文档内容
专题 05 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、长方形中折痕过对角线模型................................................................................................................3
类型二、长方形中折痕过一顶点模型................................................................................................................7
类型三、长方形中折痕过任意两点模型..........................................................................................................11
类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型......................................................15
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型....................................................................................17
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型......................................................20
压轴能力测评（12题）....................................................................................................................................23
解题知识必备
1. 长方形中折痕过对角线模型
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
2. 长方形中折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3： AEF是等腰三角形。
3. 长方形中折痕过任意两点模型
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。
4. 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
5. 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.6. 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
压轴题型讲练
类型一、长方形中折痕过对角线模型
例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿 折叠长方形纸片 ，点D落到点E处， 交
于点F，若 ， ，则 ．
【变式训练1】如图，在长方形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC
交于F， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．6
【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，把一个长方形纸片 放入平面直角坐标系中，使 分别落在x轴，y轴上，连接 ，将纸片 沿着 折叠，使点A落在 的位置上，若
，则点 的坐标是 ．
【变式训练3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形 中， ，
， ．点 为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
类型二、长方形中折痕过一顶点模型
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与
对角线 重合，点B落在点F处，折痕为 ，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【变式训练1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线
上，折痕为 ，且D点落在对角线上 处，若 ，则 的长为（ ）A． B．3 C．1 D．
【变式训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．
现折叠该纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ．
【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形 中，
．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
类型三、长方形中折痕过任意两点模型
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸
片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( )A．6 B．10 C．24 D．48
【变式训练1】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使顶点C恰好
落在 边的中点 上．若 ， ，求 的长．
【变式训练2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形 中 ，边 ，
．将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处．
(1)证明 ；
(2)求 的面积．
【变式训练3】（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，
使其对角顶点 与 重合， 与 重合．若长方形的长 为 ，宽 为 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长；
(3)求阴影部分 的面积．
类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块 的纸片， ， ，
，将 沿 折叠，使点 落在 上的 处，连接 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【变式训练1】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，
， ，将斜边 翻折，使得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形 纸片， ， ，
．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ）A． B． C． D．
【变式训练1】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ，
．将 按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长．
【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点
处，求 的长．
【变式训练1】（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ， ．将 折
叠，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，则线段 的长为（ ）A． B． C．5 D．4
【变式训练2】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将
它的锐角 翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为
（ ）
A．3 B．4 C． D．
【变式训练3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在 中， ， ， ，
分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ．
(1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长．压轴能力测评（14题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片 沿着 折叠，点 落在 边上的点
处，已知 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图， 纸片的两直角边长分别为3和4， ，折叠
，使B、C两点重合，折痕为 ，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形 中， ， ，将此长方形
折叠，使点B与点D重合，折痕为 ，则 为长度的（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片 中， ，点 分别在边
上，且 ，将 沿 折叠，使点A落在边 上的点F处，则 （ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，折叠长方形 一边 ，使D落在 边的点F处，已知
， ，则 的长 ．
．
6．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，
，将 沿直线 折叠，使得点A落在点D处， 与 交于点E，则
．
7．（22-23八年级上·浙江舟山·期末） 如图，在三角形纸片 中， ， ， ，点
E在线段 上，将 沿着 折叠， 的对应边 刚好过点B，则 的长 ．
8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在直角三角形纸片 中， ， ， ，
是 的中点， 是 上的一个动点，将三角形纸片 沿 折叠，连接 ，当 是直角三
角形时， 的长为 ．三、解答题
9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形 沿直线 折叠（点
E在边 上），折叠后顶点D恰好落在边 上的点F处，若点D的坐标为 ．
(1)写出点F的坐标．
(2)求 的长．
10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片 沿 折叠后，点D与点B重合，点
C落在点 的位置．
(1)若 ，则 ______ ， ______ ；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)若 ， ，求 的面积．
11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片 的一边 沿着 向下折叠，使点
落在边 上的点 处．
(1)试判断线段 与 的关系，并说明理由；(2)若 ， ，求 的长；
(3)如图2，取 的中点 ，连接 ， ，若 ，求证： ．
12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践．
课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在 中， ，点
D、F分别是 上的一点，连接 ．
(1)如图1，将 沿直线 折叠，点B恰好与点C重合，则CF________ （填“ ”、“ ”或“
”）；
(2)如图2，将 沿直线 折叠，点B落在 的中点E处，若 ， ，求线段CD的长；
(3)如图3，将 沿直线 折叠，点B落在 延长线上的点E处， 平分 ，求 的度数．
13．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在等腰三角形 中， ， ，点O为
的中点，点D是线段 上的动点（点D不与点O，B重合），将 沿直线 折叠得到 ，
连接 ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ，则 ；
(3)若 是等边三角形，请直接写出 的值．
14．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在 中， ，点P为斜边 上一动点，将
沿直线 折叠，使得点B的对应点为 ．(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，连接 ，若 ，且 ，求出 的值；
(3)如图3，连接 ，若 ，是否存在点P，使得 ，若存在，直接写出 的值，若不
存在，说明理由．
