文档内容
专题 02 三角形全等模型之倍长中线与截长补短
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、三角形全等模型之倍长中线模型........................................................................................................2
类型二、三角形全等模型之截长补短模型........................................................................................................8
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................14
解题知识必备
1. 倍长中线模型
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2，C为AB的中点.
证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则 ;
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点.
2. 截长补短模型
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
压轴题型讲练
类型一、三角形全等模型之倍长中线模型
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在
中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 到 ，使 ，请补充完整证明“
”的推理过程．
(1)求证：
证明：延长 到点 ，使
在 和 中
（__________）
请补齐空白处
(2)由（1）的结论，根据 与 之间的关系，探究得出 的取值范围是__________；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，求
的长．
【变式训练1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图， ， ， ．回答下列问题：
(1)求证： 和 是兄弟三角形．
(2)取 的中点 ，连接 ，试说明 ．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线
（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造 ，并证明 ．
②求证： ．
【变式训练2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何
问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
(1)如图①， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使 ，连接 ．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到 ，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得 的取值范围是______（直接填空）；
(2)如图②，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，若
为 的中线，猜想 与 的数量关系并说明理由．
类型二、三角形全等模型之截长补短模型
例题：（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于点O，求证： ．
【变式训练1】（20-21八年级上·北京·期中）在四边形 中，点C是 边的中点．
(1)如图①， 平分 ， ，写出线段 ， ， 间的数量关系及理由；
(2)如图②， 平分 ， 平分 ， ，写出线段 ， ， ， 间的数量
关系及理由．
【变式训练2】（21-22七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中， ， ， ，E、F分别是BC、CD上
的点，探究当 为多少度时，使得 成立．
小亮同学认为：延长FD到点G，使 ，连接AG，先证明 ，再证明
，则可求出∠EAF的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中， ， ，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF
与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有 成立，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，在正方形ABCD中， ，若 的周长为8，求正方形ABCD的面积．压轴能力测评（10题）
一、填空题
1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示，在 中， ，则 边上的中线 的长
取值范围是 ．
2．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图， 中， 为 的中点， 是 上一点，连接 并延长
交 于 ．若 ， ， ，那么 的长度为 ．
二、解答题
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知 是 的中线，且 ．求证：
．4．（18-19八年级上·辽宁抚顺·期末）如图， 交 于 ，交 于 平分 平分
，直线 经过点 并与 分别交于点 ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出 三条线段的数量
关系．
5．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在 中，若 ， ， 为 边上的
中线，求 的取值范围；
（2）如图②，在 中，点D是 的中点， ， 交 于点E， 交 于点F，连接
，判断 与 的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F，点E是 的中点，若 是
的角平分线．试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明．6．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图 ， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围 小红在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长 到点 ，使 ，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到 的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得 的取值范围是______；
A． B． C． D．
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集合到同一个三角形中 完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解
答．
如图 ，在 中，点 在 上，且 ，过 作 ，且 求证： 平分 ．
7．（23-24七年级下·四川成都·期中）在 的高 、 交于点 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，求 的度数；
(3)如图2，延长 到点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，当 时，探究线段 、
、 的数量关系，并证明你的结论．8．（23-24八年级上·福建福州·期中）【探究与发现】
（1）如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ．连接 ．求证： ．
【变式与应用】
（2）如图2，若 ， ，试求出 的中线 的长的取值范围．
【理解与感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和
所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3， 是 的中线， 与 均为等腰直角三角形， ．试探究
线段 与 的数量和位置关系，并加以证明．
9．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践
问题提出
如图1，在 中， 平分 ，交 于点D，且 ，则 ， ， 之间存在怎样
的数量关系？并说明理由．
方法运用
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长 至点E，使得 ，连接 ，
……，请判断 ， ， 之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在 上截取线段构造全等三角形来
解题．如图3，在线段 上截取 ，使得 ①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画
出辅助线．
延伸探究
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形
中， ， ， ，若 ，求 的度数．
10．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， 中，
若 ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
如图1所示，延长 到点 ，使 ，连接 ．请根据小明的思路继续思考：
(1)由已知和作图能证得 ，得到 ，在 中求得 的取值范围，从而求得
的取值范围是______________．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系；
(2)如图2， 是 的中线， ，试判断线段 与 的数量
关系，并加以证明；
(3)如图3，在 中， 是 的三等分点．求证： ．
