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专题 05 勾股定理易错必刷题型专训（84 题 28 个考点）
【易错必刷一 勾股定理的证明方法】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理
的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级下·四川凉山·期中）如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成的正方形图案．
已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个
说法：① ② ③ ④ ；其中说法正确的有 个．
3．（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解
答下列问题：(1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明 ．
(2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且 ，求小正方形的面积．
【易错必刷二 以弦图为背景的计算题】
4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学
著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如
果小正方形的面积是 ，直角三角形的直角边长分别为 、 ，且 ，那么大正方形的面积为
（ ）．
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼
接而成，记图中正方形 、正方形 、正方形 的面积分别为 ．若 ，
则 的值是 ．6．（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，
斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．
(1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证
明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面
积 两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积 两个直角三
角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理．
(2)当 ， 时，求空白部分的面积．
【易错必刷三 勾股定理与无理数】
7．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知正方形 的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为
．现以点A为圆心，以 的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的
数为（ ）
A． B． C． D．8．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图， 中， ， ， ， 在数轴上，
以点 为圆心， 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 ．若点 在数轴上表示的数为 ，则点 表示
的数为 ．
9．（24-25八年级上·山西临汾·期中）综合与实践
如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．
由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____．
(2)请你参照上面的方法：
①把图3中 的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格
中画出拼成的大正方形，该正方形的边长 _____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数 ．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不
写作法．）
【易错必刷四 勾股数问题】
10．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上
生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，
如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 次后形成的图形中所有的正方
形的面积和是（ ）A．2025 B．2024 C．2023 D．1
11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经
隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与
股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类
勾股数的勾为12，则其弦是 ．
12．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）与直角三角形三条边长对应的3个正整数 ，称为勾股
数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进
一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为 的三边，且
）
表1
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
表2
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
12 35 37
(1)根据表1中的规律，当 时， ______， ______．(2)仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______， ，b，c之间的数量关系是
______．
(3)我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与
表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在 中，当 ，
时，求直角边b的值．
【易错必刷五 以直角三角形三边为边长的图形面积】
13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、2、4，则最大正方形E的面积是（
）
A．64 B．136 C．72 D．16
14．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图， 中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，
面积分别记为 、 、 ，若 ，则阴影部分面积为 ．
15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助
这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多
都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．(1)如图1，在 中， ，以 的三边长向外作正方形，
其面积分别为 ，直接写出 之间存在的等量关系：______
(2)如图2，在 中， ，以 的三边长为直径向外作半
圆，其面积分别为 ，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由．
【易错必刷六 勾股定理与网格问题】
16．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图， 的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，
于点D，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．
17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知在6×6的网格中（每个小正方形的边长为1），A、B两
点都在格点（小正方形的顶点）上。请在图中找一点C，使 为等腰三角形，此时腰长为 ．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）请你在图1中画一个边长为 的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上；
（2）如图2，面积为7的正方形 的顶点A在数轴上，且点A表示的数为 ，若点E在数轴上，（点
E在点A的右侧）且 ，则点E所表示的数为 ；
（3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示 和 ．
【易错必刷七 勾股定理与折叠问题】
19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ．将 折
叠，使点 与边 的中点 重合，折痕为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C．2 D．
20．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图将长方形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上
处，已知 ，则 ．
21．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，纸片 为长方形纸片，把纸片 折
叠，使点B恰好落在 边上的E处，折痕为 ．已知 ， ．(1)求 的长．
(2)求 的长．
【易错必刷八 利用勾股定理求两条线段的平方和】
22．（24-25八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（
）
A．6 B．9 C．12 D．18
23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线 交于点O．若 ，
， ，则 ．
24．（23-24七年级下·全国·假期作业）在 中， ．若 ，则 ．
【易错必刷九 利用勾股定理证明线段平方关系】
25．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形 ，对角线 交于点 ．若 ， ，则 等于（ ）A． B． C． D．
26．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形 中， ，分别以四边形的
四条边为边向外作正方形，面积分别为 ，若 ，则 （ ）
A．184 B．86 C．119 D．81
27．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ，分别以 、 、 为边向
外作正方形，面积分别记为 、 、 ，若 ， ，则 ．
【易错必刷十 用勾股定理构造图形解决问题】
28．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地
米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生 正对门，
缓慢走到离门1.2米的地方时（ 米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 等于（ ）A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏
板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索
长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 长度为1尺．将它往前
水平推送10尺，即 尺，则此时秋千的踏板离地距离 就和身高5尺的人一样高．若运动过程中
秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 长为 尺．
30．（23-24七年级上·山东威海·期中）有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度
，将秋千往前水平推送 （水平距离 ）时，踏板离地面的垂直高度为 （
）．求绳索 的长度．
【易错必刷十一 已知两点坐标求两点距离】
31．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，从点 发出一束光，经 轴反射，过点 ，则这
束光从点 到点 所经过的路径的长为（ ）A． B． C． D．
32．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、点 ，连接 ，点
D是x轴上一点，若 是以 为底边的等腰三角形，则D点的坐标为 ．
33．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点 ，
，则该两点间距离公式为 ，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线
平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成 和 ．
(1)若已知两点 ， ，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为 ，试求M，N两点
间的距离．
【易错必刷十二 用勾股定理解三角形】
34．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形 中，点 是 的中点， ，则
的长是（ ）A． B． C． D．
35．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知 中， ，点 在底边 上，
， ， ．若 ，则 的长为 ．
36．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 中， ，点 在 上，
， ，垂足分别为 、 ，且 ．
(1)求证： 是 的中点；
(2)若 ， ，求 的面积．
【易错必刷十三 判断三边能否构成直角三角形】
37．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A． B．
C． D．
38．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ．
39．（24-25八年级上·浙江杭州·期中） 的三边长分别是a、b、c．且 ， ，
， 是直角三角形吗？证明你的结论．
【易错必刷十四 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
40．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在 方格中作以 为一边的 ，要求点C也在格
点上，这样的 能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
41．（24-25八年级·上海静安·课后作业）已知A( ， )，B(4， )，C(1，2)，判定 ABC的形状．
42．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，
AC＝20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
【易错必刷十五 利用勾股定理的逆定理求解】
43．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在 中， ， ， ，
点 是 外一点，连接 ，且 ．求 的度数．44．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点 、 是直线 上两点，且 ，在线段
上取一点 ，经测量， ．
(1) 长是否为点 到直线 的最短距离？请说明理由；
(2)求点 和点 的距离．
45．（2024八年级上·辽宁·专题练习）如图，在 中， 于 ．
(1)求 的值；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【易错必刷十六 勾股定理逆定理的实际应用】
46．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某
小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形 进行改建，将四边形 全部铺设具有耐磨性
和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形 中， ， 米， 米， 米，
米．(1)求 的长度；
(2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形 地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运
动型塑胶地板的费用需要多少元？
47．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄 ，河边原有两个取
水点 、 ，其中 由于某种原因，由 到 的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新
建一个取水占 在同一条直线上），并修建一条路 ，测得 千米， 千米，
千米，
(1)问 是不是村庄 到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
48．（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中
学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 ）用来种植蔬菜和花
卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长 的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，
花卉区的 边长 ， 边长12m，蔬菜区的 边长 ， ．
(1)求蔬菜区边 的长；
(2)求花卉区的面积．
【易错必刷十七 求梯子滑落高度】49．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子
斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为0.7米，梯子顶端到地面的距离 为2.4米．如果保持梯
子底端位置（点B）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离 为1.5米．求这两面直立墙壁之
间的安全通道的宽 ．
50．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，一架5米长的梯子 斜靠在竖直的墙上，这时底端
到墙角 的距离为3米．
(1)此时，这架梯子的顶端 距离地面有多高？
(2)如果梯子的顶端 沿墙向上移动 米，则底端 向内移动多少米？
51．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同
学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如
下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离 米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度 米，
最后测量放风筝的小康同学的身高 米【数据应用】
当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点 ， ， ， 在同一直线上．
(1)求此时风筝的垂直高度 ．
(2)若站在点 不动，想把风筝沿着 的方向从点 的位置上升18米到点 的位置，则还需要放出风筝
线多少米？
【易错必刷十八 求旗杆高度】
52．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面 于点 ，在主梁上的点 拉两条斜拉
索 ， ，经测量， ， ， ，求主梁上的点 到桥面 的高度 ．
53．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与实践
笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下：
课题 测量旗杆的高度相关问题探究
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
测量工
皮尺，绳子
具①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端 的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆
底端重合；
示意图
及测量 ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从 处后退，将绳子拉直时，其末端恰好
数据 落在宣传栏上的点 处．此时测得点 到地面的距离 为2米， ， 两
点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）．
提出问
根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？
题
如右图，过点 作 于点 ．根据题意得 米， 米．……
解决问
题
请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程．
54．（24-25八年级上·山西临汾·期末）项目化学习
项目主题：测量风筝离地面的垂直高度．
项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，
研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开
项目化学习．
研究步骤：
1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点 为风筝所在的位置， 为牵线放风筝的手到
风筝的水平距离， 为风筝线的长度， 为风筝到地面的垂直距离．
2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得 长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的
长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离 为1.5米．问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务：
(1)在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度 ．
(2)如图2，若想要风筝沿 方向再上升8米到达点 ，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线 方向前
进多少米？
【易错必刷十九 求小鸟飞行距离】
55．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，
两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少
要飞行多少米？
56．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m
的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速
度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
57．（23-24八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶
正上方 处，过了 秒，飞机距离这个女孩头顶 ，则飞机每秒飞行了 ．
【易错必刷二十 求大树折断前的高度】
58．（24-25八年级下·江西赣州·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中
记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．
59．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高 ，倒下后树干顶
部离根部距离 ，求树折断处与地面的距离（即 的长）．
60．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】
如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正
方形的面积如下：
A B C
图（1） 4 4 8
图（2） ______ 9 13
图（3） 9 ______ 34
（1）在表格中的横线上填空．
【提出问题】（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长
为c，写出a，b，c之间的数量关系：______．
【解决问题】
（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：
一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？
【易错必刷二十一 解决水杯中筷子问题】
61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面
直径是 ，内壁高 ．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是 ，求这支铅笔的长度是多少 ？
62．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为 ，杯高
，点 ，点 在内部底面圆上，线段 经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点 处，
并让吸管经过点 （按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出 长的吸管，问至少需要制作
多长的吸管？
63．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇 生长在它
的中央，高出水面部分 为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰
好碰到岸边的 ，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？【易错必刷二十二 解决航海问题】
64．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点 出发，沿北偏东 方向
走了 到达点 ，然后再沿北偏西 方向走了 到达目的地点 ，求 两点间的距离．
65．（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，
B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时
的速度沿北偏东 的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东 的方向向B地出发，2
小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离 ．
66．（23-24八年级下·湖南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏
西 方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西 方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A
港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于 小时才符合航
行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
【易错必刷二十三 求河宽】
67．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一
点 ，再在河一侧岸边选定点 和点 ，使 ，测得 米， ，根据测量数据可计
算小河宽度 为（ ）
A． 米 B．20米 C． 米 D． 米
68．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点
C偏离了想要到达的B点 （即 ），其结果是他在水中实际游了 （即 ），
则该河 处的宽度是 ．
69．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某
水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告．活动课题 测量某水潭的宽度
测量工具 测角仪、测距仪等
如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测
量小组在与 垂直的直线l上取点C（ 于点A），用测距仪测得 、 的长
测量过程
及示意图
测量数据 米， 米
…… ……
请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度 ．
【易错必刷二十四 求台阶上地毯长度】
70．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则
楼梯斜面 长为（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
71．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13
米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米．
72．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全
盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知 ， ， ．(1)求 的长；
(2)若已知楼梯宽 ，需要购买多少 的地毯才能铺满所有台阶．
【易错必刷二十五 判断汽车是否超速】
73．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过 ．如图，一辆小汽
车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处，过了 后，
测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换： ）
74．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上
行驶速度不得超过 ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面
车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间距离 为 ，这辆小
汽车超速了吗？（参考数据转换： ）
75．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条
长度均为100米的小路 、 通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米．(1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路 （点D在l上），使得学生从学校走到
公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出 ）?并计算新路 的长度．
(2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实
验中学A处170米．一辆汽车经过 区间共用时21秒，若此段公路限速为 （约 ），请判
断该车是否超速，并说明理由．
【易错必刷二十六 判断是否受台风影响】
76．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，两条公路 、 交于点 ，在公路 旁有一学校 ，与 点的
距离为 ，点 （学校）到公路 的距离 为 ，一大货车从 点出发，行驶在公路 上，汽车周
围 范围内有噪音影响．
(1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
(2)若汽车速度为 ，则学校受噪音影响多少秒钟？
77．（24-25八年级上·江西吉安·期末）2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影
响．据报道，台风风力影响半径为 （即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风影
响）．如图，线段 是台风中心从 市向 市的大致路线， 是某个大型农场，且 ．若 ，之间相距 ， ， 之间相距 ．判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由．
78．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区
受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即距离台风中心小于或等于
区域内都会受台风影响）．如图，线段 是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方
向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段 上，南通市记为点
A，且 ．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由．
(2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为 ，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？
【易错必刷二十七 选址使到两地距离相等】
79．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上 、 两站相距 ， 、 为两个村庄，
， ，垂足分别为 、 ，已知 ， ，现在要在铁路 上修建一个中
转站 ，使得 到 、 两村的距离和最短．请在图中画出 点的位置，并求出 的最小值．
80．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面
建成小康社会的目标，我市准备在铁路 上修建一个火车站E，以方便铁路 同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路 的距离 ，D城到铁路 的距离 ， ，经市
政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求 、 各是多少．
81．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀
山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为
25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且 于A， 于B．已知 ，
，现在小明要在直线 上找到地点E，使得：
(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少 处？
(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少 处？并求出
的最短距离．
【易错必刷二十八 求最短路径问题】
82．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂
蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈到达点 ，若蚂蚁的爬行速度为 内蚂蚁能否爬到点 ？83．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作：
（1）如图1，把矩形 卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合；
探究与发现：
（2）如图2，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作
装饰，则这条丝线的最小长度是多少？
（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝
线？
84．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为
的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是
一个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接 ．
(1)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是______；
(2)问题解决：求出这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
