴ 轴， 轴， ，
∴ 轴， ，
∴
由折叠可得， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为： ．
7．（22-23八年级上·浙江舟山·期末） 如图，在三角形纸片 中， ， ， ，点
E在线段 上，将 沿着 折叠， 的对应边 刚好过点B，则 的长 ．
【答案】 /
【知识点】求一个数的算术平方根、勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理，用勾股定理列方程是解题的关键．先
根据勾股定理求出 的长，再根据折叠的性质得 ， ，设 为x，将 用含x的代
数式表示出来，然后在 中根据勾股定理列方程即可求出 的长．
【详解】解：∵在 中 ， ，
，
根据折叠的性质得 ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在Rt 中，根据勾股定理得，
解得
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在直角三角形纸片 中， ， ， ，
是 的中点， 是 上的一个动点，将三角形纸片 沿 折叠，连接 ，当 是直角三
角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情
形：当 时，当 时，由直角三角形的性质结合勾股定理分别求解即可．
【详解】解：如图 中，当 时，
，
，
∴ ， ， 共线，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
，
设 ，则 ，
在 中，则有 ，
解得 ，
；
如图 中，当 时， ，∴根据折叠可知： ，
，
，
，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形 沿直线 折叠（点
E在边 上），折叠后顶点D恰好落在边 上的点F处，若点D的坐标为 ．
(1)写出点F的坐标．
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】勾股定理与折叠问题、坐标与图形综合
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）由点D的坐标可知 ， ，根据翻折的性质可知 ，由勾股定理可求得
，进而可求出点F的坐标．
（2）设 ，由折叠得 ，则 ，在 △ 中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵点D的坐标为 ，在矩形 中，
∴ ， ，
由折叠的性质的可知： ，
在 中，由勾股定理得： ，∴ ．
（2）解：设 ，由折叠得 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 △ 中， ，
解得： ，
∴ ．
10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片 沿 折叠后，点D与点B重合，点
C落在点 的位置．
(1)若 ，则 ______ ， ______ ；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2) 是等腰三角形，见解析
(3)
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、勾股定理与折叠问题
【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识．
（1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案；
（2）由折叠可知 ，由 得到 ，则 ，即可得到结论；
（3）设 的长为x，则 ， ，由勾股定理得 ，解
得， ，则 ，利用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
由折叠可知， ，
∴ ；
故答案为： ，
（2） 是等腰三角形，
由折叠可知： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（3）设 的长为x，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴
解得， ，
∴
∴ ．
11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片 的一边 沿着 向下折叠，使点
落在边 上的点 处．
(1)试判断线段 与 的关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)如图2，取 的中点 ，连接 ， ，若 ，求证： ．
【答案】(1) 垂直平分 ．理由见解析
(2)
(3)见解析
【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得出结论；
（2）由勾股定理可求出答案；
（3）证出 ，由直角三角形的性质可得出结论．
【详解】（1） 垂直平分 ．
理由如下： 将长方形纸片 的一边 沿着 向下折叠，使点 落在边 上的点 处，
，
， ，
垂直平分 ．
（2） 四边形 是长方形， ，
，
，
又 ，
在 中， ，
，
，
，
．
（3）证明：设 ，由折叠的性质可得 ，
， ， ．
又 点 是 的中点，
，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
． ，，
，
．
12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践．
课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在 中， ，点
D、F分别是 上的一点，连接 ．
(1)如图1，将 沿直线 折叠，点B恰好与点C重合，则CF________ （填“ ”、“ ”或“
”）；
(2)如图2，将 沿直线 折叠，点B落在 的中点E处，若 ， ，求线段CD的长；
(3)如图3，将 沿直线 折叠，点B落在 延长线上的点E处， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性
质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质得到 ， ，求得 ，根据余角的性质得到
，根据等腰三角形的判定定理得到
（2）由点 是 的中点， ，得到 ，根据折叠的性质的性质得到 ，求得
，根据勾股定理即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到 ．由折叠的性质得到 ．等量代换得到
，根据三角形的内角和定理得到结论．
【详解】（1） 将 沿直线 折叠，点 恰好与点 重合，故答案为：
（2） 点 是 的中点， ，
将 沿直线 折叠，点 落在 的中点 处，
（3） 平分 ，
由折叠可知： ．
又 ，
13．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在等腰三角形 中， ， ，点O为
的中点，点D是线段 上的动点（点D不与点O，B重合），将 沿直线 折叠得到 ，
连接 ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ，则 ；
(3)若 是等边三角形，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，以及勾股定理，理解题意，灵活运用是关键．
（1）根据已知条件可知 ，由折叠可知 ， ，则
， 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求得 的长；
（2）根据折叠可知 ，则 ， ，可得
是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得 的度数；
（3）根据已知条件得 ，由等腰三角形的性质可知 ，得 为直角三角形，再根据勾
股定理可得， ，即可求得结论．
【详解】（1）解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得： ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
（2）由折叠可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）若 是等边三角形，
∴ ， ，由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 且过O点，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
由勾股定理可得： ，
∵点O为 的中点，
∴ ，
∴ ；
14．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在 中， ，点P为斜边 上一动点，将
沿直线 折叠，使得点B的对应点为 ．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，连接 ，若 ，且 ，求出 的值；
(3)如图3，连接 ，若 ，是否存在点P，使得 ，若存在，直接写出 的值，若不
存在，说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)1
(3)
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行得出 ，再由平行线的性质得出 ，
根据折叠的性质得出 ，即可证明 ，再根据等角对等边证明即可；
（2）设 ，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半及勾股定理得 ，过点
作 ，垂足为Q，进而证得 是等边三角形，即可求解；
（3）先由三边相等证明 是等边三角形，再分两种情况讨论：①当点 在 左侧时，过点C作
于点H，②当点 在 右侧时，过点C作 于点H，设 ，则 ，由勾
股定理得 ，分别表示出 的值，求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿直线 折叠，使得点B的对应点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ , ，
∵将 沿直线 折叠，使得点B的对应点为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，由勾股定理得 ，
过点 作 ，垂足为Q，
∴ ，由勾股定理得 ，
∴ ，
延长 到点M，使 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：存在，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿直线 折叠，使得点B的对应点为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
①当点 在 左侧时，过点C作 于点H，则 ，∵将 沿直线 折叠，使得点B的对应点为 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点 在 右侧时，过点C作 于点H，则 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的值为 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判
定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
