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第二十七章 相似（压轴题专练）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt ABC与等腰Rt CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，
∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正△半轴上的点，B△、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是
（ ）
A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）
【答案】A
【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角
形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵等腰Rt ABC与等腰Rt CDE关于原点O成位似关系，
∴△ACB∽△CED， △ △
∵相似比为1：3，
∴ ，即 ，
解得，DE＝6，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝6，
∵BC∥DE，
∴△OCB∽△OED，
∴ ，即 ，
解得OC＝3，
∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，
∴点D的坐标为（9，6），
故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位
似变换的两个图形是相似图形是解题的关键．
2．如图，在 中， 于点 为 的中点，连接 ．有下列四个结论：①
平分 ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和等边对等角，判断①，点 不是 的中点，判断②；过点 作
，利用平行线分线段成比例得到 为梯形的中位线，分别求出 ，判断③；利用
中垂线的判定得到 是 的中垂线，进而得到 ，推出 ，进而得到
，判断④．
【详解】∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；故①正确，
∵ ，点 不是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
如图，过点 作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故④错误；
综上：正确是①③；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌
握相关知识点，并灵活运用．本题的综合性强，属于选择题中的压轴题．
3．如图， 的顶点A，B的坐标分别是 ，D均在函数 的图象上，
若 ，则k的值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作 ，垂足为H，连接 ，根据
可证 ，则 ，由题意 ，推出
，由 ，可知点D的横坐标为2，易知C的横坐标为3，设 ，则 ，列出
方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过C，D分别作 轴， 轴，垂足为F、G， 与 相交于点M，过C
点作 ，连接 ，
∵ 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点D的横坐标为2，C的横坐标为3，
设 ，则 ，
∵顶点C、D均在函数 的图象上，
∴ ，
解得 ，
∴
∴ ．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，解
答此题的关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据
面积关系，列方程求解．
4．如图， 中， ，D为 中点，在 的延长线上取一点E，使得 ， 与 交
于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】过点 作 ,交 于点 , 连接 ,则 为 的中点, , 得出 是
的中位线，由三角形中位线定理得出 ，由等腰三角形和三角形的外角性质证出 ,
由 证明 , 得出 ，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出
得出 ，由平行线分线段成比例定理得出 , 因此 , 即
可得出结果.
【详解】过点 作 , 交 于点 , 连接 , 如图所示:
∵ 为 中点, ,
∴ 为 的中点, ,
∴ 是 的中位线,
∴ ,
∵ ,
∴ D,
∵ ,
∴ ,
在 和 中,
，
∴ ,
∴ ,
∵ , 为 中点,∴
∴ ,
，
∴ ,
∵ ,
∴ ,即 ,
∴ ,
∴ ,
，
故选: .
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中
位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识； 本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
5．如图，正方形 的对角线相交于 ，点 ， 分别是边 ， 上的动点（不与点 ， ， 重
合）， ， 分别交 于 ， 两点，且 ，则下列结论：
① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】将 绕点 逆时针旋转 至 ，根据正方形的性质和且 可证明
；根据三角形的内角和得到 ，得到 ，推出 ，
于是得到 ，故②正确；根据相似三角形的判定定理得到 ，根据相似三角形的性质得到 ，推出 是等腰直角三角形，于是得到 ；故③正确；根据全等
三角形的性质得到 ，等量代换得到 是等腰三角形，故④正确．
【详解】解：如图，
将 绕点 逆时针旋转 至 ，
， ， ，
， ，
，
，
，
；故①正确；
， ，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，即 ，
，
，，
是等腰直角三角形，
；故③正确；
在 与 中， ，
，
，
，
，
是等腰三角形，故④正确；
故选： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，
等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．如图，在矩形 中， ，将矩形 对折，得到折痕 ，沿着 折叠，点 的对
应点为 ， 与 的交点为 ；再沿着 折叠，使得 与 重合，折痕为 ，此时点 的对应
点为 .下列结论：① 是直角三角形；② ；③ ；④ ；其中正确的个数
为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到 ， ，于是得到，求得 是直角三角形；设 ，则 ，由相似三角形的
性质可得 ，可求 ，可判断②③；由折叠的性质和平行线的性质可得
，可证 ，则可解答．
【详解】解： 沿着 折叠，点 的对应点为 ，
，
沿着 折叠，使得 与 重合，折痕为 ，
，
，
，
是直角三角形；故①符合题意；
，
设 ，则 ，
将矩形 对折，得到折痕 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，，
，故②符合题意；
，
沿着 折叠，使得 与 重合，
，
，故③符合题意；
，
，
沿着 折叠，使得 与 重合，
，
，
，故④不符合题意；
综上：①②③符合题意，共3个，
故选：B．
【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性
质，矩形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
7．如图，在正方形 的对角线 上取一点E．使得 ，连接 并延长 到F，使
， 与 相交于点H，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由正方形的性质可以得出 ， ，通过 证明
，可以得出 ，即可判断A；在 上取一点G，使 ，连接 ，利用全等三
角形的性质及等边三角形的判定及性质，可利用 证明 ，进而可得 ，利用等量
代换可判断B；过D作 交于M，根据勾股定理求出 ，根据三角形的面积公式即可求出
高 ，根据勾股定理及三角形的面积公式即可求得 ，进而可判断C；解直角三
角形求得 ，根据等边三角形性质得到 ，根据相似三角形的判定得
，进而可得 ，进而可判断D．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
， ， ．
在 和 中，
，
，
，故A正确；
在 上取一点G，使 ，连接 ，
，
．，
，
，
．
，
，
．
，
是等边三角形．
， ，
，
．
， ，
．
在 和 中，
，
，
．
，
，故B正确；
过D作 交于M，
在 中，根据勾股定理求出 ，由面积公式得： ，
∴ ，
，
，
中， ，在 中， ，
在 中， ， 中， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，故C正确；
在 中， ，
是等边三角形，
∴ ，
， ，
．
∴ ，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理、含 角的直
角三角形的性质以及三角形相似性质，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．8．如图，坐标原点 为矩形 的对称中心，顶点 的坐标为 ， 轴，矩形 与矩形
是位似图形，点 为位似中心，点 ， 分别是点 ， 的对应点， ．已知关于 ， 的
二元一次方程 ， 是实数）无解，在以 ， 为坐标（记为 的所有的点中，若有
且只有一个点落在矩形 的边上，则 的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】首先求出点 的坐标为 ，再根据关于 ， 的二元一次方程 ， 是实
数）无解，可得 ，且 ；然后根据以 ， 为坐标（记为 的所有的点中，有且只有一个点
落在矩形 的边上，可得反比例函数 的图象只经过点 或 ；最后判断出反比例函数
的图象经过 点，则 点的坐标是 ，所以 ，据此解答即可．
【详解】解： 矩形 与矩形 是位似图形， ，顶点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
矩形 与矩形 是位似图形，点 是位似中心，矩形 也关于点 成中心对称，
关于 ， 的二元一次方程 ， 是实数）无解，
，且 ，即 ，
矩形 关于点 成中心对称，
反比例函数 的图象关于点 成中心对称，
以 ， 为坐标（记为 的所有的点中，有且只有一个点落在矩形 的边上，
反比例函数 的图象经过 点，
点的坐标是 ，
．
故本题选：D．
【点睛】本题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似
形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标
与图形的性质，要熟练掌握．
9．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点 不与点 、 重合 ， 垂
直 交 于点 ，垂足为点 ，连接 并延长交 于点 ，下面结论正确的个数是（ ）
①若 是 边上的中线，则 ；②若 平分 ，则 ；③若 ，则
；④ 的最小值为 ．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据勾股定理求出 ，根据三角形面积公式求出 ，得 ，据此判断
符合题意；过点 作 交 于点 ，根据题意推出 是 的中位线，则 ，根
据直角三角形的性质及平行线的性质推出 ， ， ，根据相
似三角形的性质即可判断 不符合题意；
当 时，设 ，则 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，
结合题意及直角三角形的性质利用 推出 ，根据全等三角形的性质得到
，根据 ，判断 ，进而推出 ，根据相似三角形的
性质即可判断 不符合题意；根据当 最短时，点 为 的中点，求解即可判断 符合题意；
【详解】解： 是 边上的中线，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
故 正确，符合题意；
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
故 正确，符合题意；
当 时，设 ，则 ，
，
过点 作 交 的延长线于点 ，
，
，
垂直 ，
，，
又 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故 正确，符合题意；
，
点 在以 为直径的圆上，
当 最短时，点 为 的中点，
，
，
的最小值为 ，
故 错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角
形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
10．如图，正方形 中， ，点 是对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，交 于
点 ，连接 ，交 于点 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，交 于点 ，若点
是 的中点，则下列说法：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】题目主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，
勾股定理解三角形等．过点E作 ，交 于点P，交 于点Q，连接 ，利用正方形的性质及
等腰三角形的性质得出 ，结合全等三角形的判定和性质以及勾股定理可判断②；利用勾股定理及
相似三角形的判定和性质可判断①；由勾股定理及翻折的性质可判断③；连接 ，交 于点H，
利用等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理即可判断④．
【详解】解：过点E作 ，交 于点P，交 于点Q，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，F是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
，
在 中，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，
∴ ，
由于翻折，
∴ ，故③正确；
如图所示，连接 ，交 于点H，
，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得： ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
由折叠可得 ，故④正确；
故选：D．
二、填空题
11．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段 为边作正
方形 ，取 的中点E，连接 ，延长 至F，使得 ，以 为边作正方形 ，则点
H即是线段 的黄金分割点．若 ，记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则
与 的和为 ．
【答案】
【分析】根据H是 的黄金分割点求出 ，求出 ， ，得到
，再求出小正方形的边长，求出正方形的面积，再得出答案即可．
【详解】解：∵H是 的黄金分割点，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，点E是线段 的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴ 与 的和为
故填 ．
【点睛】此题综合运用正方形的性质和勾股定理求得线段的长，然后求得线段之间的比，根据黄金分割的
概念进行判断．
12．如图，点E在矩形 边 上，将 沿 翻折，点D恰好落在 上的点F处，若
， ，连接 ，与 交于H点，连接 ，则点F到 的距离为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质，勾股定理，求得 ， ，过点H作 于点G，利用平行线分线段成
比例定理，三角形中位线定理，三角形面积公式计算即可．
【详解】∵点E在矩形 边 上，将 沿 翻折，点D恰好落在 上的点F处，
∴ ， ，设 ，
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 ，
故 ，
设 ，则 ,
由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 ，
故 ，
过点H作 于点G，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设点F到 的距离为h，根据题意，得
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠变换、矩形的性质、勾股定理的运用，平行线分线段成比例定理，三角形中
位线定理，合理利用勾股定理转换，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理是解题关键．
13．在 中， ， ， 是 中点，连接 ，过点 作 交 于
点 ，则 ．
【答案】 /
【分析】作 交 的延长线于 ，令 、 交于点 ，由勾股定理可得 ， ，
由 可得 ，从而得到 ， ，证明
得到 ，从而得到 ，证明 ，得到
，即可得到答案．
【详解】解：如图，作 交 的延长线于 ，令 、 交于点 ，，
，
，
在 中， ， ， 是 中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形面积的计算，
熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
14．数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片 ，其中 ，他们将纸片对折使 、 重
合，展开后得折痕 ，又沿 折叠使点C落在 处，展开后又得到折痕 ，再沿 折叠使点A落在
上的 处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究 的值为 ．
【答案】 /
【分析】设 交 于点H，作 于点L，易得四边形 为矩形，根据折叠的性质，推出
，设设 ，则： ，勾股定理求出 的长，折叠和角平分线的性质定理得
到 ，等积法得到 ，进而得到 ，利用平行线分线段对应成比例以及三角形的中位线定理，得到 ，进而求出 的长，即可得解．
【详解】解：如图，设 交 于点H，作 于点L，由折叠得点A与点B关于直线 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵矩形纸片 ，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，平行线分线段对应成比例，三角形的中位线的定理．解题的关
键是熟练掌握矩形和折叠的性质．
15．如图，半圆 的直径 ，点 为半圆的中点，点 在弦 上，连结 ，作 于点 ，
交 于点 ，连结 ，当 和 相似时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，学会分类讨论是解决问题
的关键，在解题中用方程的思想解决问题．
分两种情形讨论：①当 时，可以证明 ， ， 即可解
决问题．②当 时，可以证明 、 得到 列出方程解决问题．
【详解】解：①如图1，当 时，∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B为半圆的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②如图2，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 由（1）可知：
∴ ，整理得： ，
解得： （或 舍弃）
∴ ．
故答案为 或 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 的坐标为 ，点 为
平面上一动点， 的长度为 ，点 为 的中点，当点 运动时，所有这样的点 组成的图形与线段
有且只有一个公共点，则 的取值应满足的条件是 ．【答案】
【分析】得 ，点 组成的图形为 为半径的圆，进而分类讨论，分别经过点 时，求得 的值，
即可求解．
【详解】解：∵点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 的坐标为
∴ ， ，
依题意，点 组成的图形为 为半径的圆，当此圆经过点 时，
∵ , ，当 点在 上时， 取得最小值，即 取得最小值，如图所示
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，∵ 是 的中点，
∴
∵
∴
∴ ，
∴
∴
∴
即
∴ ，
∴
∴ ，则 ，
∵
∴
∴∴
在 中，
∴
解得： （负值舍去）
同理可得当 在 的延长线上时， 取得最大值时，如图所示，则
即 的最大值为
综上所述， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，垂径定理，找到最大值与最小值点
的位置是解题的关键．
17．如图，正方形 中，以 为边向正方形内部作等边 ，连接 并延长交 于 ，连接
，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有 ．
（填序号）
【答案】①②③④
【分析】由正方形的性质及等边三角形的性质可得 ， ， ，由等腰三
角形的性质及三角形内角和定理可得 ，从而推出
，即可判断①；由三角形外角的定义及性质可得 ，再由
，进行计算即可判断②；由等角对等边及等量代换得出 ，即可判断③；
由相似三角形的判定即可判断④，从而得到答案．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
， ，
， ，，
， ，
，
， ，
，
，故①正确，符合题意；
，
，故②正确，符合题意；
，
，
，故③正确，符合题意；
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定
理、三角形外角的定义及性质、相似三角形的判定．正方形的四边都相等、四个角是直角；等边三角形三
边相等、三个角均为 ；三角形内角和为 ；三角形的外角等于不相邻的两内角之和．熟练掌握以上
知识点是解此题的关键．
18．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角
三角形（ ）拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形
，连接 和 ， 与 、 、 分别相交于点 、 、 ，若 ，则 的
值是 ．【答案】 /
【分析】设 ， ，则 ，证明 ，利用相似三角形的性质求
出 ，可得 ， ，利用勾股定理求出 和 ，进而可得 的长，再证明
，可得 ，然后根据正方形的性质求出 ，即可得出答案．
【详解】解：设 ， ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解
一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明 ，求出 的长是解题的关键．
19．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.
（1）与 位似的三角形是 ；
（2）已知 的面积是3，则 的面积为 ．
【答案】 4
【分析】（1）先根据垂直的定义和直角的性质即可解答；
（2）先说明 ，设 ，则 、 ，由 可得 ；再设，则 、 ，即 ，然后运用三角形面积公式即可解答．
【详解】解：∵在 和 中，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
∵12个相似的直角三角形，
∴ ,
∴ ，
设 ，则 、 ，
∵
∴
再设 ，则 、 ，
∴ ，即
∴
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了位似的判定、直角三角形的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关
知识成为解答本题的关键
20．如上图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点为位似中心的位似图形，
且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上，延长 交射线 于点 ，以 为边作正方形 ；
延长 交射线 于点 ，以 为边作正方形 …，若 ，则正方形
的面积是 ．【答案】
【分析】先求出 ，再证明 ，得到 ， ， ，再证明
，得到 ，从而得到正方形 的面积为 ，正方形 的面积为
，正方形 的面积为 ，……，根据规律即可求解．
【详解】解：∵正方形 与正方形 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
同理可得 ，
∴
∴
∴正方形 的面积为 ，
正方形 的面积为 ，
正方形 的面积为 ，
……
∴正方形 的面积是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似的定义，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，
综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面
积并发现规律是解题关键．
三、解答题
21．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点F为CE中点，连接 、 ．
(1)如图1，当点D在 上，点E在 上，请写出此时线段 、 的关系（不用证明）；
(2)如图2，在（1）的条件下将 绕点A逆时针旋转 时，请证明此时（1）中的结论是否仍然成立；
(3)如图3，在（1）的条件下将 绕点A逆时针旋转 时，连接 ，过点 作 于 点，若， ，求此时线段 的长．
【答案】(1) ， ，理由见解析
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，关键是辅助线“倍长中线”的运用．
（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 ，根据 ，
，得到 ， ．
（2）过点C作 ，交 的延长线于M，连接 ， ，易得 ， ，可证明
，可得 ， ，即 是等腰直角三角形，且 ，则结论成立
（3）连接 并延长交 的延长线于M，连接 ， ，易得 ， ，可证明
，可得 ， ，即 是等腰直角三角形，
且 ，可得 是等腰直角三角形，且 ，则 ，作 ，根据勾股定理依
次可得 ， ， 长度，则 的长度也求出了．
【详解】（1）解： ， ．
理由如下：如图1，
，F是 的中点，
， ，
，
和 是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
如图2：
过点C作 ，交 的延长线于M，连接 、 ，
，
∴ ， ，
是 的中点，
，
,
， ，
和 是等腰直角三角形
， ，
， ，
，
，且 ，
，
， ，
，
且 ，
是等腰直角三角形，又 ，
， ，
（3）如图3
延长 ， 交于M，连接 、 ，
和 是等腰直角三角形，
， ， ，
，
,
，
是 中点，
，
,
，
，
，且 ，
，
， ，
，
，
且 ，
是等腰直角三角形，
又 ，， ，
是等腰直角三角形
又 ，
，
作 交 的延长线于N，
，
且 ，
，
，
，
，
在 中， ，
．
22．某社区广场有一块正方形花园 ，其中 ，E是 的中点．
(1)如图1，经过规划，需要修建两条小道 、 ，M是 上一点，社区为节省修建时间和费用，要使
得所修建的小道 的值最小，试求此时 的长和 的最小值
(2)如图2，社区广泛收集居民建议，重新设计了方案，修建四条小道 、 、 、 ，其中M、N
均在 上，且N在M的右边， ，要使得修建的小道 的值最小，试求此时
的长和 的最小值．
【答案】(1) ，最小值为
(2) ，最小值为【分析】对于（1），作点A关于直线 的对称点 ，可知 ，要求 最小，就是求
最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点 ，M，E三点共线时取最小值，即 ，再根据勾
股定理求出答案；
对于（2），作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，作 ，且 ，连接 ，再根
据勾股定理，求出 ，可得 ，然后确定点 的位置，再延长 交 的延长线于点G，根据勾
股定理求出 ，可得 的最小值，最后根据相似三角形的性质求出 即可．
【详解】（1）如图所示，作点A关于直线 的对称点 ，
∴ ．
要求 最小，就是求 最小，根据“两点之间线段最短”，可知当点 ，M，E三点共线时
取最小值，即 ．
过点E作 ，交 于点F，
根据题意，得 ， ，
根据勾股定理，得 ，
所以 的最小值为 ．
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，解得 ．
当 时， 的最小值为 ．
（2）如图所示．作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，作 ，且 ，连接 ，
根据勾股定理，得 ．
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
要求 最小，就是求 最小，根据“两点之
间线段最短”，可知点E， ，F三点共线时， 最小，即 ．
延长 交 的延长线于点G．
根据勾股定理，得 ，
∴ 的最小值为 ．
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
当 时， 的最小值为 ．【点睛】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的
性质和判定，两点之间线段最短等，勾股定理求线段长的常用方法．
23．已知， 内弦 、 交于点E， ，连接 ．
(1)如图1，求证： 平分 ；
(2)如图2，连接 交 于点G，延长 交 于点F，连接 ，若 ，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点H，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，运用“等边对等角”得到 ，运用“同圆中，弧、弦、圆心角、圆
周角之间的等量关系”得到 ，进而得到 ，证明 ，即可解答；
（2）连接 ，设 ，则 ，利用“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得
到 ，进而得到 ，运用三角形内角和定理得 ，
通过代入计算得出 ，连接 ，证明 ，得出
，进而得到 ；
（3）设 ， ，得到 ， ，连接 ， ，得出 ，
利用“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得出 ，进而得到 ，
，导角得到 ，因此 ，进而证得 ，得到
，计算得出 ， ，进而得到 和 ，设 半径为r，得到
，证明 ，得到 ，计算即可解答．【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
,
，
即 ，
，
，
即 ，
连接 、 ，
在 和 中，
，
，
，
平分 ；
（2）证明：如图，连接 ，设 ，则 ，
，
即
连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
；
（3）解：如图，
设 ，则 ，
，
，
由（2）可知， ，
，
连接 ， ， ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
设 半径为r，
，
，
， ，
，
，
，
，．
【点睛】本题为圆压轴题，考点涉及角平分线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、
相似三角形的判定和性质以及圆的相关定理，综合性强，难度大，将各个知识点融会贯通是解题的关键．
24．已知点P是正方形 的 边上一动点，线段 绕点P顺时针旋转 到 ．
(1)如图1，连接 ， ，若 是等边三角形，求 ；
(2)如图2，连接 ， ， ， ，若点B，E关于 对称，且 ，求 的值；
(3)如图3，连接 ， ，若 ，求证： ．
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）连接 ，先证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ，
，根据直角三角形的性质可得 ，由此即可得；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先证出 ，根据全等三角形的
性质可得 ，根据等腰三角形的三线合一可得 ，设 ，则 ，
，再证出 ，根据相似三角形的性质可得 ， ，设
，则 ，最后在 中，利用勾股定理求出 的值，由此即可得；
（3）延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，设
，则 ， ，先证出 ，根据相
似三角形的性质可得 ，从而可得 ，再证出 ，根据相
似三角形的性质可得 ，从而可得 ，最后根据线段垂直平分线的判定与性质即
可得证．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，∵四边形 是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
由旋转的性质得： ，
在 和 中，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
点 关于 对称，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
设 ，则 ，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，
解得 ， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
即 ，
则 ．
（3）证明：如图3，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
，
设 ，则 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，
解得 ，，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，
解得 ，
，
垂直平分 ，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知
识点，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
25．如图，矩形 ， ， ， ， 分别是线段 、 上的点，且四边形 为矩形．
(1)求出 的长；
(2)若 是等腰三角形时，直接写出 的长；
(3)若 ，求出 的长．
【答案】(1)10(2)4或 或5
(3)
【分析】（1）由于四边形 矩形，利用勾股定理即可求得；
（2） 是等腰三角形时，分三种情况求解，即当 ，可直接求得答案；当 时，利用等
面积法和勾股定理即可求得答案； ，利用等边对等角、等角对等边和三角形内角和定理即可求得
答案；
（3）根据四边形 和 矩形，得到 ， ， ， ，利
用角度代换可得 ，利用矩形对角线的交点为中点，得到 ，等边对等角和三
角形内角和得到 ，则有 ，利用相似性质求得 ．
【详解】（1）解： ∵四边形 矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2） 是等腰三角形，
① ， ，
② ，过点D作 交 于点Q，如图，
则有 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
，
③ ，则有 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
即 是等腰三角形时， 的长为4或 或5．
（3）连接 交点为O，连接 ，如图，
∵四边形 和 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等面积法和三角形内角和定理、相似
三角形的判定和性质，熟练掌握边角之间的关系是解题的关键．
26．已知 中， ， ，E是射线 上一点（不与点B重合），线段 的垂直平分线
与边 交于点D.
(1)点E在边 上，
①如图1，连接 ，如果 平分 ，求 的长；
②如图2，射线 交射线 于点F，设 ， ，求y关于x的的数解析式，并写出定义域.
(2)如果 是直角三角形，求 的长.
【答案】(1)① ②
(2) 或
【分析】（1）①连接 ，在BC上截取 ，连接 ，过A点作 于点N，证得
，然后表示出 长，利用 得到 ，代入计算解题即可；②过
点 作 于点 ，点 作 于点 ，根据相似三角形用 ， 表示得到 ， 和 的长，然后利用 得到关系式；
（2）分 和 两种情况分别画图解题即可．
【详解】（1）①连接 ，在BC上截取 ，连接 ，过A点作 于点N，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵线段 的垂直平分线与边 交于点D，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，即 ；②过点 作 于点 ，点 作 于点 ，
由①得 ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ， ，
又∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∵点 在边 上，
∴ ，
∴
∴定义域为 ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
根据②可得： ， ，
∴
∴ ，
当 时， ，
即 ，解得： （舍去）， ，
当 时，如图，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
综上所述，当 的长为 或 时， 是直角三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握作
辅助线构造相似三角形是解题的关键．
27．【基础巩固】
（1）如图1，在 中，D为 上一点， ，求证： ．
【尝试应用】
（2）如图2，在 中，E为 上一点，F为 延长线上一点， ，若 ， ，
求 的长．
【拓展提高】（3）如图3，在菱形 中，E是 上一点，F是 内一点， ， ，
， ， ，求菱形 的边长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）证明 ，利用相似三角形的性质即可完成；
（2）证明 ，利用相似三角形的性质即可完成；
（3）分别延长 相交于点G，则由菱形的性质及已知可得四边形 为平行四边形，得
， ， ；再由已知易得 ，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（3）如图，分别延长 相交于点G，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题是四边形与相似三角形的综合，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形
的判定与性质等知识，相似三角形的判定与性质是关键．
28．已知 是等边三角形，折叠 折痕交 于点D，交 于点E．
(1)如图1，若点A的对应点F落在 边上，
①求证： ；
②若 ，求 的值；
(2)如图2，若点A的对应点F落在 下方， 交 于点G， 交 于点H， ， 且
，求 的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和折叠的性质可得 ， ，再利用等量代
换可得 ，即可得出结论；
②由①知 ，可得 ，设 ， ，则 ， ，，从而求得 ， ，再由 ，求得 ，从而可得 ，
即可求解；
（2）根据等边三角形的性质和折叠的性质可得 ，从而可得 ，进而证得
，再根据相似三角形的性质可得 ，再由 ，可得
，求得 ，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵ 是等边三角形，
∴ ．
∴ ．
∵ 是由 边翻折得到，
∴ ．
∴ ．
∴ ，且 ．
∴ ．
②解：由①知 ，
∴ ．
设 ， ，则 ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ．
∴ ．∴ ．
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ．
∵ 是由 边翻折得到，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的性质与判定、解分式方程，熟练掌握相
似三角形的性质与判定是解题的关键．
29．问题探究：如图1，若 内一点P满足 ，则点P是 的智慧点，
是智慧角．(1)如图2，点P为等边三角形 的智慧点，则智慧角的度数是________；线段 、 、 的数量关
系是________；
(2)如图3，点 P为等腰直角三角形 （其中 ）的智慧点，且 ．
①请判断 与 是否相似，如果相似给出证明并说明 与 的数量关系；
②若 ， 的面积为 ，求m的值和 的面积．
【答案】(1) ，
(2)①相似，见解析； ；② ，
【分析】（1）证明 ，推出 ，同法可证 ，推出 ，从而
，即可解决问题；
（2）①由 是等腰直角三角形， ，即可得 ，而 ，故 ，
得到 ，即可得解；②过 作 交 的延长线于 ，设 ，由
，知 是等腰直角三角形，即得 ，而
，即可得 ， ， ，故
， ， ，可得
，即可求出 ．
【详解】（1）解：如图：是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
同法可证 ，
，
，
故答案为： ， ；
（2）①如图：
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，即 ，
，
，
∴ ，
；②过 作 交 的延长线于 ，如图：
设 ．
，
而 ，
是等腰直角三角形，
，
由①知： ，
，即 ， ，
， ， ，
，
，
，
，
的面积为 ，
，
解得 或 （舍去），
．
【点睛】本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和
性质、三角形的面积，添加辅助线．
30．如图，在矩形 中， ， ，E是AB上一点， ， 是 上的动点，连接 ，是 上一点且 （ 为常数， ），分别过点 ， 作 ， 的垂线，交点为 ．设
的长为 ， 的长为 ．
(1)若 ， ，则 的值是________．
(2)若 时，求 的最大值．
(3)在点 从点 到点 的整个运动过程中，若线段 上存在唯一的一点 ，求此时 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先证明 ，由相似三角形的性质得到 ，再 与 的值代入得
到关于 的方程，求解即可；
（2）由（1）知： ，当 时，可得到 ，再利用二次函数的最值求解
即可；
（3）根据题意可得 的最大值是 ，再由（1）知： ，根据二次函数的最值可得 ，
当 时， 的最大值是 ，从而得到关于 的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，设 的长为 ， 的长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ；
（2）由（1）知： ，
当 时， ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值， 的最大值是 ．
∴ 的最大值是 ；
（3）∵在点 从点 到点 的整个运动过程中，若线段 上存在唯一的一点 ，
∴ 的最大值是 ，
由（1）知： ，
当 时，即 ， 有最大值，当 时， 的最大值是 ，
∴ ，
∴ ．
∴此时 的值为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值．根据相似三角形
的性质建立 与 的函数关系式是解题的关键．
31．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在 中， ，点 是 边上一点，连接 平分 交 于点 ，点 是
上一点，连接 并延长交 于点 ．求证： ．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题；
实践探究：（2）王老师提出了新问题，求证 ．王老师的问题引发了同学们的思考，并积极地进
行了小组讨论．在展示交流的过程中，小明同学分享了他的思路，他先发现并证明了 和 相等，然后
又构造全等得到了结论．相信你也得到了启发，请你完成证明 ．
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，如图2，当 时，
可以求 的值，请你尝试完成解答．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由四边形的内角和定理可得 ，即可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证
，可得 ， ，由外角的性质可求解；（3）通过证明 ，可得 ，可求 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图1，在 上截取 ，连接 ，延长 至N，使 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴设 则
由（2）可知：
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ,
∴ ．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形
的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为 、 、 ，点D是线段 的一
动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接 过点D作 的垂线交 于E点，设D点的运
动时间为t秒（ ）．(1)当D点到达 的中点时， ________；
(2)请用t的代数式表示 的长度，并求出t为何值时， 有最小值，是多少？
(3)若已知F点在直线 上， ，P为x轴上一点且 于点P，请直接写出满足此条件的P点
坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3) 或 或
【分析】（1）先证明 ，再根据相似三角形的性质即可求解；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出 ，由 ，根
据二次函数的性质即可求解；
（3）分点F在线段 上，在 的延长线上，在 的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即
可求解．
【详解】（1）解：∵A、B、C三点的坐标为 、 、 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴
∴ ，
∴
∵ ，
所以当 时， 有最大值，最大值为2
此时 的值最小，最小值为6；
（3）解：设 ，则 ．
如图，当点F在线段 上时，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当点F在 的延长线上时，即为 ，连接 ， ，
因为 ，
所以 ，
则 ,
即 ，
所以这种情况不符合条件，
当点F在 的延长线上时， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ （如图中的点 ），
即 或
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐
标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键．
33．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
［观察与猜想］
(1)如图①，在正方形 中，点 、 分别是 、 上的两点，连接 、 、 ，则
的值为__________．
(2)如图②，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 、 ，且 ，则
的值为__________________．
[类比探案]
(3)如图③，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交
的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）先根据正方形的性质得到 ， ，再根据直角三角形的性质可得
，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，得到答案．
（2）先根据矩形的性质得到 ，再根据直角三角形的性质得到 ，然后根据相似三角形的判定与性质得到 ．
（3）先根据矩形的判定与性质可得 ， ，再根据直角三角形的性质
得到 ，从而证明三角形相似 ，得到证明 ．
【详解】（1）解：如图，
设 与 的交点为 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
故答案为 ．
（2）如图，设 与 交于点 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为 ．
（3）证明：如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与定理，利用相似三角形的判定与性质，得到相应线段的比例关系是解答本题的关键．
34．在平行四边形 中， ， ，点 、 分别为 、 的两点．
(1)如图1，若 ，且 ，连接 、 ，判断 和 的数量关系及位置关系，并说明
理由；
(2)如图2， ，，求证： ；
(3)如图3，若 ，点 关于 的对称点为点 ，点 为平行四边形 对角线 的中点，
连接 交 于点 ，求 的长．
【答案】(1) ， ；理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质结合 、 、 、 的长度，即可证出 ，
利用全等三角形的性质可得出 、 ，再通过角的计算即可找出 ，即
；
（2）在 上取点 ，使 ，连接 ，则 为等边三角形，根据平行四边形的性质结合角的
计算可找出 、 ，进而可证出 ，根据相似三角形的性质可得出
，等量替换后可得出 ；
（3）连接 、 、 ，设 交 于点 ，利用面积法及勾股定理可求出 的长度，易知
为中位线，根据中位线的性质可得出 的长度及 ，进而可得出 ，利用相似三
角形的性质可得出 ，结合 的长度即可求出 的长度．【详解】（1） ， ．理由如下：
四边形 为平行四边形， ，
．
， ， ，
．
在 和 中，
，
，
， ．
，
，
，即 ．
（2）证明：如图2，在 上取点 ，使 ，连接 ，则 为等边三角形，
，
．
四边形 为平行四边形， ，
，
．
， ，
，
，，
，即 ．
（3）解：连接 、 、 ，设 交 于点 ，如图3所示，则 为线段 的垂直平分线．
，
平行四边形 为矩形，
， ， ，
．
点 为 的中点，点 为 的中点，
，且 ，
，
，
．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四
边形的性质、三角形的面积以及勾股定理，解题的关键是灵活运用一线三等角模型，构造全等三角形与相
似三角形．
35．在四边形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，过点 作 垂直于 ，
垂足为 ，且 ．(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，点 、 、 分别为线段 、 、 的中点，连接 、 、 ．
①求证： ；
②若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等，两三角形相似证明即可；
（2）①如图中，延长 交 于 ，证明四边形 是平行四边形，推出 ，
推出 ；
②如图，延长 ，作 交于点 ，由 ，得出 ，由 为 中位线，得
出 ，同理得出 ，再判断出 为等腰直角三角形，得出 ，最后根据三角形面
积公式即可求出面积．
【详解】（1）证明：∵ 、 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
如图，作 延长线，交 于点 ，
∵点 、 、 分别为线段 、 、 的中点，
∴ 、 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ；
②如图，作 ，交 延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中位线，
∴ ，
同理 ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判
定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是正确寻找相似三角形解决问题．相似三角形的性质：相
似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②
三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
36．如图 ，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 、 分别是线
段 、 上的两个动点，点 从 出发以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，同时 从 出发，以
每秒 个单位的速度向终点 运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 秒．点 为
的中点，连接 、 、 ．
(1)求点 的坐标及 的长度；
(2)当 的面积为 时，求点 的坐标；
(3)如图 分别以 、 为邻边作 ，是否存在时间 ，使得坐标轴刚好将 的面积分为
的两个部分，若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3)存在， ， ．【分析】（ ）首先确定 点坐标及 长度，利用勾股定理求出 ；
（ ）判断出 ，得出比例式 ，表示出 点坐标，利用面积公式列方程解答；
（3）分两种情况，利用同高的两三角形的面积的比等于底的比，求解得出结论；
此题是一次函数综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，平行四边形
的性质，求出点 的坐标是解题的关键.
【详解】（1）令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由运动知， ， ，如图 ，过点 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ；
∴ ，
，
，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 或 ；
（3）连接 ， ，由运动知， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 与 互相平分，
设 ，由（ ）知， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，当 轴将 的面积分为 的两个部分时，如图 ，
∵ 是 的对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴过点 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 轴将 的面积分为 的两个部分时，如图 ，过点 作 轴于 ，同 的方法得， ，
即：坐标轴刚好将 的面积分为 的两个部分时，
秒或 秒．
37．已知：点E、点F分别为直线 、直线 上的点，连接 ， 平分 交直线 于点C，
，
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点H为射线 上一点，连接 ， 平分 交 于点G，过点G作 于点
K，求证： ；
(3)如图3，点D为射线 上一点，连接 ， ， ， ，
， ，求 的值．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的判定进行解答即可；
（2）根据角平分线性质得出 ，设 ， ，根据平行线
的性质得出 ，求出 ，即可
证明结论；
（3）证明 ，得出 ，求出 ，设 ，则 ，求出
，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
即 ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的有关甲，三角形内角和定理的应用，三角形相似的判
定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
38．如图（1）， 中， ，点D是 上一点，连接 ，以 为一边作
，使 ，连接
(1)求证： 与 的数量关系及位置关系．
(2)如图（2）， 中， ，点M是 上一点，点D是 上一点，连接 ，以
为一边作 ，使 ， ，连接 ，求 的度数．
(3)如图（3）， 中， ，点M是 中点．点D是 上一点且
，连接 ，以 为一边作 ，使 ， ，连接 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）先证明 ，即可得 与 的数量关系，然后根据全等三角形的性质证明
即可得 与 的位置关系；
（2）过点A作 交 于点G，过点A作 交 的延长线于点F，
然后把问题转化成与（1）类似的问题，只要证明 即可求出答案；
（3）过A点作 交 于T点，过A点作 交 的延长线于点N，
，根据已知先证明 ，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图，过点A作 交 于点G，过点A作 交 的延长线于点F，
，
∴ ， ，
，
∴ ， ，∴ ，
，
，
，
，
同（1）中原理，可得 ，
即可得到 ，
；
（3）解：过A点作 交 于T点，过A点作 交 的延长线于点N，
，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
，
，∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
∴ ，
，M是 的中点，
，
，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，含有 角的直角三角形
的边长关系，由平行线判断成比例的线段，平行线的性质等知识，（1）中为“手拉手”模型，想到全等
三角形的判定，再根据（1）中的模型作出正确的辅助线构造相似的模型是解题的关键．
39．【性质探究】
如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， 平分 ，交 于点E．作 于点
H，分别交 ， 于点F，G．
（1）直接写 ________（填图中一条线段）
（2）求证： ．
【迁移应用】
（3）记 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求 的值．
【拓展延伸】
（4）若 交射线 于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接 ，当 的面积为矩形面积的 时，请直接写出 的值．
【答案】（1） ，（2）见解析（3） （4） 或
【分析】（1）如图1中，证明 ，利用全等三角形的性质可得结论．
（2）如图2中，过点O作 交 于L，则 ．首先证明 ，再证明
即可解决问题．
（3）如图3中，过点D作 于K，则 ，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（4）设 ， ．分两种情形：①如图4中，连接 ，当点F在线段 上时，点G在 上．
②如图5中，当点F在 的延长线上时，点G在线段 上，连接 ．分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解： ，理由如下：如图1中，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，（2）证明：如图2中，过点O作 交 于L，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图3中，过点D作 于K，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ ．
（4） 或 ；理由如下
解：设 ， ．
①如图4中，连接 ，当点F在线段 上时，点G在 上．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ， ，
∴ ，由题意： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
②如图5中，当点F在 的延长线上时，点G在线段 上，连接 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，由题意： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题是一道综合题，主要涉及到等腰三角形的判定及其性质、全等三角形的判定和性质、三角形
中位线定理、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，矩形的性质等知识点，解题的关键是综合运
用所学到的相关知识．
40．如图，在正方形 中， ， ，将 绕点 旋转，其中边 分别与射线
，直线 交于 两点，边 与射线 交于点 ，连接 ，且 与直线 交于点 ．
(1)如图，当点 在线段 上时．
①求证： ．
②求证： ．
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）①根据旋转后 ，从而证得 ．②由①中全等可得到 ，从而证得 ．
（2）分情况讨论，当点 在线段 上时和当点 在 的延长线上时，作出辅助线，即可求得．
【详解】（1）解：①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②由①可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
（2）解：①当点 在线段 上时，作 于 ， 于 ，如图1．
在 中， ，
∵ ，
∴HQ=QG=AH=AG，设QH=x，
∵ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵由（1）得 ，
∴ ，∴ ．
②当点 在 的延长线上时，作 于 ， 于 ，如图2．
在 中， ，
∵ ，
∴ ，设 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
掌握全等三角形和相似三角形解决问题解题的关键．
41．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，点 在 的延长线上，延长 交 的延长线
于点 ，点 是 的中点， ．(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3) ．
【分析】（1）连接 ，点 是 的中点， 是 的中点，即有 ， ，即可得
到 ．根据 为 的直径，有 ，即 ，
，则有 ，可知 是 的切线；
（2）根据点 是 的中点， 是 的中点，可知 ， ．根据四边形 内接于
，可知 ，即有 ，结论得证；
（3）先证得 ，则有 ，可解得 ， ；在
中，由勾股定理可得 ，解得 ，在 和 中，利用勾股定
理来求 即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如下图，∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）证明：∵点 是 的中点， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（3）解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ；
在 中，由勾股定理可得 ，即 ，
解得 ，则 ，
∵ 是圆 的直径，
∴ ，
∴ ，即 ．
解得 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等
知识，证得 是圆的切线是解答本题的关键．
42．综合应用：
如图，已知四边形 是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中 ， ，点P
以每秒1个单位的速度从点C出发在射线 上运动，连接 ，作 交x轴于点E，连接 交
于点F，设运动时间为t秒．
(1)当 时， ___________°， _____________；
(2)当 时，求t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与 相似．若存在，请求出t的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ；(3)P的坐标为 或 ．
【分析】（1）本题需先求出 ， ，据此求解即可；
（2）本题需先证出 ，求出 ，分两种情况讨论，当点P在原点上方时和当点P在
原点下方时，利用相似三角形的判定和性质即可解决问题；
（3）分两种情形，利用相似三角形的性质分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
为矩形，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：当点P在原点上方时，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
为矩形，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ；
当点P在原点下方时，
同理，求得 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）；
（3）解：存在，
当点P在y轴的正半轴上时，
由（2）得 ，
∵若 ，
∴ ，
∴ ，∴ ， （舍去），
∴P的坐标为 ；
∵若 ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，不存在，舍去；
当点P在y轴的负半轴上时，
若 ，
则有 ，无解，
若 ，则有： ，
解得 或 （舍弃）
∴P的坐标为 ；
∴P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形面积，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，
相似三角形的性质与判定，清晰的分类讨论是解本题的关键．
43．探究式学习是新课程倡导的重要学习方法，某数学兴趣小组拟做以下探究．
如图，在 中， 分别是 上的高，点G在直线 上， ，点F在直线 上，
， 于点N， 于点M．探究线段 之间的数量关系．(1)如图①，当 是锐角三角形时，线段 之间的数量关系是 ．
“善思小组”通过探究后发现解决此问题的方法：过点A作 于点P，利用全等三角形的性质进而
得证．请你写出证明过程．
下面是小强的部分证明过程，仔细阅读并完成相应的任务．
证明：过点A作 于点P． ∴
．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∵ ，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
请你补全余下的证明过程．
(2)通过类比、转化、猜想，探究出：当 是钝角三角形，且 时，如图②线段
之间的数量关系是 ；当 是钝角三角形，且 时，如图③，线段 之间的数量关
系是 ．
(3)“智慧小组”继续对上述问题进行特殊化研究后，提出下面问题请你解答：在（1）和（2）的条件下，
若 ，则 ．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) ；
(3)3或6【分析】（1）过点A作 于点P．可证得 ，得出 ．再证得
，得出 ．即可证得结论；
（2）过点A作 于点P．可证得 ，得出 ．再证得
，得出 ．即可证得结论；
（3）在图③中，过点D作 于H，由 ，可得 ，再由 ，可得
， ，故 ；在图②中，过点D作 于H，由
，可得 ，再由 ，可得 ，故
．
【详解】（1）如图①结论： ；
证明：∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴
∴ ．
在 和 中，，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）如图②结论：BC＝GM﹣FN；
证明：过点A作 于点P．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
如图③结论： ；
证明：过点A作 于点P．
∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
（3）在图③中，过点D作 于H，
由（2）知： ，
∴ ．∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
在图②中，过点D作 于H，
由（2）知： ，
∴ ．
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
故答案为：3或6．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形面积等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
44．问题提出：
（1）如图1，在等腰直角 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，连接 、
，有 ．求证： ；
问题探究
（2）如图2，将矩形 沿 折叠，使点 落在 边的点 处，若 ， ，求 的长；
问题解决
（3）如图3，菱形 是一座避暑山庄的平面示意图，其中 ， 米，现计划在山庄
内修建一个三角形花园 ，点 、 分别在线段 、 上，根据设计要求要使 ，且
，问能否建造出符合要求的三角形花园 ，若能，请找出点 、 的位置（即求出 与
的长），若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）能建造出符合要求的三角形花园 ，此时 、 的长
分别为60米、100米．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由折叠的性质可得： ， ，证明 ，再根据性质即可求解；
（3）在 上截取 ，使得 ，连接 根据菱形的性质可证明 ，得出
，从而求解．
【详解】（1）证明： 在等腰直角 中， ， ，
，
， ，
，
；
（2）解： 四边形 是矩形，
， ， ，由折叠的性质可得： ， ，
，
，
， ，
，
，
，即 ，
，
．
（3）解：能建造出符合要求的三角形花园 ，
理由如下：
在 上截取 ，使得 ，连接 ，如图，
在菱形 中，
，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形 是菱形，
米，
，
米， ，
，
米，
米， （米 ，
综上所述，能建造出符合要求的三角形花园 ，此时 、 的长分别为60米、100米．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，矩形与折叠，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟
练掌握以上知识的应用．
45．如图（1）矩形 中， ， ， ， 将 绕点 从 处开始按顺
时针方向旋转， 交 （或 ）于点 ， 交边 （或 ）于点 ，当 旋转至 处时，
的旋转随即停止.
(1)特殊情形：
如图（2），发现当 过点 时， 也恰好过点 ，此时， __________ （填“ ”或
“∽”）；
(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理
由；
(3)拓展延伸：设 ，当 面积为4.2时，直接写出所对应的 的值.
【答案】(1)∽
(2)是定值，定值为 ；理由见详解(3) 或
【分析】（1）根据矩形的性质找出 ，再通过角的计算得出 ，由此即可得出；
（2）过点 作 于点 ，根据矩形的性质以及角的计算找出 、 ，由
此即可得出 ，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；
（3）分点 在 和 上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面
积法找出 与 之间的函数关系式，令 求出 值，此题得解．
【详解】（1）解：如图2中，
四边形 为矩形，
，
．
，
，
，
，
故答案为：∽．
（2）解：是定值．如图3，过点 作 于点 ，
矩形 中， ，
， ，．
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：分两种情况：
①如图3，当点 在 上时， ．
， ，
．
由（2）可知： ，
，即 ，
．
，
．
当 时， ，
解得： ．
，
；
②如图4，当点 在 上时， ，过点 作 于点 ，， ，
．
同理可证： ，
，即 ，
．
， ，
．
当 时， ，
解得： ．
，
．
综上所述：当点 在 上时， ，当 时， ；当点 在 上时，
，当 时， ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟
练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出 ；（3）分点 在 和 上
两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间
的关系是关键．
46．如图， 是矩形 的边 上的中点， ， ， 于点 ，延长 交 于点 ．(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)若将 以 为旋转中心，按顺时针方向旋转，得到 （其中 与 对应），当 的对应
边 在直线 上时，直线 与直线 交于点 ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明 ， ，从而可得结论；
（2）先利用勾股定理求解 ，再利用 ，可得 ，再利用
求解 ，可得 ，再代入计算可得答案；
（3）分两种情况讨论：如图，当 落在线段 上时，证明 ，如图，当 落在 的延
长线上时，证明 ，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是矩形 的边 上的中点，∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得， ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
∴
（3）如图，当 落在线段 上时，由旋转可知
，
，
，
，
如图，当 落在 的延长线上时，
由旋转可知∴
∴ ，
综上所述： 的长度为 ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判
定与性质，二次根式的混合运算，熟练的证明三角形相似并利用相似三角形的性质解决问题是关键．
47．综合与实践：问题情境
数学活动课上，老师让同学们探讨矩形、正方形的剪拼和平移问题．如图1，四边形 和 都是
正方形纸片，点 在同一条直线上，若沿着 分别将纸片剪开，然后将 平移至
平移至 ．
初步探究
（1）求证：
①四边形 是正方形．
② ．
深入探究（2）如图2，将四边形 和 由正方形都改为矩形，且 ，当四边形 为矩形时，
试探究 和 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） ，理由见解析
【分析】（1）①根据平移的性质得到 ，则可判定四边形 是平行四边形，再证明
，得到 ，利用角的关系证明 ，即可得证；
②利用正方形的性质，证明 ，得到 ，变形即可得到结论；
（2）利用矩形的性质得到 ，再证明 ，得到 ，等量代换得出
，结合 可得结论．
【详解】解：（1）①证明：由平移的性质可知 ，
四边形 是平行四边形．
四边形 和 都是正方形，
．
，
∴ ，
．
，
，
．
，
，
，
四边形 为正方形．
② 四边形 是正方形，
，
．，
，
．
，
，
，
．
（2） ．
四边形 和四边形 都是矩形，
， ，
当四边形 为矩形时， ，
，
，
，
，
．
同（1）可得： ，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质，平移的性质，探究型问题，抓住平移中的不变量．
48．如图1，在三角形 中， ， ，动点 从点 出发，在 边上以每
秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，运动时间为 秒，连接 ．
(1)若 与 相似，求 的值；
(2)直接写出 是轴对称图形时 的值；
(3)如图2，连接 ，若 垂直 ，求 的值．
【答案】(1) 或
(2) 或 或
(3) 的值为
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，分两种情况：① ，② ，根据
相似三角形的性质将 代入计算即可得；
（2）由三角形是轴对称图形可得三角形是等腰三角形，再分三种情况：①当 时，过P作 ，
则 ， ，根据平行线分线段成比例定理得到 ，进而即可求解；②当
时，列出式子即可求解；③当 时，过Q作 于G，则 ，
通过 ，得到比例式进而即可求解；
（3）设AQ，CP交于点N，过P作 于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得 ，
，从而可得 ，再证出 ，根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）解： ， ，
；
分两种情况讨论：
当 时， ，
， ，
，解得， ，
②当 时， ，
，解得， ；
或 时， 相似；
（2）∵ 是轴对称图形，
∴ 是等腰三角形，
①当 时，如图，过P作 ，
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当 时，即 ，解得： ；
③当 时，如图，过Q作 于G，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
解得： ；
综上所述： 是轴对称图形时t的值为： 或 或 ；
（3）过 作 于点 交于点 ，如图所示：
则 ，
，
， ，
，，
，
，
，解得 ，
∴满足条件的 的值为 ．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关
键．
49．数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在 中，点 是边 上一点，将 沿直线 折叠，点 的对应点为 ．
数学思考：
(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点 与点 重合，过点 作 ，与 交于点 ，连接
，则四边形 是 （填菱形，矩形，正方形）
拓展探究：
(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点 为 的中点时，延长 交 于点 ，连接 ．试判断
与 的位置关系，并说明理由；
问题解决：
(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图 ，当点 恰好落在 边上时， ，
， ，求 的长．
【答案】(1)菱形；见解析
(2) ，见解析
(3)【分析】（1）由折叠的性质可知， ，再根据平行线的性质推出
，则 ，进而推出 ，即可证明四边形 是菱形；
（2）连接 ．由折叠的性质可知， ，由
， ，得到 ；由点P是 的中点，得到
，则 ，进一步证明 ，得到 ，证明 ，
得到 ，再根据平角的定义得到 ，则 ；
（3）延长 交 的延长线于点T．设 ．由折叠的性质可知， ，再
证明 ，得到 ，证明 ，得到 ，即可求出
．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
故答案为：菱形．
（2）解：结论： ．
理由：连接 ．由折叠的性质可知， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 交 的延长线于点T．设 ．
由折叠的性质可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
50．如图1， 是 内接三角形，将 绕点A逆时针旋转至 ，其中点D在圆上，点E在
线段 上．
(1)求证： ﹔
(2)如图2，过点 作 分别交 、 于点M、N，交 于点F，连接 ，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若 时，求 的值；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）旋转的性质，得到 ，根据弧，弦，角的关系，得到 ，即可
得证；
（2）证明 ，进而得到 ，旋转得到 ，根据 ，推出
，等量代换，得到 ，即可得证；
（3）等量代换，得到 ，过点 作 ，角平分线的性质得到 ，等积法得到
，连接 ，推出 ， ，将 绕点 旋转至 与 重合得到 ，
证明 三点共线，设 ，则 ，进而得到 ，推出
，证明 ，得到 ，得到 ，再进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵将 绕点A逆时针旋转至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点A逆时针旋转至 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴延长 必经过点 ，
过点 作 ，
∵ ，∴ ，
∴ （同高三角形）
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 绕点 旋转至 与 重合得到 ，则： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查旋转的性质，圆周角定理，弧，弦，角的关系，相似三角形的判定和性质，圆内接四边
形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，进行线段和角的转化．
