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九年级上学期期末真题 7 大压轴考法专练
题型一：二次函数........................................................................................................1
题型二：圆..................................................................................................................30
题型三：相似三角形..................................................................................................40
题型四：旋转..............................................................................................................61
题型五：反比例函数..................................................................................................74
题型六：最值问题......................................................................................................84
题型一：二次函数
1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）抛物线 的对称轴为 ，与 轴的一
个交点 在点 和 之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ）
① ；② ；③若 是方程 的两个根，则 ；④图象
上有两点 和 ，若 ，且 ，则一定有 ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出 的符号，即可判断
①；由x=1时， ，即可判断②；画出函数 的图象，根据图象可判断③；根据二次函数性质可判
断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ，与 轴的一个交点 在点 和 之间，
∴抛物线与 轴的另一个交点 在点 和(1,0)之间，∴抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线与 轴的另一个交点 在点 和(1,0)之间，
∴x=1时， ，
即 ，
∴ ，故②正确；
由方程 得， ，
画函数 的图象如下，
由图象可知，直线 与抛物线 相交于两点，交点横坐标满足 ，故③正
确；
∵抛物线开口向下，图象上有两点 和 ，对称轴为 ， ，且 ，
∴点Q(x ,y )在对称轴 右侧，
2 2
当 时, 在抛物线x=-1的右侧， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
当 时，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，
∵ ,
∴ ，
又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大，
∴ ，
∴图象上有两点 和 ，若 ，且 ，则一定有 ，
故④正确；
∴结论正确的有 个，
故选： ．2．（24-25九年级上·北京·期末）如图，抛物线 与x轴交于点 和点B，对称轴
为直线 ，下列结论： ； ； ； 当抛物线沿着y轴向下平移1个单位
长度就可能经过点 其中正确的结论为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌
握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点
的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：①由抛物线的开口向下知 ，
对称轴位于 轴的右侧
抛物线与 轴交于正半轴，
故 错误；
②对称轴为直线 ，得 ，
故 错误；
③抛物线 与x轴交于点 ，
，即 ，
故③错误；
④抛物线 与x轴交于点 和点B，对称轴为直线 ，
，
设二次函数关系式为 ，抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为 ，
当 时， ，
抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点
故④正确；
综上所述，正确的结论为：
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图、已知二次函数 的对称轴为直线 ，与x轴的
一个交点为 ，与y轴的交点为 ．
(1)求m的值：
(2)求二次函数的解析式；
(3)已知点 是二次函数 图象上两点．且 ，当 时，求 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上的点的
坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）令 ，求出y的值，即得出m的值；
（2）由二次函数的对称轴和经过点 ，即得出方程组，求解即可；
（3）将点 代入（2）所求解析式，结合 和 ，即 ，求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，即 ；（2）解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴ ，解得： ，
∴该二次函数解析式为 ；
（3）解：将点 代入二次函数 ，
得： ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （ 、 是常数）
与 轴的两个交点分别为 、 ．点 是 轴上一点，过点 作 轴的垂线交抛物线于
点 ，点 是线段 的中点，当点 和点 不重合时，以 为边，在 的右侧作矩形 ，且矩形
的边 的长为3．
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)当 时， 的取值范围是______；
(3)当矩形 同时有两个顶点落在此抛物线上时，求 的值；
(4)当此抛物线在矩形 内部的点的纵坐标 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 的值为 或 或(4)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据矩形的性质求线段长、特殊四
边形(二次函数综合)
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）由 可知二次函数开口向上，顶点坐标为 ，结合对称轴分别求出当
和 时y的值，然后结合二次函数的图像可求出答案．
（3）由题意知点 ， ， ，分情况讨论：当P、Q落在抛物线上，
根据 ，结合对称轴列等式求解；当P、N落在抛物线上，N点坐标为 ，根据
列关系式求解即可；
（4）由（3）知，当 时，抛物线在矩形 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小；当 和
时，抛物线在矩形 内部没有点；当 时，点P、点D、点M和点B重合，即可求得解得．
【详解】（1）解：把 、 代入 ，
可得出 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：∵ ，
∴二次函数开口向上，顶点坐标为： ，
当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴当 时， 的取值范围是 ；
（3）解：∵ ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，
∴ ，
∵点 是线段 的中点，
∴ ，
当P、Q落在抛物线上时， ，则P、Q关于对称轴 对称，故Q点的横坐标为： ，
由对称性可得 ，
解得： ；
当P、N落在抛物线上时，
∵以 为边，在 的右侧作矩形 ，
此时N点坐标为 ，
从而可得 ，
即
解得 ， ，
综上，当矩形 同时有两个顶点落在此抛物线上时， 的值为 或 或 ；
（4）解：由（3）知，当 时，抛物线在矩形 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小；
当 时，抛物线在矩形 内部没有点；
当 时，点P、点D、点M和点B重合，抛物线在矩形 内部没有点；
当 时，抛物线在矩形 内部没有点；
故当 时，抛物线在矩形 内部的点的纵坐标 随 的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数的区间最值、矩形的性质和
函数值的结合以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质和矩形的结合．
5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，抛物线 过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，点C关于抛物线 对称轴的对称点为E点，连接 ，直线 与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当 和 相似时，求点P坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为 或
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、判断三边能否构成直角三角形、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得到方程组，求出解即可；
（2）先求出点B，C，D的坐标，进而得出线段长，再说明 是直角三角形，根据正切的定义得出答
案；
（3）先确定点B，E的坐标，进而求出直线 的解析式，可分两种情况进行解析，
① 时，点P在x轴上，根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，求出点P的坐标；
② 时，求出 ，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案.
【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入抛物线表达式．
可得 ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
.
，
．
，
，
，
是直角三角形， ，
；
（3）解：∵点C关于抛物线 对称轴的对称点为E点， 的对称轴为直线 ，
.
又 ，
可设直线 的解析式为 ，将点B、E的坐标代入，得 ，
解得 ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
；
由（2）知 是直角三角形， ，
若 和 相似，可分两种情况进行解析：
① 时，点P在x轴上，
，
，
，
，
和 相似，
；
② 时，
，
.
和 相似，
，
，解得 ，
∴点 的纵坐标为 ，
．
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定，
求一次函数的关系式，注意分情况讨论，不能丢解．
6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点 和点
，点 ， ，与抛物线交于点 ．连结 、 ．
(1)直接写出 的长度为_________．
(2)求 的长度．
(3)求这个二次函数的表达式．
(4)如图②，点 从点 出发，沿射线 向点 运动；同时，点 从点 出发，沿射线 向点 运动，两
点运动的时间为 秒，速度均为1个单位长度/秒，当点 到达终点时，点 也随之停止运动．作
轴，交 于点 ．当直线 垂直于 的一条边时，直接写出 值．
【答案】(1)3
(2)5
(3)(4)当 或2时，直线 垂直于 的一条边；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、用勾股定理解三角形、相
似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，待定系数法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确进行
分类讨论是解答本题的关键.．
（1）由点O和点B的坐标得出抛物线的对称轴，从而求出点C的坐标，可得 的长；
（2）由两点间距离公式可求出 ；
（3）设抛物线的解析式为 ，把点A、B的坐标代入，求出 的值即可；
（4）分 和 两种情况结合相似三角形的性质讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
又 轴，且 ，点 与点 关于 对称，
∴ ，
∴ ；
故答案为：3；
（2）解：∵ ， ，
∴ ；
（3）解：∵二次函数的图象经过原点 和点 ，点 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 ， 代入解析式得， ，
解得，
∴抛物线的解析式为 ；
（4）解：设直线 的解析式为
把 ， 代入解析式得 ，解得，
∴直线 的解析式为
当 时，延长 交 于点 ，过点 作 轴，如图，
则
∴
又 ，
∴
∴
根据题意得，
∴ ，
解得， ；
当 时，
∵ 轴， 轴，则 在同一直线上，如图，
∴
∴又 ， ，
∴ ，
解得， ，
综上，当 或2时，直线 垂直于 的一条边
7．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图1，抛物线 经过 、 两点，与x轴
交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使 面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)如图3，若抛物线的对称轴 （E为抛物线顶点）与直线 相交于点F，M为直线 上的任意一点，
过点M作 交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点M
的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)能， ， ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】（1）将 、 的坐标代入解析式，即可求解；
（2）用待定系数法求出直线 的解析式为 ，过点P作 轴，交直线 于Q，设
，则 ，由 ，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）由二次函数的顶点式求出 ，由直线解析式求出 ，过点M作 ，交直线于M，设 ，则 ，当 与 平行且相等时，四边形 是平行四边形，
可得 ，解此方程即可求解．
【详解】（1）解：依题意，有： ，
解得 ，
抛物线的解析式： ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
如图，过点P作 轴，交直线 于Q，
设 ，则 ，
∴
；
；
，
当 时， 取最大值，，
；
（3）解：存在；
抛物线
，
，
当 时， ，
，
，
如图，过点M作 ，交直线 于M，
设 ，
则 ；
；
当 与 平行且相等时，四边形 是平行四边形，
，
当 时，
解得： ， （不合题意，舍去），
当 时， ，，
当 时，
解得： ， ，
同理可求： ， ，
综上所述，存在平行四边形， ， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，能熟练利用二次函数的性质进行求解是解题的关键．
8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求此抛物线的表达式．
(2) 是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当 的面积最大时，求此时点 的坐标及 的面积．
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ， 的面积为
(3) 或 或 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】（1）把点 代入抛物线 中可得 的值，从而可得抛物线的解析式；
（2）过点Q作x轴的垂线，交 于点M，求出直线 的解析式，设 ，则 ，
求出 ，根据 的面积为 列关系式，再利用二次函数的性质即可解答；（3）先求出抛物线的对称轴为x=1，设 ，再求出 ，由等腰三角形性质，分情况讨论：
①当 时；②当 时；③当 时，从而可以解答．
【详解】（1）解：把点 代入抛物线 中，
得： ，
解得：
抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图，过点Q作x轴的垂线，交 于点M，
抛物线 中，令 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大，最大面积为 ，
此时 ， 的面积为 ；
（3）解：∵抛物线 的对称轴为 ，
设 ，∴ ，
①当 时，
则 ，
解得： ，
此时， 三点共线，不存在 ；
②当 时，
则 ，
解得： ，
∴点 的坐标为 或 ；
③当 时，
则 ，即 ，
解得： ，
∴点 的坐标为 或 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，二次函数与问题的问题，等腰三角形的性质，
熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．
9．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 ，且与y轴交于点 ，点D是直线
上方抛物线上的点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点E是y轴上任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，则点E的坐标为_______；
(3)当 时，求点D的坐标；
(4)在（3）的条件下，在x轴上存在一点F，则 最小值为_______，此时点F的坐标为_______．
【答案】(1)(2) 或 或
(3)
(4)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离、面积问
题(二次函数综合)
【分析】（1）设二次函数的表达式为 ，再将点 代入求出 的值即可；
（2）根据等腰三角形的性质，分别分为 和 两种情况讨论即可；
（3）设 ，过 作 轴交 于 ，设直线 为 ，用待定系数法求出
直线 的表达式，再得出 ，根据 求出 即可；
（4）找出点 关于 轴的对称点，由 共线时， 最小，即可得出结论．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点 ，
且与y轴交于点 ，
设 ，
将点 代入得 ，
即 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ．
（2）设 ， ，
∵ 是以 为腰的等腰三角形，
当 时， ，
∴ 或 ，
或
∴ 或 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
其中 与 点重合，
∴ ，点 ，综上所述， 或 或 ．
（3）设 ，过 作 轴交 于 ，
设直线 为 ，
将 代入得，
，解得 ，
∴直线 为 ，
∴ ，
，
∴
，
∵ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ， ，
∴点 ．
（4）取 关于 轴的对称点 ，∴ ，
连接 交 轴于点 ，
此时 ，
∴ ，
∴ ，即 最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
设 所在直线的表达式为 ，
则 ，解得 ，
∴ 所在直线的表达式为 ，
当 时，得 ，
解得 ，
∴F(1,0)．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质、二次函数的应用—面积问题，熟练掌握
二次函数的性质是解此题的关键．
10．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：顶点为A的抛物线 过点 和 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线 交x轴于B；交抛物线于C，D两点（点C在点D的左侧），
①若 的面积是 面积的两倍，求k的值；
②以 为直径作 ，若 与直线 所截的弦长 恒为定值，求t的值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用垂径定理求值、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）①根据抛物线的解析式，求出 点坐标，根据 ，当 时， ，得到 ，联
立两个解析式，得到 ，求出 ，设 点的横坐标为 ， 点的横坐标
为 ，根据 的面积是 面积的两倍，得到 ，求解即可；
②设 ， 根据 为直径，得到 点坐标，过点 作 轴，延长 交 于点 ，得
到 ，垂径定理，得到 ，求出 ，勾股定理得到 ，化简得到
，根据 是定值，得到 的值与 的值无关，求解即可．
【详解】（1）解：∵顶点为 的抛物线 过点 和 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）①∵ ，
∴ ，
∵ ，当 时， 时，
∴ ，
∴ 轴， ，
联立 ，整理，得： ，
∴ ，
设 点的横坐标为 ， 点的横坐标为 ，
∵点 在点 的左侧，则： ，
∴ ， ，
∵ 的面积是 面积的两倍，
∴ ，
∴ ，
∴ ，整理，得： ，
解得： ；
②如图，直线 与 交于 ，设 ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
过点 作 轴，延长 交 于点 ，
∵直线 平行于 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵ 为定值，
∴ 为定值，
∴ 且 ，
∴ ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理及圆的性
质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题．
11．（24-25九年级上·天津南开·期末）抛物线 （ 为常数， ）的顶点为 ，抛物线
与 轴相交于 和 两点，抛物线与 轴相交于点 ．
(1)若 ，点 在抛物线上，设点 的横坐标为 ，且 ．
①求抛物线的解析式和顶点 的坐标；
②若 的面积与 的面积相等，求 的值；
(2) 和 是 轴上的两动点，当 的最小值为 时，直接写出 和 的值．
【答案】(1)① ， ；② ，或 ，或
(2)
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的
最值
【分析】（1）① ， 和 代入 ，求得 ，配方
，得 ；②求出 ， 解析式 ，根据
，得 ，求出 解析式 ，得 ，解得 ，点A关于点B
的对称点为 ，则 ，同理 得解析式为 ，则 ，解得 ，或
；
（2） 和 代入 ，求得 ，得 ， ，取点C
关于x轴的对称点 ，向右作线段 ， ，连接 ，则 ，
， ，当N运动到 上时， 取得最小值， ，
，∴解得 ，得 ， ，求出直线 的解
析式 ，当 时， ，得 ，解得 ．【详解】（1）解：① ， 和 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ ，
设 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴
∵ ，
∴ ，
当点Q在 下面时，
设 解析式为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵点Q为 与抛物线的交点，
∴ ，
解得 ，或 （舍去）；
当点Q在 上面时，
作点A关于点B的对称点 ，
则 ，
同理可得 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，或 ；综上， ，或 ，或 ；
（2）解： 和 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
取点C关于x轴的对称点 ，
向右作线段 ，使 ，连接 ，
则 ， ，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
当N运动到 上时， ， 取得最小值，
∵ ， 的最小值为 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ，
∴ ， ，设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
解得， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次
函数和图象和性质，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，两点之间线段最短，是解题的关键．
12．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，已知抛物线 与x轴交于点 ，
B，与y轴交于点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点K是抛物线的对称轴直线l上一动点，点 在直线l左侧的抛物线上，点N在点M的左侧，
已知 为等腰直角三角形，且 ，设点 的横坐标分别为 ，探究 的值是否为
定值，若是，求 的值；若不是，请说明理由；
(3)如图2，点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作 轴，垂足为点D，直线
与直线 交于点E，当点E关于直线 的对称点 落在y轴上时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 的值是定值，定值为
(3) 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、特殊三
角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）将 代入 ，利用待定系数法求解即可；
（2）设直线l与x轴交于点Q,过M作 于H，过N作 于G，先证 ，再
得出 ，根据 化简可得 ，即可得
出结论；
（3）当点P在第二象限和第三象限两种情况，设 ，求出直线 的解析式，证明
，列出等式，求出p值即可．
【详解】（1）将 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
（2）由（1）知抛物线的函数解析式为 ，
∴对称轴l为直线 ，
∵点 的横坐标分别为 ，
∴ ，
设直线l与x轴交于点Q，过M作 于H，过N作 于G，则 ，
∵ 为等腰直角三角形， ,
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的值是定值，定值为 ．
（3）分两种情况，当点P在第二象限时，如图：
设 ，则 ，
∵ ，
设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∵点E关于直线 的对称点 落在y轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或0(舍去)，
∴点P的坐标为 ，
当点P在第三象限时，如图，
同理可得 ，
，
解得 或0(舍去)，
∴点P的坐标为 ，
综上可知，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数，两点间距离公式，
轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
题型二：圆
13．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，点 是圆上一动点，弦 ， 是 的平分线，
．当 （度）时，四边形 的面积最大，最大面积为 ．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推论；先求得 ，再根据已知条件得
，当 最大时，四边形 面积最大，求出 ，从而计算出最大面积；
【详解】 平分 ，
，
，
如图所示，过点 作 于点 ，
，
在 中， ＝30°，则 ，AB＝ ，
，
，
， 为定值，
∴当 最大时，四边形 面积最大，
在 中，AB边不变，其最长的高为过圆心 与AB垂直（即AB的中垂线）与圆交于点 ，此时四边形
面积最大．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ 为等边三角形，
∵ 为圆的直径，
∴ ，
，
，
四边形 的最大面积为 ．
故答案为： ； ．
14．（24-25九年级上·北京·期末）如图所示， AB是 的直径， ， ， 的切线 与
直线 交于点 ，点 是 上一个动点． 过 作 ， 垂足为 ， 则 的最大值为
．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】在 延长线取点 ，使得 ，则有 ，即求 的最大值，然后
求出 ，故有当平移 至 与 相切时，有 最大值，延长 交 于点 ，
证明 为等腰直角三角形，再根据 角所对直角边是斜边的一半，得 ，从而有
，再通过等腰直角三角形的性质可得 ，所以 ，
，最后由勾股定理和线段和差即可求解．
【详解】解：在 延长线取点 ，使得 ，∴ ，即求 的最大值，
∵ ，
∴ ，
∴随着 的运动， 时，
当平移 至 与 相切时，有 最大值，延长 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知
识点的应用是解题的关键．
15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知， 内接于 ，点 是 的中点，连接 、 ．
(1)如图 ，若 ，求证： ；
(2)如图 ，若 平分 的邻补角 ，求证： ；
(3)在 的条件下，若 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) ．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据点 是 的中点，可知 ，又因为 ，根据到线段两端点距离相等的点
在线段的垂直平分线上，可知 ；
（2）根据邻补角定义可知 ，根据圆内接四边形对角互补可知 ，
根据同角的补角相等可知 ，根据角平分线定义可知 ，所以可得 ，
根据在同圆中同弧所对的弦相等可证结论成立；
（3）连接 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 ，连接 ，根据角平分线上的点到角两
边的距离相等可知 ，根据在同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知 ，设
，则 ，根据正弦的定义可知 ，所以可得
，从而可以求出 ，根据 可以求出 ，从而可以求出
，利用勾股定理可以求出 的长．【详解】（1）证明： 点 是 的中点，
，
，
，
是 的垂直平分线，
；
（2）证明： 平分 ，
，
， ，
，
，
，
；
（3）解：连接 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 ，连接 ，
，
， ，
点 是弧 中点，
，
，
，
．
设 ，则 ，
， ，
在 中， ，
，
在 和 中， ，，
，
，
作 于 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一、锐角三角函数，解
决本题的关键是根据圆的基本性质找到角和边之间的相等关系．
16．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 的半径为 ，它的一条
弦 作两次变换：关于点 作中心对称后得到线段 ，关于点 作中心对称后得到线段 ．我们称
点 、 为 的对称点，称线段 为 的对称弦．
(1)如图，点 ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．
在线段AB，AD，CB，CD中， 的对称弦是 ；
若线段 上的点都是 的对称点，求 的取值范围；
(2)若 的对称弦 过点 ，直线 与线段 有公共点， 的取值范围是 ．【答案】(1)① ；②
(2)
【知识点】一次函数与几何综合、切线的性质定理、圆和圆的位置关系、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）①根据新定义可得 的对称弦得满足 ，且 ，且线段 与 有交
点，结合图形，即可求解；
②先固定 ，连接 ，作两次变换：关于点 作中心对称后得到线段 ，关于点 作中心对称后得
到线段 ．得出 在以 为圆心 为半径的圆上运动， 在以 为圆心 为半径的圆上运动；当 运动
时， 始终以 为切点运动，则 的运动轨迹在以 为圆心，半径分别为 和 的圆环内运动
（不包括 上），进而根据线段 上的点都是 的对称点，结合点 ， 的半径为 ，分别求得
临界值，即可求解；
（2）根据题意设 ，由（1）②可得 的对称弦 过点 ，则 在以 为圆心 为半径的圆上
运动， 在以 为圆心 为半径的圆上运动，进而可得直线 与 , 相切时，取得临界值，
解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：①由定义可知， ，且 ，
的对称弦得满足 ，且 ，且线段 与 有交点，AB、CD符合题意；
故答案为：AB、CD．
②依题意， 的半径为 ，弦 的范围为 ， ，
如图所示，先固定 ，连接 ，作两次变换：关于点 作中心对称后得到线段 ，关于点 作中心
对称后得到线段 ．∴ ， ，
又∵
在 中，
∴ ，
∵
则 是 的中位线，
∴
∴ 在以 为圆心 为半径的圆上运动， 在以 为圆心 为半径的圆上运动；
当 运动时， 始终以 为切点运动，则 的运动轨迹在以 为圆心，半径分别为 和 的圆环
内运动；不包括 上，
如图所示阴影部分，
∵线段 上的点都是 的对称点，
∴ 是上述圆环内，
当 在半径为 的圆上时， ，∵ ， ,
∴ ，即 ，
当 与 相切时， ，则
∴
（2）设 ，由（1）②可得 的对称弦 过点 ，则 在以 为圆心 为半径的圆上运动，
在以 为圆心 为半径的圆上运动，如图所示∵直线 与线段 有公共点，
∴直线 与 , 相切时，取得临界值，
如图所示，设直线 与 , 相切时，切点分别为 ，
设直线 ， 分别交 轴于点 ，交 轴分别为 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，则
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
同理可得 ，
根据函数图象可得，直线 与线段 有公共点， 的取值范围是：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何新定义，中心对称，圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，解直角三角形，
理解新定义，得出 的轨迹图形是解题的关键．
题型三：相似三角形
17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中，D、E分别为 边上的点，
与 相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据 ，得到
，即可判断各个选项．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故A正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故B错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故C错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故D错误，不符合题意，
故选：A．
18．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在 中， ， ， 为 上一点，若满足 ，过 作 交 延长线于点 ，则 = ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算
【分析】由 ，得出 ，设 ， ，推出 ，根据
， ，得出 ， ，再分别用勾股定理求出 ， ，
故 ，再运用解直角三角形得出 ， ，根据平行线分线
段成比例，代入 ，化简得出答案即可．
【详解】解：如图，过点 作 垂足为 ，过点 作 垂足为 ，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握知识点、作
辅助线推理、数形结合是解题的关键．
19．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，点E在正方形 的对角线 上， 交 于点
F， 的延长线交 于点P， 交 于点G，连接 ，则下列结论中；① ；②
；③ ；④ ；⑤若 ，则
；⑥若 ，则 ．其中正确的结论有（ ）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】证明A、B、E、F四点共圆，则 ，即可判断①；延长 ，截取 ，
连接 ，证明 ，则 证明 ，得到
，则 ，即可判断②；作 交 的延长线于点H，连接
，证明 ，则 ,得到 ,则 ，即
可判断③；作 ，截取 ，连接 ，证明 ，则
，得到 ，则 ，得到 ，证明
，得到 ，则 ，即可判断④；证明 ，设
，则 ，得到 ，由 得到
，解得 ,则 ，即可判断⑤；证明
，则 ，由②可知， ，则 ,证明 ，
得到 连接 证明 ，则 ，证明
，则 ，得到 ，则 ，即可判断⑥．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
故①正确；
②由①可知， ，
∴A、G、P、D四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
延长 ，截取 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
③作 交 的延长线于点H，连接 ，如图，
由正方形的对称性得到， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,∵ ,
∴ ，
故③正确；
④作 ，截取 ，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
⑤由②可知 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ,
∴ ，
∴ ，
故⑤正确；
⑥∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
由②可知， ，
∴ ,
∵
∴ ，
∴
连接
则 ，∵
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故⑥正确，
综上可知，①②③④⑤⑥均正确．
故选：A
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、等
腰三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，综合性非常强，难度大，添加合适的辅助线是解题的关键．
20．（24-25九年级上·安徽六安·期末）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称
为 “准等腰梯形 ”．如图 1 ，四边形 即为“准等腰梯形 ”，其中 .
(1)在图 1 所示的“准等腰梯形 ” 中，选择一个合适的顶点引一条直线将四边形 分割成一
个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形 （画出一种示意图即可）；
(2)如图 2，在“准等腰梯形 ” 中， ，E 为边 上一点，若 ， ，
求证：
(3)如图 3 ，在由不平行于 的直线截 所得的四边形 中， 与 的平分线交
于点 E，若 ，则四边形 是否为“准等腰梯形”？ 请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是，理由见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用角平分线的性质的运用，全等三角形
的判定及性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质求解是关键．（1）过点A作 交 于点E，则 和四边形 就是所求作的图形；
（2）由 ， ，就可以得出 ，就可以得出 ，就
可以得出结论；
（3）作 于F， 于G， 于H，由角平分线的性质就可以得出 ，就
可以得出 ，就可以得出 ，从而得出 而得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点A作 交 于点E，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
∵ ，AD不平行CE，
∴四边形 是梯形．
∴ 和四边形 就是所求作的图形；
（2）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
（3）解：四边形 是“准等腰梯形”．
理由：作 于F， 于G， 于H，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ；
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴四边形 是“准等腰梯形”．
21．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 坐标为(1,0)，点 坐标为(0,1)， 、
是线段 上的两个动点，且 ，过点 、 分别作 轴和 轴的垂线 、 相交于点 ，
垂足分别为 、 、设 点的坐标为 ，令 ，
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的值；
(3)在点 、 运动过程中，点 也随之运动，探索： 是否为定值？请证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 为定值 ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相
似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据点 、 坐标得出 ，根据等边对等角推出 ，根
据 ，结合三角形外角的性质 ，推出 ，根据
“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明 ；
（2）过点 作 于点 ，根据点 、点 得出 ，推出 ，推出
， ，根据等角对等边得出 ，结合勾股定理求出 ，利用
证明 ，计算角度推出 ，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出 ，则 ，计算求出 的值即可；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由（1）得 ，根据相似三角形
的性质得出 ，则 ，推出 ， ，证明四边形 和四边
形 都是矩形，得出 ， ，根据勾股定理推出 ，
，进一步得出 ，则 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵点 坐标为(1,0)，点 坐标为(0,1)， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
∵点 坐标为(1,0)，点 坐标为(0,1)， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
∵过点 、 分别作 轴和 轴的垂线 、 相交于点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 点的坐标为 ， ；
（3）解： 为定值 ，理由如下，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 坐标为(1,0)，点 坐标为(0,1)，
∴ ，
∴ ，
∵ ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，∴ ， ， ，
∴ ，四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为定值 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定
与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，综合性较强，灵活运用知识点、作辅助线推理证明是解题
的关键．
22．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图①，在 中， ， ， ，动
点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 运动，同时动点 从点 出发，在CB边上以每秒
的速度向点 运动，运动时间为 秒，连接 ．
(1)若 与 相似，求 的值；
(2)求出 是轴对称图形时 的值；
(3)如图②，连接 ，若 垂直 ，直接写出 的值．
【答案】(1) 或
2
(2) 或 或
3
(3)
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三线合一、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综
合
【分析】（ ）由题意得 ， ， ， ，再分 和两种情况解答即可求解；
（ ）当 为等腰三角形时， 是轴对称图形，分 、 、 三种情况，利
用相似三角形的判定和性质解答即可求解；
（ ）解：过 作 于点 ， 交于点 ，先证明 可得 ，
即得 ， ， ，再证明 ，得到 ，据此即可求解；
本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质并运用分类
讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
当 时，有 ，
即 ，
解得 ；
当 时，有 ，
即 ，
解得 ；
综上，若 与 相似， 的值为 或 ；
（2）解：当 为等腰三角形时， 是轴对称图形，分以下三种情况解答：
①当 时，有 ，
解得 ；
②当 时，过点 作 于 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
③当 时，过点 作 于 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
2
综上，当 的值为 或 或 时， 是轴对称图形；
3
（3）解：过 作 于点 ， 交于点 ，如图所示，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
23．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】
（1）如图1，四边形 是矩形，点E是 边上的中点，在 上找一点G，使得 ，连接
并延长交 的延长线于点H，过点E作 的垂线交 于点F．求证：① ；
② ；
【问题应用】
（2）如图2，四边形 是菱形， ，点E、F分别在 、 边上，连接 ，点G是 上
一点，连接 ， ，延长 交 的延长线于点H，M是 上一点，连接 ，
， ， ， ，求 的长度．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 的长度为 ．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的
性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）①先证 ，结合平行线与互余的含义可得结论；
②证明 ，结合矩形性质及①的结论可得 ；
（2）先证 是等边三角形，可得 ， ，易得 ，
，从而可得 ，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题．
【详解】证明：（1）①∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
②∵E是 中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证到 是解决应用的关键．
24．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】
如图，正方形 的边长为8，E是 边的中点，点P在射线 上，过点P作 于点F，连接．
【初步探究】
（1）求证： ；
（2）若点 P在 边上运动，且 ，求 与 的相似比；
【拓展提升】
（3）当点P在射线 上运动时，设 ，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）存在，4或10
【知识点】根据三线合一证明、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的
判定与性质综合
【分析】（1）在 和 中，易得 ， ，故可得 ；
（2）易得正方形 的面积 ，根据 ，可得 ，再求出 ，
，即可求解.
（3）分两种情况讨论： 和 ，根据两种情况列出关系式进而求解．
【详解】（1）证明：在正方形 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴
（2）解：∵正方形 的边长为8，
∴正方形 的面积
，
∴
∵ ，点E 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 与 的相似比为 ．
（3）解：存在实数x，使得以点 P、F、E为顶点的三角形与 相似．
理由如下：如图2，连接 ，
若 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵
∴四边形 为矩形，
∴ ．
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，即 ．
如图3，连接 ．
若 ，则 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴点F为 的中点∴ ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
综上所述，满足条件的x的值为4或10．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的
特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
题型四：旋转
25．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角 与等腰直角 按图1位置放置，已知
， ．
(1)填空： ， ；
(2)现将图1中等腰直角 绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所
示，求 的长度；
(3)当图1中等腰直角 绕点A顺时针方向旋转到满足 时，如图3所示，猜想：
与 的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求
解
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）过 作 于 ，由直角三角形斜边中线的性质得 ，由勾股定理得
，进而可求出 的长度；
（3）连接 交 于F，交 于G，证明 得 ，再证明得 ，进而可求出 ．
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ．
故答案为： ， ；
（2）解：过 作 于 ，
在等腰 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
连接 交 于F，交 于G
在 和 中， ，
∴
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
∴又∵ 且
∴
∵ 是公共边
∴
∴
又∵在等腰 中， 是斜边
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性
质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
26．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动．
(1)提出问题：若 和 都是等边三角形，连接 和 交于点 ，如图1所示，线段 与线段
的数量关系是_______， _______ ；
(2)探究证明：若 和 都是直角三角形， ，连接
和 交于点 ，如图2所示，试猜想 与 的关系，并说明理由；
(3)拓展延伸：
①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若 ，使图2中 固定不动，将 绕顶点
旋转，当点 在同一条直线上时，则 _______；
②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若 是 的中点，使图3中 固定不动，
将 绕顶点 旋转，在旋转过程中，则 的最小值为_______．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)① 或 ；②【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综
合
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得 ，
则有 ，证明 ，得到 ，由三角形内角和定理可
得 ，由此即可求解；
（2）根据题意可得 ，由勾股定理可得 ，则有 ，
可证 ，由相似三角形的性质可得 ， ，在 中，由
三角形内角和定理可得 ，即 ，由此即可求解；
（3）①根据含30°角的直角三角形的性质可得 ， ， ，设
，则 ， ，由 ，运用勾股定理即可求解；
②根据题意可得点 在以点 为圆心，以AB为半径的圆上运动，连接 ，在 中， ，
当点 三点共线时， ，此时线段 的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半
可得 的值，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 和 都是直角三角形， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
综上所述， ；
（3）解：由（2）可得， ，
①如图所示，点 在同一条直线上，
∵ ， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ， ，
当 时， ；当 时， ；
故答案为： 或 ；
②如图所示，
∵ 绕顶点 旋转，
∴点 在以点 为圆心，以AB为半径的圆上运动，连接 ，
在 中， ，
当点 三点共线时， ，此时线段 的值最小，
∵ 和 都是直角三角形， ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和
性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌
握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（24-25九年级上·广东江门·期末）【知识技能】
（1）如图1，在等边三角形 内有一点 ．若点 到顶点 的距离分别为6，10，8，求
的度数．
为了解决本题，我们可以将 绕顶点 逆时针旋转 到 处，此时 ，这样就
可以利用旋转变换，将三条线段 转化到一个三角形中，从而求得 ________°．【构建联系】
利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题．
（2）如图2，在 中， 为 上的点，且 ，求证：
．
【深入探究】
（3）如图3，在等边三角形 中， 为 内一点，连接 ，且
，求 的值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据
旋转的性质求解
【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出 为等边三角形，再根据等边
三角形的性质得出 ， ，然后利用勾股定理的逆定理得出 ，最后
根据角的和差即可得出答案；
（2）把 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接 ，由旋转的性质得 ， ，
， ， ，再利用 证明 ，然后根据全等三角形的
性质及勾股定理即可得证；
（3）将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，由旋转性质得 ， ，
， ， ，则可求得 ， 是等
边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出 、 、 、 四点共线，过 作 交
延长线于H，则 ，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求得 即可求解．
【详解】（1）解：由旋转性质得 ， ， ， ，
为等边三角形
，
为等边三角形
，
为直角三角形，且
；故答案为： ；
（2）证明：如图2，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转的性质得 ， ， ， ，
，
在 和 中
，
由勾股定理得，
即 ；
（3）如图３，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
则 ， ， ， ， ，
， 是等边三角形，
， ，
∵ ，、 、 、 四点共线，
过 作 交 延长线于H，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰直
角三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解
题的关键．
28．（24-25九年级上·天津南开·期末） 在平面直角坐标系中，点 ，点 ，其中 ，
点 在第一象限，且 ．将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 的对应点分别为
，点 恰在 轴上．
(1)如图1，当 时，求点 的坐标和 的长；
(2)如图2，当 时，求点 的坐标；
(3)当点 组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为 ．用含有 的式子表示 ，并写出
的取值范围（此问直接写出结果即可）．
【答案】(1) ，
(2)
(3)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理
解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变且对应线段夹角为旋转角 ，通过设点 的
坐标，利用勾股定理和旋转性质来求解点 的坐标和 的长；
（2）依据旋转的性质，可得 ，再根据边角关系可得 ，求出点 的坐标；（3）根据四边形的面积公式，通过分析 ， ， 时四边形的组成部分来用含 的式子表示面
积．
【详解】（1）解：如图1，过点 作 轴于点 ，
∵ 是由 逆时针旋转 得到，且点 在 轴上，
∴ ，
∴ ，
且 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理可知
解得 ；
∴点 的坐标为 ；
（2）解：如图2，由（1）可知 ，且 ，
∵ 是由 旋转得到，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（3）解：如图， 当 时，绕点 逆时针旋转 得到 ，且 轴， ，
，
轴，
， ，
；
如图，当 时，
绕点 逆时针旋转 得到 ， ， ，
，
；
如图，当 时，
绕点 逆时针旋转 得到 ， ， ，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋
转的性质的性质是解题的关键．29．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，将
射线 绕点A逆时针旋转 ，交 延长线于点G，以线段 为邻边作矩形 ．
(1)如图1，连接 ，求 的度数和 的值；
(2)如图2，当点F在射线 上时，求线段 的长；
(3)如图3，当 时，在平面内有一动点P，满足 ，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角
形的相关计算
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ， ， ，进而根据正切函数得出
，可求出 ，由矩形 和矩形 可得，
，求出 ，证明 ，根据相似三角形的
性质即可得出答案；
（2）过点 作 于点 ，由矩形 和矩形 可得， ，
，证明 ，进而得出 ，设 ，则
，根据 ，得出 ，求出 ，进而可得出答案；
（3）连接 ，先证明 是等边三角形， ，得出 ，
将 绕点 顺时针旋转 ， 与 重合，得到 ，进而求出 ， ，
，得出 ，可得当点 ， ， 三点共线时， 的值最小，此时为
．
【详解】（1）解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
由矩形 和矩形 可得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点 作 于点 ，
由矩形 和矩形 可得， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：连接 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
将 绕点 顺时针旋转 ， 与 重合，得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴当点 ， ， 三点共线时， 的值最小，为 的长，过点 作 ，
则： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，
证明三角形相似，是解题的关键．
题型五：反比例函数
30．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，将直线 绕点A
顺时针旋转 ，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若 ，则k的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、由平行截
线求相关线段的长或比值
【分析】作 轴于H， 交 于E， 轴于F， 轴于N，连接 ，设 交x
轴于M，证明 ，求出 与 的比，再求出 的份数，证明出 与 的比，表示出
的份数，利用 的面积求出x的值，即可求出k．
【详解】解：作 轴于H， 交 于E， 轴于F， 轴于N，连接 ，设
交x轴于M，如图，
，
为等腰直角三角形， ， ，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，，
，即 ，
，
，
，
点C、A在反比例函数上，
，
设 ，
，
，
解得： 或 （舍去），
，
，
即 ，
即 ，
或 （舍去），
， ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三
角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键．
31．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以 为边的正方形的对角线
的交点 都在函数 的图像上，边 都在 轴上，则点
的坐标是 ．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程、点坐标规律探索、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明
【分析】先设出各个正方形的边长，如图所示，表示出正方形 、 、 坐标，再由中点坐标公式求
出 坐标，根据 都在函数 的图像上，代入表达式解一元二次方程即
可求出 、 、 坐标，进而得到 横坐标满足的规律是 ，从而确定答案．
【详解】解：如图所示：
设 ，
，
为正方形对角线的交点，
，
在函数 的图像上，
，解得 或 （负值，舍去），即 ；
设 ，则 ，
，
为正方形对角线的交点，，
在函数 的图像上，
，解得 或 （负值，舍去），即 ；
设 ，则 ，
，
为正方形对角线的交点，
，
在函数 的图像上，
，解得 或 （负值，舍去），即 ；
综上所述， 横坐标满足的规律是 ，即 ，
横坐标为 ，即点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查点的坐标规律，涉及正方形性质、反比例函数图象与性质、中点坐标公式、解一元二次
方程等知识，熟记正方形性质、反比例函数图象与性质、中点坐标公式求出相关点的坐标找出规律是解决
问题的关键．
32．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于
点 和 ．
(1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________．
(2)由图像写出满足 的自变量x的取值范围；
(3)点P是线段AB上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，若 的面积为 ，求 的取值范围．【答案】(1)
(2) 或
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、面积问题(二次函数综合)、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的
综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键．
（1）把点 代入一次函数，把点 代入反比例函数，即可求解；
（2）把点 代入一次函数解析式可得 ，结合图形即可求解；
（3）根据题意，设 ，得到 ，则有 ，
当 ， 的面积最大，最大值为 ，当 时， ，当 时， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ，
∴把点 代入一次函数得， ，
解得， ，
∴一次函数解析式为： ，
把点 代入反比例函数得， ，
解得， ，
∴反比例函数解析式为： ，
故答案为： ；
（2）解：把点 代入一次函数得， ，
解得， ，
∴ ，
∴由图形可得，当 或 时， ，
∴满足 的自变量x的取值范围为： 或 ；
（3）解：∵点P是线段AB上一点，
∴设 ，
∴ ，∴ ，
∴当 ， 的面积最大，最大值为 ，
∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ 的取值范围为 ．
33．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，点 坐标
为 ，反比例函数 的图象分别与 ， 交于点 ， ，点 为线段 上的动点，反比例函数
的图象经过点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)将 沿 所在直线翻折得到 ，当点 恰好落在直线 上时，求 的值；
(3)当点 为线段 中点时，将 绕点 旋转得到 ，其中 ， 的对应点分别为 ， ，当
时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为 或
【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质
综合【分析】（1）根据反比例函数 的图象分别与AB， 交于点 ， ，求得 的坐标，然后待定
系数法求解析式即可；
（2）连接 交 于点 ，求得直线 的解析式为 ，则 DE，根据翻折的性质
可得， ， ，根据点 、 分别为AD、 的中点，建立方程，解方程求解即可；
（3）①如图 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，
，根据相似三角形的性质求得 ， ，根据 即可求得 的坐标，
②如图 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，方法同①，根据 即可求
得 的坐标．
【详解】（1）解： 反比例函数 的图象分别与AB， 交于点 ， ，
， ， ， )，
设直线DE的函数表达式为 ，
则 ，解得： ，
直线DE的函数表达式为 ；
（2）如图 ，连接 交 于点 ，
反比例函数 的图象交AB于点 ，交 于点 ，
， ， ， )，
， ，设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
DE，
将 沿 所在直线翻折得到 ，
， ，
，
点 、 分别为AD、 的中点，
，解得： ；
（3）①如图 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
DE， DE，点 为线段AD中点
， ， ，
在 中， ，
由旋转得： ，
， ， ， ，
，
，，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
；
②如图 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
， DE，，
，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
；
综上，点 的坐标为 或 )．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形
的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
题型六：最值问题
34．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图， 是线段 上的一动点（不与点 重合），分别以
为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ．若 ，则四边形 面积的
最小值是 ．【答案】
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，过 作 于
，过 作 于 ，由等边三角形的性质求出 ，设 ，则
，结合解直角三角形求出 ，再根据二次函数的最值求解即可，熟
练掌握二次函数的性质并能根据题意求出 是解决此题的关键．
【详解】解：过 作 于,过 作 于 ，如图，
和 是等边三角形，
， ，
，
设 ，则 ，
，
根据勾股定理得 ，
，
，
，，
当 时，四边形 面积的最小值是 ，
故答案为： ．
35．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于B、
C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为 的圆上，则
的最小值是 ．
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求一点到圆上点距离的最值、坐标与
图形变化——轴对称
【分析】先求得点A、B、C、D的坐标，作点D关于y轴的对称点，连接 交y轴的交点E，交圆C于
点F，则 为最小值，求解 即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
∴ ，
令 ，由 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，
∴ ，
作点D关于y轴的对称点H，连接 交y轴的交点E，交圆C于点F，则 ， ，∴ 为最小值，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质、两点距离坐标公式、最短路径问
题，熟练掌握轴对称性质和圆的性质确定最短路径问题是解答的关键．
36．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系 中的 ，点 ，点 ，给出如下定义：线段
为⊙ 的弦，点 是弦 上任意一点．若 ，则称点 是点 关于 的 倍关联点．
已知， 的半径为2，点 的坐标为 ．
(1)在点 ， ， 中，是点 关于 的2倍关联点的是 ；
(2) 在直线 上，若 是点 关于⊙ 的2倍关联点，直接写出 的取值范围；
(3) 与 轴正半轴交于点 ，对于线段 上任意一点 ，在 上都存在点 ，使得点 是点
关于 的 倍关联点，直接写出 的最大值和最小值．
【答案】(1) 、 ；
(2) ；
(3)最小值是1，最大值是 ．
【知识点】一次函数与几何综合、判断点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形
的相关计算
【分析】（1）根据新定义可知， ，所以 是 的中点，连接 ，根据垂径定理可知，，据此判断可得出结果；
（2）可推出点 在以 为直径的圆 上运动，当直线 于 相切于点 时，设直线交 轴于
，交 轴于 ，解 求得 ，进而得出 ，解 求得结果，当直线 于
相切于点 时，设直线交 轴于 ，交 轴于 ，同样的方法得出结果；
（3）根据 ， ，可求得 的最小值是 ，此时点 在 点或 点处， ；连接 ，
，可得出 ，从而 ，进而得到 ，从而得到
，进一步得出结果．
【详解】（1）如图，
图 中，
∵ ， ，则 应为 ，但此时 不在圆 上，故 点不是点 关于⊙ 的 倍关联点，
图 中，
∵ ， ，则 在圆上，故点 是点 关于⊙ 的 倍关联点，
图 ，
连接 ，作 于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是点 关于⊙ 的 倍关联点．
故答案为 、 ．
（2）如图 ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆 上运动，
当直线 于⊙ 相切于点 时，设直线交 轴于 ，交 轴于 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当直线 于⊙ 相切于点 时，设直线交 轴于 ，交 轴于 ，
连接 ，
可得 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ ， ，
∴ 的最小值是 ，
当点 在 点或 点时， ，
如图 ，
连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，即点 是 的中点， 最大，当 ， 最小，此时
，
此时 ，
综上所述， 的最小值是 ，最大值时 ．【点睛】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数的图像和性质等知识，解决问题的关
键是根据新定义转化题意．
37．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 ，且
，抛物线 图象经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线 下方的抛物线上的一个动点，作 于点D，当 的值最大时，求此时点P的
坐标及 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 的最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据 ，即可求解；
（2）设抛物线的表达式为： ，再把点 代入，即可求解；
（3）先求出直线 的表达式，然后过点P作y轴的平行线交 于点H，根据 ，可得
，设点 ，则点 ，可得 的长，再根据二次函数的性质，即可求
解．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 ；
（2）解：设抛物线的表达式为： ，
把点 代入得： ，
解得： ，故抛物线的表达式为： ；
（3）解：∵直线 过点 ，
∴可设其函数表达式为： ，
将点 代入得：
解得： ，
故直线 的表达式为： ，
过点P作y轴的平行线交 于点H，
∵ ，
，
∵ 轴，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 有最大值，当 时，其最大值为 ，
此时点 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，
其中（3），用函数关系表示 ，是本题解题的关键
38．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小星在学习北师大版数学教材九年级上册第26页第6题时，设计
了如下“教材迁移”为主题的问题，请你解答．(1)课本再现
如图（1），四边形 是一个正方形，E是 延长线上一点，且 ，则 的度数为 ；
(2)变式探究
如图（2），将（1）中的 沿 折叠，得到 ，延长 交 于点F，若 ，求 的长；
(3)延伸拓展
如图（3），当点 在射线 上运动时，把（2）中的正方形 变为矩形 ，且 ，
，连接 ， 与 交于点 ，连接 ．探究：当 的长为多少时，D，P两点间的距离最
短？并求出最短距离．
【答案】(1)
(2) ；
(3)当 的长为 时，D，P两点间的距离最短，最短距离为1．
【知识点】勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点
的最值问题
【分析】（1）根据正方形的性质，得到 ，推出 ，由
，得到 ，推出 即可得出结果；
（2）根据正方形的性质，得到 ，求出 ，进而得到 ，由折叠的性
质得到 ， ，再根据（1）中 ，得到 ，
进而得到 ，利用勾股定理求出 ，由 即可求解；
（3）由折叠的性质，得到 ，即点P在以 为直径的圆上运动，设 的中点为Q，连接 ，
则当点P在 上时，D，P两点间的距离最短，设 交 于点G，证明 ，得到
，据此计算即可得出结论．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，，
故答案为： ；
（2）解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
由折叠的性质得到 ， ，
由（1）知 ，
，
，
，
；
（3）解：由折叠知 ，
，
点P在以 为直径的圆上运动，
设 的中点为Q，连接 ，则当点P在 上时，D，P两点间的距离最短，设 交 于点G，如图，
，
，
设 交 于点G．
，
，
又 ，
，
，，
，
，即 ，
，
故当 的长为 时，D，P两点间的距离最短，最短距离为1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与
性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键．
