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专题05 勾股定理易错必刷题型专训（66题22个考点）
【易错必刷一 勾股定理的证明方法】
1．（2024上·江西南昌·八年级统考期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾
股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（
）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系
证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，
设直角三角形较短直角边长为 ，较长直角边长为 ，若小正方形的面积为 ，大正方形的面积为 ，那么
为 ．
3．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图， 为 上一点， ， ， ， ，
交于点 ，且 ．
(1)判断线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
(2)连接 ， ，若设 ， ， ，利用此图证明勾股定理．【易错必刷二 以弦图为背景的计算题】
1．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全
等的直角三角形围成的.若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得
到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，
他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵
爽弦图”，连接 ，若 ， ，则 ．
3．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律
等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出
勾股定理，称为赵爽弦图，其中 ．(1)请同学们根据赵爽弦图证明 ；
(2)若正方形 的面积为100，正方形 的面积为36，求 的值；
【易错必刷三 用勾股定理构造图形解决问题】
1．（2023上·福建福州·八年级校考期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》
里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳
人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地
面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一
样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？ ．
3．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）春节将近，小明决定将家里长 的圆柱体不锈钢护栏上均匀
的缠满彩色丝带．已知圆柱体的不锈钢护栏的底面周长为 ，彩色丝带的宽度不计，若相邻两圈丝带
间隔 ．请你帮小明计算一下，最少需要多长的丝带．
【易错必刷四 勾股定理与无理数】1．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方
以 为边作长方形 ，以点C为圆心， 的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则
点P表示的数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023上·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ， 在数轴
上，点 表示的数是1，以点 为圆心， 长为半径画弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是
．
3．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知，如图所示，点 在数轴上，且 ．回答下列问题：
(1)写出数轴上点A表示的数 ；
(2)比较 与 的大小；（写出简要过程）
(3)设点 在数轴上，点 表示的数是 ，且满足 ，如果 是非零整数，直接写出符合条件的N
点有几个？
【易错必刷五 用勾股定理解三角形】
1．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在 中， 于点 于点
交于点 ，已知 ，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ．点D为
外一点，满足 ， ，则 的面积是 ．
3．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）如图， ， ， ，垂足分别为D，
E， ， ．
(1)求 的度数；
(2)求线段 的长度．
【易错必刷六 已知两点坐标求两点距离】
1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段 （点B在点A上
面）在y轴上移动， ， ，连接 ， ，则 的最小值为（ ）A．5 B． C． D．
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中， 轴上的点到点 和点 的距
离之和的最小值是 ．
3．（2023下·七年级课时练习）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标 ，
，其两点间的距离公式为： ，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为
．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴的距离公式可简
化成： 或 ．
(1)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为
________；
(2)线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是________________；
(3)已知A（3，5），B（-2，4），A，B两点的距离为________．
【易错必刷七 勾股数问题】
1．（2024上·河南开封·八年级校联考期末）下列是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左
右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生
长”后，生出了 个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了 次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .
3．（2022下·八年级课时练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果
已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，
4，5的整数倍，设它的面积为 ，则第一步：求 ，设等于 ；第二步：求 ，设等于 ；第三步：分
别用3，4，5乘以 得三边长分别为 ， ， ．
任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
【易错必刷八 以直角三角形三边为边长的图形面积】
1．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）如图，在 中， ， ，分别以 ， 为一
边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为 ， ，则 的值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2024上·江苏苏州·八年级统考期末）如图， 中， ，分别以 的边
为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为 ．若 ，则 ．
3．（2024下·全国·七年级假期作业）观察图形，回答下列问题：
(1)如图①， 为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为
__________；
(2)如图②，分别以 的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆的面积之间的关系是
__________（用图中字母表示）；
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆．请你
利用（2）中得出的结论求阴影部分的面积．
【易错必刷九 勾股定理与网格问题】
1．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，
的三个顶点都在格点上， 是 边上的高，则 的长为（ ）A．5 B．2 C． D．
2．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）如图所示， 的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格
点上， 于点D，则BD的长为 ．
3．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为 的方格纸中，点 、
、 、 均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以 为底边的等腰 （点 在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出 ， ，（点 在小正方形的顶点上），且 的面积为 ，连接 ，
请直接写出 的长
【易错必刷十 勾股定理与折叠问题】
1．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，
将斜边 翻折，使点B落在直角边 延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）A．1 B． C．1.5 D．
2．（2024上·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）如图，在直角三角形 中，
，点D是 边上的一点（不与B、C重合），连接 ，将 沿 折
叠，使点C落在点E处，当 是直角三角形时， 的长为 ．
3．（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，长方形 的 边在 轴上， 边在 轴上，
， ，在边 上取一点 ，使 沿 折叠后，点 落在 轴上，记作点 ．
(1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______；
(2)求点D的坐标；
(3)求点E关于y轴的对称点 的坐标．
【易错必刷十一 判断三边能否构成直角三角形】
1．（2023上·山东济南·八年级统考期末） 的三边为 、 、 ，且 ，则 是（）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．钝角三角形
2．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）在 中， ， ， 的对边分别为a，b，c，有以下5
个条件：
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ．
其中能判断 是直角三角形的是 （填序号）．
3．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）已知 ， ， （m，n均为正数，且
）．求证：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【易错必刷十二 在网格中判断直角三角形】
1．（2024上·广东广州·八年级统考期末）我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格
中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使 是等腰直角三角形，则满足条件的格
点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2017下·北京东城·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为 ，则 是
三角形．3．（2024下·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在正方形 网格中，每个小正方
形的边长均为1，已知点 ，点 均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)请在图①中，画出以 为边的正方形 ；
(2)请在图②中，画出以 为底的等腰 ，且 的面积为_____．
【易错必刷十三 利用勾股定理逆定理求解】
1．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在四边形 中，
，且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，则四边形 的面积为 （精确到 ．参考数据 ）．
3．（2024上·广东梅州·八年级统考期末）如图所示，在四边形 中， ， ，， ．
(1)求 的长；
(2)四边形 的面积．
【易错必刷十四 勾股定理逆定理的实际应用】
1．（2024上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结
把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个
结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是( )
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
2．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块四边形空地 ，为了美化小区环境，现
计划在空地上铺上草坪，经测量 、 米， 米， 米， 米，若铺一平方
米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．3．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，
B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距
150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接
处为中转站D区（接缝忽略不计）．
(1)请判断此平面图形 的形状（要求写出推理过程）
(2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
【易错必刷十五 求梯子滑落高度】
1．（2024上·江苏扬州·八年级统考期末）一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角
4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（ ）
A．0m B．1m C． D．
2．（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，一根长度为 的木棒 斜靠在直角墙上，棌低端到
墙的距离 为 ，如果木棒顶端 沿墙下滑 至 ，那么木棒低端 将向外滑动 ．3．（2024上·四川遂宁·八年级统考期末）我市某中学八年级（3）班两位同学上体育课时在打羽毛球，打
球中途一不小心将羽毛球打落在离地面高6m的树上 处，其中一位同学赶快找老师搬来一架长为 的梯
子，架在树干上，梯子底端在离树干 处 远的 处．另一位同学爬上梯子去拿羽毛球，问这位同学能
拿到吗？（树干宽度忽略不计）
【易错必刷十六 求旗杆高度】
1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上
测量旗杆 高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图）
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为9米（如图2）．
根据以上信息，则旗杆 的高度为（ ）A．10米 B．13米 C．15米 D．17米
2．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到
离旗杆底端 6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米．
3．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，小明想要测量旗杆 的高度（已知旗杆直立于地面，即
），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发
现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆 的高度．
【易错必刷十七 求大树折断前的高度】
1．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折
抵地，去本四尺，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（ ）
A． 尺 B． 尺 C．5尺 D．4尺
2．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，一竖直的大树在离地面若干米处折断，树的顶端落在地面
离大树底端12米处，大树折断之前的高度为18米，则折断处离地面的距离为 ．
3．（2023上·山东济南·八年级统考期中）一棵高8米的大树被折断，折断处A距地面的距离 米
（点B为大树顶端着地处），在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离 为 米，
点D在 的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离 ．
【易错必刷十八 解决航海问题】
1．（2023上·山东威海·七年级统考期中）周末，小明骑车从家A出发向北偏东 方向骑行了4000米到达
体育公园B，然后又从体育公园出发向南偏东 方向骑行了3000米到达新华书店C．则小明家到新华书
店的距离为（ ）
A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、
“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东 方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西 方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，
则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．
3．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）一辆轿车从 地以 的速度向正东方向行驶，同时一辆
货车以 速度从 地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达 走向公路上的 两地．
(1)求 两地的距离；
(2)若要从 地修建一条最短新路 到达公路 ，求 的距离．
【易错必刷十九 求台阶上地毯长度】
1．（2024上·山西长治·八年级统考期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.
如图，这是一段楼梯的侧面，它的高 是3米，斜边 是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为
（ ）
A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
2．（2022上·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼
梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米
30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．3．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼
道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【易错必刷二十 判断是否受台风影响】
1．（2022上·江西九江·八年级统考期中）如图，铁路 和公路 在点 处交会，公路 上点 距离点
是 ，与 这条铁路的距离是 ．如果火车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，那么火
车在铁路 上沿 方向以 的速度行驶时，点 处受噪音影响的时间是（ ）
A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，铁路 和公路 在点 处交会，点 到 的直线距离为
．公路 上点 处距离点 处 ．如果火车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，那么火
车在铁路 上沿 方向以 的速度行驶时，点 处受噪音影响的时间为 s．
3．（2023上·山东烟台·七年级统考期末）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，
笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路 的距离 米，若宣讲车P周围100米以内能
听到广播宣传，宣讲车P在公路 上沿由M到N的方向行驶．(1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由．
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．
【易错必刷二十一 选址使两点距离相等】
1．（2022下·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，
DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使
得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
2．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，高速公路上有A，B两点相距 ，C，D为两村庄，已
知 ， ． 于A， 于B，现要在 上建一个服务站E，使得C，D两村
庄到E站的距离相等，则 的长是 ．
3．（2023上·山东菏泽·八年级统考阶段练习）两根电线杆 、 ， ， ，它们的底部
相距 ，现在要在两根电线杆底端之间 线段 上 选一点 ，由 分别向两根电线杆顶端拉钢索 、
，若使钢索 与 相等，那么点 应该选在距点 多少米处？【易错必刷二十二 求最短路径】
1．（2024·全国·八年级竞赛）如图是一个长为 ，宽为 ，高为 的仓库，在其内壁的点 （长的四
等分点）处有一只壁虎．在点 （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）棱长分别为 和 的两个正方体如图所示放置，点A，
B，E在同一直线上，顶点G在棱 上，点P是棱 的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到
点P，它爬行的最短距离是 ．
3．（2023上·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的
长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一
个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；
(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
