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专题05 勾股定理易错必刷题型专训（66题22个考点）
【易错必刷一 勾股定理的证明方法】
1．（2024上·江西南昌·八年级统考期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾
股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A．大正方形面积为： ，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，∴ ，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为： ，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组
成，则其面积为： ，∴ ，可以证明勾股定理，故本选项
不符合题意；
C．大正方形的面积为： ，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
，∴ ，∴ 故本选项不符合题意；
D．大正方形的边长无法确定，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系
证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，
设直角三角形较短直角边长为 ，较长直角边长为 ，若小正方形的面积为 ，大正方形的面积为 ，那么为 ．
【答案】1
【分析】结合图形，求出 的值，再利用完全平方公式计算即可得出．
【详解】解：根据题意得： ， ，即 ，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，采用数形结合的方法是解题的关键．
3．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图， 为 上一点， ， ， ， ，
交于点 ，且 ．
(1)判断线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
(2)连接 ， ，若设 ， ， ，利用此图证明勾股定理．
【答案】(1) ．理由见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明，
（1）根据 证明 ，可得答案；
（2）根据 ，可得答案．
【详解】（1） ．
理由如下：， ，
．
又 ，
．
， ，
．
在 和 中， ，
．
， ．
又 ，
．
（2） ，
，
，
．
【易错必刷二 以弦图为背景的计算题】
1．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全
等的直角三角形围成的.若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得
到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图2，由题意知，外延的4部分全等，
且 ，由勾股定理得， ，根据风车的外围周长是 ，计算求
解即可．
【详解】解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且 ，
由勾股定理得， ，
∴这个风车的外围周长是 ，
故选：C．
2．（2024上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，
他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵
爽弦图”，连接 ，若 ， ，则 ．
【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意得 ，利用三角形的面积公式求得 ，
由 ，推出 ， ，在 中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律
等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出
勾股定理，称为赵爽弦图，其中 ．
(1)请同学们根据赵爽弦图证明 ；
(2)若正方形 的面积为100，正方形 的面积为36，求 的值；
【答案】(1)见详解(2)
【分析】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是面积公式的计算．
（1）根据面积公式证明勾股定理即可；
（2）根据面积公式和勾股定理解得即可．
【详解】（1）证明：∵大正方形的面积是 ，直角三角形的面积是 ，
小正方形的面积为 ，
∴
即 ；
（2）解：由正方形 的面积是100，得 ，
解得： ，
由正方形 的面积为36，得 ，
一个直角三角形面积为：
解得： ，
∴ ，
则 ，
故 ．
【易错必刷三 用勾股定理构造图形解决问题】
1．（2023上·福建福州·八年级校考期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为 是解本题的关键．利用勾股定理
求出 的长，再根据少走的路长为 ，计算即可．
【详解】解： ， ， ，
，
少走的路长为 ，
故选：D．
2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》
里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳
人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地
面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一
样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？ ．
【答案】 尺
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索 ，得到
，求出 的值即可．
【详解】解：设这个秋千的绳索 ，
则 ，
，
，∵ ，
，
，
，
这个秋千的绳索有 尺．
故答案为： 尺
3．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）春节将近，小明决定将家里长 的圆柱体不锈钢护栏上均匀
的缠满彩色丝带．已知圆柱体的不锈钢护栏的底面周长为 ，彩色丝带的宽度不计，若相邻两圈丝带
间隔 ．请你帮小明计算一下，最少需要多长的丝带．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键在于将实际问题抽象成勾股定理进行计算．
根据题意首先求出丝带需要缠绕的圈数，在根据勾股定理求出每圈丝带的长度，即可求出结果．
【详解】解：丝带需要缠绕的圈数： （圈）
每圈丝带的长度为 ．
最少需要的丝带长度： ．
答：最少需要 的丝带．
【易错必刷四 勾股定理与无理数】
1．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方
以 为边作长方形 ，以点C为圆心， 的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则
点P表示的数是（ ）
A．1 B． C． D．【答案】D
【分析】此题考查勾股定理，根据长方形的性质得到 ，由此 ，利用勾股定
理求出 长度即可．
【详解】连接 ，
∵长方形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P表示的数是 ，
故选：D．
2．（2023上·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ， 在数轴
上，点 表示的数是1，以点 为圆心， 长为半径画弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是
．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出 的长是解题的关键，要理
解数轴上点与实数的对应关系．先根据勾股定理求出 的长，即可得出 的长，再求出点 到原点的
距离，即可得出点 表示的数．
【详解】解： ， ， ，
由勾股定理得 ，
由题意得 ，点 表示的数是1，
点 到原点的距离是 ，
点 在数轴的负半轴，
点 表示的数是 ，
故答案为：
3．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知，如图所示，点 在数轴上，且 ．回答下列问题：
(1)写出数轴上点A表示的数 ；
(2)比较 与 的大小；（写出简要过程）
(3)设点 在数轴上，点 表示的数是 ，且满足 ，如果 是非零整数，直接写出符合条件的N
点有几个？
【答案】(1)
(2)
(3)四个
【分析】本题主要考查勾股定理，数轴上的点所对应的实数，无理数的估算，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）先利用勾股定理求出 的长度，再根据 即可得到 的长度，从而得到A对应的数．
（2）根据无理数的大小比较方法比较即可；
（3）根据（2）的结果求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，∴ ，
（3）∵ ， ，
∴满足 的非零整数有 共四个．
【易错必刷五 用勾股定理解三角形】
1．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在 中， 于点 于点
交于点 ，已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先由勾股定理求出 ，再证 ，得出 ，即可得出答案．本题
考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由 证得 是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵
在 中，由勾股定理得：
在 和 中，，
∴
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ．点D为
外一点，满足 ， ，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】过点A作 ，交 的延长线于点E，从而可得 ，在 中，利用含
的直角三角形的性质及勾股定理可得 ，然后利用 证明 ，从而可得
， ，再利用三角形的外角性质可得 ，从而可得 是等腰直角
三角形，进而可得 ，最后利用线段的和差关系可得 ，从而利用三角形的面积公式
进行计算，即可解答．
【详解】解：过点A作 ，交 的延长线于点E，
∴ ．
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，
含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）如图， ， ， ，垂足分别为D，
E， ， ．
(1)求 的度数；
(2)求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)7【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关
键．
（1）根据条件可以得出 ，进而运用 得出 ，就可以得出 即可
得到结论；
（2）利用（1）中结论，先运用勾股定理求出 长，然后根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）∵ ， ， .
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【易错必刷六 已知两点坐标求两点距离】
1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段 （点B在点A上
面）在y轴上移动， ， ，连接 ， ，则 的最小值为（ ）A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了对称的性质、平移的性质、勾股定理，将 向下平移到 的位置，作点 关于
轴的对称点 ，连接 ， ，则有四边形 为平行四边形，得 ，由
性质得将 的最小值转化为 ，在 中用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：将 向下平移到 的位置，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， ， ， ，
则 ，如下图：
由平移的性质知： ， ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ，
∵ 在 轴上，
∴ 轴，
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
当 、 、 三点共线时， ，此时 最小，即 最小，最小值为
∵ ， ，∴ ，
∴在 中， ，
则 的最小值为 ．
故选：D．
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中， 轴上的点到点 和点 的距
离之和的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点间距离公式，最短路径，解题的关键作出辅助线，熟练掌握两
点间距离公式．作点A关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点C，连接 ，根据轴对称的性质得出
，根据两点之间线段最短，得出当 、 、 共线时， 最小，即 最小，求出
最小值即可．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点C，连接 ，如图所示：
根据轴对称可知， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴当 、 、 共线时， 最小，即 最小，且最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．3．（2023下·七年级课时练习）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标 ，
，其两点间的距离公式为： ，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为
．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴的距离公式可简
化成： 或 ．
(1)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为
________；
(2)线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是________________；
(3)已知A（3，5），B（-2，4），A，B两点的距离为________．
【答案】(1)3
(2)（5，4）或（-1，4）
(3)
【易错必刷七 勾股数问题】
1．（2024上·河南开封·八年级校联考期末）下列是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股数定义，熟记勾股数定义是解决问题的关键．根据勾股数定义：满足勾股定理的三
个正整数被称为勾股数，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、由 可知，该选项三个数是勾股数，符合题意；
B、由 ， 不是正整数可知，该选项三个数不是勾股数，不符合题意；
C、由 不是正整数可知，该选项三个数不是勾股数，不符合题意；
D、由 不是正整数可知，该选项三个数不是勾股数，不符合题意；故选：A．
2．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左
右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生
长”后，生出了 个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．
在“生长”了 次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是根据直角三角形性质得到“生长”规
律，进而求解即可．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为： 、 ，斜边为 ，
∴ ，
∵正方形的边长为 ，
∴ ，
由图 可知，“生长” 次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方
形的面积，
∴所有正方形的面积和为： ，
由图 可知，“生长” 次后，所有正方形的面积和为： ，
∴“生长” 次后，所有正方形的面积和为： ．
故答案为： ．
3．（2022下·八年级课时练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果
已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，
4，5的整数倍，设它的面积为 ，则第一步：求 ，设等于 ；第二步：求 ，设等于 ；第三步：分
别用3，4，5乘以 得三边长分别为 ， ， ．任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
【答案】(1) ， ， ；
(2)能，理由见解析．
【分析】（1）将 ，代入 ，求出 ，然后乘以3、4、5，可求出三边长；
（2）设直角三角形的三边上分别为 、 、 ，求出其面积即可证明结论．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴三边长分别为 ；
验证：∵3，4，5是勾股数，
设三角形的边长分别为 ，
故 ，
∵ ，
∴
或 （舍去），
其边长分别为 ， ， ，
故康熙的“积求勾股法”正确；
（2）解：能，
证明：三边为3､4､5的整数倍，设为 倍，
则三边为 ，而三角形为直角三角形且 为直角边．
其面积 ，，
即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
【点睛】本题主要考查了直角三角形面积的应用，算式平方根的应用，掌握基本概念是求解的关键．
【易错必刷八 以直角三角形三边为边长的图形面积】
1．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）如图，在 中， ， ，分别以 ， 为一
边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出 的平方即为 的值，熟练掌握勾股定理，采用数
形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：在 中，由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
2．（2024上·江苏苏州·八年级统考期末）如图， 中， ，分别以 的边
为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为 ．若 ，则 ．【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形
的面积．先设 ， ， ，根据勾股定理有 ，再根据等式性质可得
，再根据等边三角形的性质，易求而 ，同理可求 ，
，从而可得 ，易求 ．
【详解】解：设 ， ， ，那么
是直角三角形，
，
，
又 ， ， ，
，
， ，
故答案为：4
3．（2024下·全国·七年级假期作业）观察图形，回答下列问题：(1)如图①， 为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为
__________；
(2)如图②，分别以 的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆的面积之间的关系是
__________（用图中字母表示）；
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆．请你
利用（2）中得出的结论求阴影部分的面积．
【答案】(1)24
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得 ，即正方形M的面积
；（2） ， ， ，由勾股定理可知
，所以 ；（3）阴影部分的面积＝两个小半圆的面积和十直角三角形的面积一
大半圆的面积，由（2）可知两个小半圆的面积和＝大半圆的面积，所以阴影部分的面积＝直角三角形的
面积．
【解】（1）24
（2）
（3）设两个小半圆的面积分别为 ， ，大半圆的面积为 ，三角形的面积为S，
则 ．【点拨】与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积
的和等于斜边上图形的面积．
【易错必刷九 勾股定理与网格问题】
1．（2024上·陕西西安·八年级校考期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，
的三个顶点都在格点上， 是 边上的高，则 的长为（ ）
A．5 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，先求出 ，再根据 ，即可得出答案．
【详解】解：根据网格可得： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
2．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）如图所示， 的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格
点上， 于点D，则BD的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜边长为 ，那么．根据题意求出 的面积，根据勾股定理求出 ，根据三角形的面积公式计算，得到答
案．
【详解】解：由图形可知， ， 边上的高为3，
的面积 ，
由勾股定理得， ，
则 ，
解得， ，
故答案为：3
3．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为 的方格纸中，点 、
、 、 均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以 为底边的等腰 （点 在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出 ， ，（点 在小正方形的顶点上），且 的面积为 ，连接 ，
请直接写出 的长
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了勾股定理与网格，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式；
（1）根据网格的特点，以及勾股定理，先求得 的长为 ，根据已知条件可知，三角形的两腰长为
，据此找到 点，使得 ，连接 ，则 即为所求；
（2）根据网格的特点可得 的长为5，根据勾股定理可得 ，根据面积等于 即可确定点 的位置，
进而作出 ；进而根据网格的特点， 都在格点上，根据勾股定理求解即可．【详解】（1）根据网格的特点，以及勾股定理，先求得 的长为 ，
是等腰 ，
，
如图，则 即为所求；
（2）如图， ，
且
即为所求，
连接 ，
【易错必刷十 勾股定理与折叠问题】
1．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，
将斜边 翻折，使点B落在直角边 延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）A．1 B． C．1.5 D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出 ，折叠得到 ，利用 求
出 的长即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ；
故选A．
2．（2024上·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）如图，在直角三角形 中，
，点D是 边上的一点（不与B、C重合），连接 ，将 沿 折
叠，使点C落在点E处，当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理
得到 ，根据已知条件得到当 是直角三角形时， 或 ，
①当 时，则 ，根据折叠的性质得到 ，于是得到 ，
②当 时，根据折叠的性质得到 ， ， ，推出点 在
上，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在 中， ， ，
，
，
，
点 是 边上的一点，
，
当 是直角三角形时， 或 ，
①当 时，则 ，
将 沿 折叠，使点 落在点 处，
，
，
②当 时，
将 沿 折叠，使点 落在点 处，
， ， ，
，
点 在 上，如图，
， ， ，
，
，
，
，
综上所述， 的长为 6或 ，
故答案为：6或 ．
3．（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，长方形 的 边在 轴上， 边在 轴上，
， ，在边 上取一点 ，使 沿 折叠后，点 落在 轴上，记作点 ．(1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______；
(2)求点D的坐标；
(3)求点E关于y轴的对称点 的坐标．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化 对称，解决本题的关键是掌握
折叠的性质．
（1）根据矩形的性质即可解决问题；
（2）根据折叠的性质和勾股定理即可得 的长，进而可得点 的坐标；
（3）根据折叠的性质和勾股定理即可得 的长，可得点 的坐标，进而求解．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴点 的坐标 、点 的坐标 和点 的坐标 ；
故答案为： ； ； ；
（2）解：由折叠可知： ，
在 中，根据勾股定理，得
，
∴点 的坐标 ；（3）解：在 中， ， ，
根据勾股定理，得
，
，
解得 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∴点E关于y轴的对称点 的坐标为 ．
【易错必刷十一 判断三边能否构成直角三角形】
1．（2023上·山东济南·八年级统考期末） 的三边为 、 、 ，且 ，则 是（
）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，用勾股定理逆定理的条件去判断图中三角形是否为直角三角
形即可，熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 ，那么这个三角形是直角三角形是解
题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 是以 为斜边的直角三角形，
故选： ．
2．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）在 中， ， ， 的对边分别为a，b，c，有以下5
个条件：
① ； ② ；③ ； ④ ；
⑤ ．
其中能判断 是直角三角形的是 （填序号）．
【答案】②③④⑤
【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理对选
项一一判定即可．
【详解】解：① ，
设 ，则 ， ，
∵
∴ ，
则 ， ， ，
故①不是直角三角形．
② ，
设 ， ， ，
则 ， ，
则 ，
故②为直角三角形．
③∵ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
故③为直角三角形．
④
化简为： ，
则： ，
故④为直角三角形，
⑤ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故⑤为直角三角形，
故答案为：②③④⑤.
3．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）已知 ， ， （m，n均为正数，且
）．求证：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【答案】证明详见解析．
【分析】考查的是勾股定理的逆定理，完全平方公式，解题关键是掌握勾股定理的逆定理．
根据已知条件求得 和 ，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【易错必刷十二 在网格中判断直角三角形】
1．（2024上·广东广州·八年级统考期末）我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格
中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使 是等腰直角三角形，则满足条件的格
点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，分 为底和 为腰找对应的三角形即可．【详解】解：当 为底时，有 和 ，当 为腰时，有 、 和 ，共有5个，如图，
故答案为：C．
2．（2017下·北京东城·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为 ，则 是
三角形．
【答案】直角
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出 、 、 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出
的形状．
【详解】解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
3．（2024下·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在正方形 网格中，每个小正方
形的边长均为1，已知点 ，点 均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．(1)请在图①中，画出以 为边的正方形 ；
(2)请在图②中，画出以 为底的等腰 ，且 的面积为_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可；
（2）作出等腰直角三角形 即可，证明 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可
求解．
【详解】（1）如图，正方形 即为所求；
（2）如图，等腰 即为所求；
，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 的面积为【易错必刷十三 利用勾股定理逆定理求解】
1．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在四边形 中，
，且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出 ，则可证明
，可以得到 是直角三角形，且 ，再由 进行求解
即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
故选B．2．（2024上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，则四边形 的面积为 （精确到 ．参考数据 ）．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，连接 ，过点B作
于E，先证明 是等边三角形，得到 ，则 ，利用勾股定理得到
，则 ；再利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，
且 ，求出 ，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点B作 于E，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2024上·广东梅州·八年级统考期末）如图所示，在四边形 中， ， ，
， ．
(1)求 的长；
(2)四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用．
（1）利用勾股定理直接计算即可解题；
（2）先利用勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，然后利用 计算即可．【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形且 ，
∴ ．
【易错必刷十四 勾股定理逆定理的实际应用】
1．（2024上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结
把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个
结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是( )
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长
分别为 ，根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为 ，
∵ ，
所以以 为边长的三角形是直角三角形．即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
故选：D
2．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块四边形空地 ，为了美化小区环境，现
计划在空地上铺上草坪，经测量 、 米， 米， 米， 米，若铺一平方
米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．
【答案】11700
【分析】连接 ，先利用勾股定理求出 的长，再用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可求
出四边形 的面积，再求出答案即可．
【详解】解：连接 ，
、 米， 米，
（米），
米， 米，
，
是直角三角形，
四边形 的面积为：
（平方米），
则 （元），
即铺这块空地需要投入11700元，
故答案为：11700．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．3．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，
B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距
150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接
处为中转站D区（接缝忽略不计）．
(1)请判断此平面图形 的形状（要求写出推理过程）
(2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
【答案】(1) 是直角三角形；
(2)甲方案所搭建的传送带较短．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾
股定理的逆定理证出 是直角三角形是解决问题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出 是直角三角形；
（2）由 的面积求出 ，得出 ，即可得出结果．
【详解】（1）解： 是直角三角形；
理由如下：
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ；
（2）解：甲方案所搭建的传送带较短；
理由如下：
∵ 是直角三角形，
∴ 的面积 ，
∴ （m），
∵ ， ，∴ ，
∴甲方案所搭建的传送带较短．
【易错必刷十五 求梯子滑落高度】
1．（2024上·江苏扬州·八年级统考期末）一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角
4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（ ）
A．0m B．1m C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意画出图形，由勾股定理求出 ，则 ，再由勾
股定理求出 的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意画出图形如下：
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
即梯子的底端将滑动 ，
故选：D．
2．（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，一根长度为 的木棒 斜靠在直角墙上，棌低端到
墙的距离 为 ，如果木棒顶端 沿墙下滑 至 ，那么木棒低端 将向外滑动 ．【答案】80
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出 的长即可得出 的长，再根据勾股定理求
出 的长即可得出 的长，即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理得， ，
，
，
，
木棒低端 将向外滑动 ，
故答案为：80．
3．（2024上·四川遂宁·八年级统考期末）我市某中学八年级（3）班两位同学上体育课时在打羽毛球，打
球中途一不小心将羽毛球打落在离地面高6m的树上 处，其中一位同学赶快找老师搬来一架长为 的梯
子，架在树干上，梯子底端在离树干 处 远的 处．另一位同学爬上梯子去拿羽毛球，问这位同学能
拿到吗？（树干宽度忽略不计）
【答案】这位同学能拿到球
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决此类问题的关键是正确的构造直角三角形．根据梯子的长和距
离树干的距离求出树干的高度和6米比较即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ，∴这位同学能拿到球．
【易错必刷十六 求旗杆高度】
1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上
测量旗杆 高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图）
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为9米（如图2）．
根据以上信息，则旗杆 的高度为（ ）
A．10米 B．13米 C．15米 D．17米
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆 的高度为x米，则绳子的长为 米，然后
表示出 ，利用勾股定理建立方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设旗杆 的高度为x米，则绳子的长为 米，
由题意得， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，∴旗杆 的高度为13米，
故选B．
2．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到
离旗杆底端 6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米．
【答案】8
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则绳子长为 米，由勾股定理
可得方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子长为 米，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴旗杆的高度为8米，
故答案为：8．
3．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，小明想要测量旗杆 的高度（已知旗杆直立于地面，即
），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发
现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆 的高度．
【答案】旗杆 的高度为12米．【分析】本题考查了勾股定理的应用．设 ，则 ， ，由勾股定理得
，求得 ，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：设 ，则 ， ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，即 ，
由勾股定理得 （米），
答：旗杆 的高度为12米．
【易错必刷十七 求大树折断前的高度】
1．（2024上·山东泰安·七年级统考期末）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折
抵地，去本四尺，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其
竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（ ）
A． 尺 B． 尺 C．5尺 D．4尺
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，利用勾股定理解题即
可．
【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为 尺，则斜边长为 尺，
根据勾股定理，得 ，
解得 ，∴折断处离地面的高度为 尺．
故选：A．
2．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，一竖直的大树在离地面若干米处折断，树的顶端落在地面
离大树底端12米处，大树折断之前的高度为18米，则折断处离地面的距离为 ．
【答案】5米/
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此建
立方程求解即可．
【详解】解∶如图，
米， 米， ，
∴ 即
解得： 米
故答案为：5米．
3．（2023上·山东济南·八年级统考期中）一棵高8米的大树被折断，折断处A距地面的距离 米
（点B为大树顶端着地处），在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离 为 米，
点D在 的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离 ．
【答案】大树顶端着地处 到小轿车的距离 为 米．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据题意已知 米， 米，然后根据勾股定理求得 米，即可获得答案．
【详解】解：∵在 中， 米， 米，
∴ 米，
∴ 米．
∴大树顶端着地处 到小轿车的距离 为 米．
【易错必刷十八 解决航海问题】
1．（2023上·山东威海·七年级统考期中）周末，小明骑车从家A出发向北偏东 方向骑行了4000米到达
体育公园B，然后又从体育公园出发向南偏东 方向骑行了3000米到达新华书店C．则小明家到新华书
店的距离为（ ）
A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出两次骑行的路程和A、C的距离构成的直
角三角形，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：连接 ，
由题意，知 ， ， ，
∴ ，即小明家到新华书店的距离为5000米．
故选：D．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、
“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东 方向航行，“海天”号
以每小时16 n mile的速度沿北偏西 方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，
则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．
【答案】40
【分析】根据题意可得： 海里， 海里， ，从而可得
，然后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得： 海里， 海里， ，
，
在 中，
，
∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile,
故答案为：40．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）一辆轿车从 地以 的速度向正东方向行驶，同时一辆
货车以 速度从 地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达 走向公路上的 两地．(1)求 两地的距离；
(2)若要从 地修建一条最短新路 到达公路 ，求 的距离．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是：
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）根据等面积法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， ，
∴ ，
即 两地的距离为 ；
（2）解：根据等面积法知： ，
即 ，
∴ ，
即 的距离为
【易错必刷十九 求台阶上地毯长度】
1．（2024上·山西长治·八年级统考期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.
如图，这是一段楼梯的侧面，它的高 是3米，斜边 是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为
（ ）A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为 的和，解题的关键是能熟
练掌握勾股定理以及数形结合的方法；
先根据勾股定理求出 的长，进而可得出结论．
【详解】解： 是直角三角形， ，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为 ，
故选：B．
2．（2022上·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼
梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米
30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【答案】1020
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地
毯的钱数可求．
【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，
则长为： （米），宽为5米，
地毯的长度为 （米），地毯的面积为 （平方米），
购买这种地毯至少需要 （元）．
故答案为：1020．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移
到一条直线上进行计算．
3．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼
道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【答案】1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 与 的和，在直角 中，根据勾股定理
即可求得 的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得 ，
则地毯总长为 ，
则地毯的总面积为 （平方米），
所以铺完这个楼道至少需要 （元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
【易错必刷二十 判断是否受台风影响】
1．（2022上·江西九江·八年级统考期中）如图，铁路 和公路 在点 处交会，公路 上点 距离点
是 ，与 这条铁路的距离是 ．如果火车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，那么火
车在铁路 上沿 方向以 的速度行驶时，点 处受噪音影响的时间是（ ）
A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒
【答案】A
【分析】过点A作 ，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则， ，根据勾股定理求出求出 的长，进而得到 的长，即可得出居民楼受噪
音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作 ，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则
， ，
∵公路 上点 距离点 是 ，与 这条铁路的距离是 ，
∴ ，
∵ ，
∴由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴A处受噪音影响的时间为： ．
故选：A
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，铁路 和公路 在点 处交会，点 到 的直线距离为
．公路 上点 处距离点 处 ．如果火车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，那么火
车在铁路 上沿 方向以 的速度行驶时，点 处受噪音影响的时间为 s．
【答案】16
3．（2023上·山东烟台·七年级统考期末）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，
笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路 的距离 米，若宣讲车P周围100米以内能
听到广播宣传，宣讲车P在公路 上沿由M到N的方向行驶．(1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由．
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．
【答案】(1)学校能听到宣传，见解析
(2)学校A总共能听到2分钟的宣传
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．
（1）根据题意进行判断即可；
（2）根据题意画出图形，利用勾股定理求出 米，然后求出结果即可．
【详解】（1）解：学校能听到宣传．
理由：因为学校A到公路 的距离为60米 米，
所以学校能听到宣传；
（2）解：如图，
假设宣讲车行驶到P点学校开始听到，离开Q点后不再听到，则
米， 米．
所以 （米）．
所以 米，
所以影响学校的时间为 （分钟）．
所以学校A总共能听到2分钟的宣传．【易错必刷二十一 选址使两点距离相等】
1．（2022下·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，
DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使
得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到 ，则
，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得：x＝16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到 是解题的关键．2．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，高速公路上有A，B两点相距 ，C，D为两村庄，已
知 ， ． 于A， 于B，现要在 上建一个服务站E，使得C，D两村
庄到E站的距离相等，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据 于A， 于B， ，列式
，解出 的值，即可作答．
【详解】解：由题意知， ， ， ，
设 ，则 ，
因为 于A， 于B，
所以在 与 中，
由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2023上·山东菏泽·八年级统考阶段练习）两根电线杆 、 ， ， ，它们的底部
相距 ，现在要在两根电线杆底端之间 线段 上 选一点 ，由 分别向两根电线杆顶端拉钢索 、
，若使钢索 与 相等，那么点 应该选在距点 多少米处？
【答案】E点应该选在距B点 的地方．
【分析】首先设 ，则 ，根据勾股定理构建方程，从而得出 的值．【详解】解；由题意可得： ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴
解得：
答：E点应该选在距B点 的地方．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关
键．
【易错必刷二十二 求最短路径】
1．（2024·全国·八年级竞赛）如图是一个长为 ，宽为 ，高为 的仓库，在其内壁的点 （长的四
等分点）处有一只壁虎．在点 （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，长方体的展开图．利用分类讨论和数形结合的思
想是解题关键．分类讨论：①将正面和右面展开，②将正面和上面展开，分别结合勾股定理求出 的长，
再比较即可．
【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C，∴ 为直角三角形，且 ， ，
∴ ，
∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为 ；
②将正面和上面展开，如图，
∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为 ，
∴ ，
∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为 ．
∵ ，
∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为 ．
故选A．
2．（2024上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）棱长分别为 和 的两个正方体如图所示放置，点A，
B，E在同一直线上，顶点G在棱 上，点P是棱 的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到
点P，它爬行的最短距离是 ．【答案】
【分析】本题考查了平面展开图最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
求出两种展开图的 的值，比较即可得出结论．
【详解】解：如图，有两种展开方法：
方法一： ，
方法二： ，
，
故需要爬行的最短距离是 ．
故答案为 ．
3．（2023上·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的
长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一
个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ；(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】(1)图形见解析
(2)两点之间线段最短.
(3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，
解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接 即可；
（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中 等于长方
形地毛毯的宽，根据勾股定理计算 的长即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
