文档内容
专题 06 等腰三角形的性质与判定的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长.............................................................................................2
类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数.............................................................................................4
类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题.........................................................................................8
类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明.......................................................................................12
类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题...................................................................................................15
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................20
解题知识必备
1.等腰三角形的有关定义
有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰
的夹角叫做底角.
(1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
(2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶
角还是底角,需要分类讨论.
2.等腰三角形的性质
(1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
应用模式:在△ABC中, AB=AC.∠B=∠C.
①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②
应用这个性质时,必须在同-一个三角形中.
3.等腰三角形的判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形.
(2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证
明一个三角形是等腰三角形的常用方法.
压轴题型讲练
类型一、根据等腰三角形的定义求第三边或周长
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的
周长为 ．【答案】10或11
【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义
【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，由于未说明两边哪个是腰，故分情况讨论，熟
记等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：等腰三角形的腰长为3，底为4时，能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为： ，
等腰三角形的腰长为4时，底为3时，能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为： ，
故答案为：10或11．
【变式训练1】（23-24七年级下·重庆·期末）已知一个等腰三角形的两边a，b满足 ，
则此三角形周长为 ．
【答案】14
【知识点】绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，根据非负性求出 的值，等腰三角形的定义分情况讨论
求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 为腰长时， ，不能构成三角形，不符合题意；
∴ 为腰长，
∴三角形周长为 ；
故答案为：14．
【变式训练2】（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是 ，另一边长是10，则该等
腰三角形的周长是 ．
（2）若等腰三角形的周长是 ，则它的腰长 的取值范围是 ．
【答案】 25
【知识点】一元一次不等式组应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是：
（1）分三边为5，5，10；10，10，5两种情况讨论，即可求解；
（2）先求出底边长为 ，然后根据三角形三边关系构造不等式组求解即可．
【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时，
∵ ，
∴此三角形不存在；
当等腰三角形三边为10，10，5时，
∵ ，∴此三角形存在，
∴改等腰三角形的周长为 ，
故答案为：25；
（2）∵等腰三角形的周长是 ，腰长为 ，
∴底边长为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角
形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ．
【答案】 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题
是关键．设等腰 底边 长为 ，则腰长为 ，根据两个三角形的周长的差是4，分两种情况分
别求解即可．
【详解】解：设等腰 底边 长为 ，则腰长为 ，
是腰 上的中线，
，
与 的周长的差是4，
当 的周长 的周长 时，
则 ，
，解得： ；
当 的周长 的周长 时，
则 ，
，解得： ，
等腰三角形底边长为 或 ，
故答案为： 或 ．类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数
例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为 ，则这个等腰三角形的底角的度
数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确 的角是等腰三角形的底角
还是顶角，故应分 的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
①当 的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数 ；
②当 的角为等腰三角形的底角时，其底角为 ，
故它的底角度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是 ，则它顶角的
度数为 ．
【答案】30°或
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为 ，根
据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键
【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为 ，
当顶角度数为 时，可得 ，
解得 ，
∴顶角的度数为30°；
当顶角度数为 时，可得 ，
解得
∴顶角度数为
故答案为30°或
【变式训练2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， ， 平分 ，如果射线 上
的点 满足 是等腰三角形， 的度数为 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．
求出 ，根据等腰得出三种情况， ， ， ，根据等腰三角形性质和三角形内
角和定理求出即可．
【详解】解：如图，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
①当E在 时， ，
∵ ，
∴ ，
；
②当E在 点时， ，
则
；
③当E在 时， ，
则
；
故答案为： 或 或 ．
【变式训练3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在 中， 为钝角， ，如果经过
其中一个顶点作一条直线能把 分成两个等腰三角形，那么 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和
三角形内角和定理分多种情况求解即可．
【详解】解：①过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图，
∴ ，
∴ ，
若 是等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设成立；
②过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设成立；
③过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设不成立；④过顶点A作一条直线把 分成两个等腰三角形，等腰三角形为 只能以点C为顶点，如图，
设 ， ，
则 ，
∴ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
解得 ，
故假设成立；
⑤由题得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若过顶点B作直线交 于点M，等腰三角形为 以点C为顶角，如图，
∵ ，故矛盾；
综上所述， 的度数为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题
例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰 的两边长分别是3和9，则这的“优美比” 为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定
义，求解即可．
【详解】解：∵等腰 的两边长分别是3和9，
当腰长为3时， ，不能组成三角形，不符合题意，
∴腰长为9，底边为3，
∴ ；
故答案为： ．
【变式训练1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形
叫做“倍长三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是
腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系
是解题关键．
【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为 ，则 ，可以构成三角形；
当底是腰的2倍时，底边为 ，则 ，不能构成三角形；
故答案为： ．
【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段 的最大值
称为该图形的“通径”．已知 中， ， 是等腰 的最短边，将 沿 翻折得
到 ，四边形 的“通径”是8，将 沿 翻折得到 ，四边形 的“通径”
也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5）
【答案】12或16
【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断 ，再分两种情况进行
讨论：当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，
当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】解：∵将 沿 翻折得到 ，四边形 的“通径”是8，将 沿 翻折得
到 ，四边形 的“通径”也是8，且 为等腰三角形，
∴ ，
当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，连接 ，如图所示：根据折叠可知： 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
当折叠后 ， 分别为四边形 ， 的 “通径”时，如图所示：
∴ ，
∴ ；
∵ 为等腰 的最短边，
∴ 不可能是“通径”．
综上分析可知： 或16．
故答案为：12或16．
【变式训练3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此
三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割
线”，在 中， ，若存在过点C的“钻石分割线”，使 是“钻石三角形”，则满
足条件的 的度数为 ．
【答案】 或 或 或【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键
是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当 ， 时，当 ， 时，当
， 时，当 ， 时，当 ， 时，分别画出图形，求出结
果即可．
【详解】解：当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时 ．
当 ， 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时 ．
综上分析可知： 的度数为： 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明
例题：如图，点 ， 在 的边 上， ，(1)若 求 的度数；
(2)求证：
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
（2）过点 作 于 .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【变式训练1】如图，在 中， ， 平分 并交 于点 ，则
．
【答案】10
【详解】解： ， 平分 ，
，
，
故答案为：10．
【变式训练2】如图，在 中， ， ， 是 边上的高．线段 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，连接 ．
(1)试问：线段 与 的长相等吗？请说明理由；
(2)求 的度数．
【详解】（1）解：线段 与 的长相等，理由如下：
连接 ，如图所示：
∵ ， 是 边上的高，
∴ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∵点 在 上，
∴ ，
又∵线段 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
【变式训练3】如图，点D、E在 的 边上， ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 于点 ，利用等腰三角形三线合一的性质得到 ,相减后即可得
到正确的结论.
（2）由等腰三角形三线合一的性质得到 ， ，即可得到 ，设
，根据三角形的内角和定理可得 ，解题即可．
【详解】（1）过点 作 于 .
∵ .
∴ ,
∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
根据三角形的内角和可得 ，
解得： ，
∴ ，
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一
是解答此题的关键．类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题
例题：如图，在 中， ，D是 边的中点，连接 ， 平分 交 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点E作 交 于点F，求证： 是等腰三角形．
(3)若 平分 的周长， 的周长为15，求 的周长．
【详解】（1）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
， 为 的中点，
，
，
∴ ；
（2）证明： 平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
是等腰三角形；
（3）解： 的周长为15，
，
，
，
即 ，
平分 的周长，
，
的周长 ．
【变式训练1】如图，在 中， ，D为 延长线上一点， 于点E，交 于点F．(1)求证： 是等腰三角形
(2)若 ，求线段 的长．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式训练2】如图，在 中， ， ，分别交 、 于点 、 ，点 在 的延
长线上，且 ，
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 ，当 ， ， 的周长为 时，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质得到 ，然后推出 ， ，结合已知条件，得
到结论．
（2）根据等腰三角形的三线合一，得到 ，根据 的周长 ，利用已
知条件，求出答案．
【详解】（1）证明：根据题意得：
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：如图，连接 ，
当 时，
，
，
的周长 ， ， ，
的周长 的周长 ．
【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在 中， ， 平
分 ， 平分 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则图中共有 个等腰
三角形； 与 、 之间的数量关系是 ， 的周长是（2）如图2，若将（1）中“ 中， ”改为“若 为不等边三角形， ，
”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形； 与 、 之间的数量关系是什么？证明
你的结论，并求出 的周长
（3）已知：如图3， 在 外， ，且 平分 ， 平分 的外角 ，过点
作 ，分别交 、 于 、 两点，则 与 、 之间又有何数量关系呢？直接写出结
论不证明．
【答案】（1）5； ；20；（2）2； ，周长为18；（3）
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是
解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据两直线平行，内错角相等可得
， ，然后求出 ， ，再根据等角对等边可得
， ，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据两直线平行，内错角相等可得
， ，然后求出 ， ，再根据等角对等边可得
， ，然后解答即可；
（3）由（2）知 ， ，然后利用等量代换即可证明 、 、 有怎样的数量关系．
【详解】解：（1） ．
理由如下：
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
∵ ，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
等腰三角形有 ， ， ， ， 共5个，，
即 ，
的周长 ．
故答案为：5； ；20；
（2） ，
平分 ， 平分 ，
， ，
∵ ，
， ，
， ，
， ，
等腰三角形有 ， ，
，即 ．
可得 的周长为18．
（3） ，
由（1）知 ，
，
，
，
又 ，
．
压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，
再根据三角形内角和 、三角形外角的性质求解．此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为 ，可求
出顶角的度数．
【详解】解：若 是顶角的外角，则顶角 ；
若 是底角的外角，则底角 ，
那么顶角 ．
故它的顶角是 或 ．
故选：C．
2．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图， 中， ， ， 是 边上的中线，
且 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边对等角、三线合一
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角
和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到 ， ，根据三角形内角和定理
计算即可．
【详解】解： ， ，
，
， 是 边上的中线，
，
，
，
，
，
故选：A
3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）四边形 的边长如图所示，对角线 的长度随四边形的形
状的改变而变化，当 为等腰三角形时，对角线 的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．1.5或2【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用三角形三边关系求得 ，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，即 ，
当 时， 为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若 时， 为等腰三角形，且符合题意，
故选：B．
4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试） 如图，在 中， ，高 ，高 交于点
H．若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角
形的性质和判定
【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明
．先由已知得到 ，根据三角形面积求出 ，证明 ，即可求得
继而可得答案．
【详解】解： ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
∵ ，
∴ ，
， ， ，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
故选：B．
二、填空题
5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知一个等腰三角形的一边是6，另一边是8，则这个等腰三角
形的周长是 ．
【答案】 或 /22或20
【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当腰为 时；当腰长为 时；结
合三角形三边关系进行判断能否组成三角形，进而求出周长即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关
键．
【详解】解：当腰为 时，三边长分别为 ， ， ，符合三角形的三边关系，则其周长为 ；
当腰长为 时，三边长分别为 ， ， ，符合三角形的三边关系，则其周长为 ；
综上所述，这个等腰三角形的周长是 或 ，
故答案为： 或 ．
6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 ，则这个
等腰三角形的顶角为 ．
【答案】 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计
算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为 ．另一种情
况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为 ．
【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵ ， ，
∴ ，即顶角的度数为 ．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．则 的周长是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等．首先根据平行线的性质可得
，再根据角平分线的定义可得 ，可得 ，可证得 ；
同理可得 ，根据 的周长公式，求解即可．
【详解】解：∵ ，
，
平分 ，
，
，
，
同理 ，
∵ ， ，
∴ 的周长为：
．
故答案为： ．8．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知 中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”．
如图1， 为“等直三角形”．在图2中， 为“等直三角形”， ，则 的度
数为 ．
【答案】 ， ， ，
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，理解
“等直三角形”定义是本题的关键．分四种情况进行讨论：当 ， 时；当 ，
时；当 ， 时；当 ， 时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当 ， 时，如图所示：
此时 为等腰三角形， 为直角三角形，
∵ ，
又∵ ，
∴ ；
当 ， 时，如图，
此时 为直角三角形， 为等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 ， 时，如图所示：此时 为等腰三角形， 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 ， 时，如图所示：
此时 为直角三角形， 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上分析可知： 的度数为： ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）在等腰 中， ， 边上的中线 把三角形的周
长分成 和 的两部分，求等腰三角形底边的长．
【答案】 或
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系和分类讨论思想是解题
的关键，根据题意由在等腰 中， ， 边上的中线 把三角形的周长分成 和 的
两部分， ， ，然后分别从 与去分析求解即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵ 是 边上的中线，
即
∴ ，
，
若 ，则 ，
又∵ ，
∴联立方程组解得： ， ，
三边能够组成三角形；
若 ，则 ，
又∵ ，
∴联立方程组解得： ， ，
三边能够组成三角形；
∴三角形的底边长为 或 ．
10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ， 的平分线 交
于点 ，过 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)已知 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形
的性质和判定
【分析】（1）根据三角形的内角和求出 ，即可得出结论；
（2）连接 ，证明 垂直平分 ，得到 ，证明 ，得到 ，根据，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ 的平分线 交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线，中垂线的
判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用等角对等边，证明三角形是等腰三角形，是解题的关键．
11．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， ， ，点D在 边
上， 、 关于 所在的直线对称， 的角平分线交 边于点G，连接 ．
(1)求 的度数．
(2)设 ，当 为何值时， 为等腰三角形？【答案】(1) ；
(2) 或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、根据成轴
对称图形的特征进行求解
【分析】（1）先求出 ，再利用轴对称性质得 ，即 ，再证
明 ，继而得到 ；
（2） 为等腰三角形时分三种情况讨论，①当 时，②当 时，③当 时，分别
求出 即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 关于 所在的直线对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵使得 为等腰三角形，分三种情况讨论：
令 与 交点为 ，
，
①当 时，
∴ ，∵ ，
∴在 中： ，
∴ ；
②当 时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中： ，
∴ ；
③当 时，
∴ ，
∴ ，
∴在 中： ，
∴ ；
综上所述：当 或 时， 为等腰三角形．
【点睛】本题考查角平分线定义，轴对称性质，全等三角形判定及性质，等腰三角形性质，外角和定理，
内角和定理等．
12．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点D
从B出发以每秒2个单位的速度在线段 上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速
度在线段 上向点A运动，连接 、 ，设D、E两点运动时间为t秒（ ）．
(1)运动 秒时， ；
(2)运动多少秒时， 能成立，并说明理由；
(3)若 ， ，则 （用含α的式子表示）．
【答案】(1)3
(2)2，理由见解析
(3)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边对
等角
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合
运用．（1）依据 ，可得 ， ，再根据当 ，时， ，可
得 的值；
（2）当 时可得 ，即可证明 ；
（3）依据 ， ， ，即可得到
，再根据 ， ，即可得出 ．
【详解】（1）解：由题可得， ，
， ，
当 时， ，
解得 ，
故答案为：3；
（2）解：运动2秒时， 能成立，理由如下：
当 时， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ；
（3）解：当 时， ，
又 ， ，
，
又 ， ，
．
故答案为： ．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知 平分 的外角 ， 为 上一点，
．
(1)如图 ，求证： ；(2)判断 的形状并证明；
(3)如图 ，过点 作 于点 ，若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 是等腰三角形，理由见解析
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、根据
等角对等边证明边相等
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题；
（2）在射线 上截取 ，连接 ，证明 ，得到 ，再证明 即可；
（3）作 于点E证明 ， 即可．
【详解】（1）如图 ，设 交 于点 ．
， ，
又 ， ，
（2）结论： 是等腰三角形．
理由：在射线 上截取 ，连接 ．
平分 ，
．
在 和 中，
∵ ，
，
， ．
，
，
，
，即 为等腰三角形；（3）如图 ，作 于点G．
平分 ， ， ，
．
在 和 中，
，
．
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
14．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称
这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
(1)如图1， 中， ，线段 的垂直平分线交 于点D，交 于点E．求证： 是
的一条特异线．
(2)如图2，已知 是 的一条特异线，其中 ， 为钝角，求出所有可能的 的度
数．
【答案】(1)见详解
(2) 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得 ，则可得 是等腰三角形．再证 ，则可得 ，进而可得 是等腰三角形，根据异线的定义可证 是 的一条特异线．
（2）如图2中，分三种情形讨论， ①如图，当 ， 时；②如图，当 时；③如图，
当 时，根据等腰三角形性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
是等腰三角形，
∴ 是 的一条特异线．
（2）解：①如图，当 ， ，
则 ，
则 ，
则 （不符合题意，舍去）；
②如图，当 时， ，
则 ，
∵ 是 的一条特异线，
∴只能 ，
，
；③如图，当 时， ，
，
，
∵ 是 的一条特异线，
∴只能 ，
，
，
综上，符合条件的 的度数为 或 ．
【点睛】本题属于创新题目，考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是
理解题意，掌握分类讨论，画出图形，借助于图形解决问题，并熟练利用方程去思考问题是解决问题的关
键．
15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在 中， ， ， 为 边
的中点，点 分别在射线 上，且 ，连接 ．
(1)如图1，当点 分别在边 和 上时，连接 ，
①判断 的形状，并说明理由；
②写出 、 和 的关系，并说明理由；
(2)探究：如图2，当点 分别在边 的延长线上时，写出 、 和 的关系，并说明
理由；
(3)应用：若 ， ，利用上面的结论，直接写出 的面积：______．
【答案】(1)① 是等腰直角三角形，理由见解析； ，理由见解析
(2) ，理由见解析(3)5或17
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角
【分析】本题主要等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，根据图形构造
全等三角形成为解题的关键．
（1）①如图：连接 ，再证明 可得 即可判断 的形状；
②根据 ，再结合图形即可解答；
（2）如图：连接 ，即同（1）可证明 ，根据 的性质结合图形即可解
答；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）解：① 是等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接 ，
在 中， ， 为 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形．
② ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
根据图中所示， ，
∵ 为 边的中点，∴ ，
∴ ．
（2）解： ，理由如下：
如图，连接 ，
在 中， ， 为 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．，
∴ ，
根据图中所示可得： ，
∵ 为 边的中点，
∴ ，
∴ ．
（3）解：①如（1）中结论，
∵ ， ，
∴ ，，
∵ ，
∴ ；
②如（2）中结论，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴
故答案为：5或17．
