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期中卷 A卷
考试范围：反比例函数和相似；考试时间：100分钟；命题人：书生宝剑；满分:120分
第I卷（选择题）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)若△ABC∽△A′B′C′且 ,△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（ ）cm.
A．18 B．20 C． D．
【答案】B
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′，∴ ，
∵△ABC的周长为15cm，∴△A′B′C′的周长为20cm．故选B．
2．(本题3分)如图，AC∥EF∥DB，若AC＝8，BD＝12，则EF＝（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】
利用平行证明三角形相似，根据相似三角形的性质得到 、 ，进而得到 ，代入
已知数据计算即可．
【详解】解：∵AC∥EF，
∴△BEF∽△BCA，
∴ ，
同理， ，
∴ ，
∴ ，
解得，EF＝ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质判定和性质，掌握相似三角形的性质判定定理和性质定理是解题的关键．
3．(本题3分)已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是
A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当 时，y随x的增大而减小 D．当 时，
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、 当 时， ， 此函数图象过点 ，故本选项正确；
B、 ， 此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；
C、 ， 当 时，y随着x的增大而减小，故本选项正确；
D、 当 时， ， 当 时， ，故本选项错误，
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标
特征是解题的关键.4．(本题3分)定义新运算： ，例如： ， ，则y=2⊕x（x≠0）的图象
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题目中的新定义，可以写出y=2⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
【详解】
解：由新定义得：
，
根据反比例函数的图像可知，图像为D．
故选D．
【点睛】
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用新定义写出正确的函数解析式，再根据函数的解
析式确定答案，本题列出来的是反比例函数，所以掌握反比例函数的图像是关键．
5．(本题3分)如图，在 中， ，且 ，则 为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
由△ABC的内角比例关系可求出三个内角度数，然后可求出∠1=∠2=∠3=30°，易得CE⊥AB，根据等腰三
角形三线合一的性质可得DE=EB，过D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE，在△ADF中，
利用30°所对的直角边是斜边的一半易得AD=2DF，即可得出答案.
【详解】
解：∵ ，
∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，可得x+2x+3x=90°，解得x=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90°，
∵∠1=∠2=∠3，∠ACB=90°
∴∠1=∠2=∠3=30°，
在△BCE中， ，
即CE⊥BD，
∵在△BCD中，∠2=∠3即CE平分∠BCD，CE⊥BD，
∴CE平分BD，即DE=EB，
如图所示，过D作DF⊥AC于F，
∵∠1=∠2即CD平分∠ACE，DF⊥AC，DE⊥CE，
∴DF=DE
在Rt△ADF中，∠A=30°，
∴AD=2DF=2DE，
∴
故选B.
【点睛】
本题考查求线段比例，熟练掌握角平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形中30°角所对的
直角边是斜边的一半，综合运用几何知识是解决本题的关键.6．(本题3分)如图，在△ABC中，DE//BC，若AD＝3，BD＝4，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解答此题的关键．
7．(本题3分)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（ ）
A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】
在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF．
故选A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
8．(本题3分)下面四个命题中，假命题是（ ）
A．两角对应相等，两个三角形相似
B．三边对应成比例，两个三角形相似
C．两边对应成比例且其中一边的对角相等，两个三角形相似
D．两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似
【答案】C．
【解析】
试题分析：C项应为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，故C项是错误的．
考点：相似三角形的判定定理．
9．(本题3分)如图， ， ，点 在边 上（与 、 不重合），四边形 为正方
形，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，对于下列结论：① ；
②四边形 是矩形；③ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出
AC＝FG，①正确；
由△AFG≌△DAC，推出四边形BCGF是矩形，②正确；
由矩形的性质和相似三角形的判定定理证出△ACD∽△FEQ，③正确．【详解】
解：①∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中， ，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG．
故正确；
②∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形．
故正确；
③∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ．
故正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等
腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
10．(本题3分)已知反比例函数 ，当 时， 的最大值是4，则当 时， 有（
）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
【答案】B【分析】
由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式
为y＝− ，由此可求解．
【详解】
解：∵当−2≤x≤−1时，y的最大值是4，
∴反比例函数经过第二象限，
∴k＜0，
∴在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，
∴当x＝−1时，y有最大值−k，
∵y的最大值是4，
∴−k＝4，
∴k＝−4，
∴y＝− ，
当x≥2时，y＝− 有最小值−2，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的
关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共40分)
11．(本题4分)如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD．若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则
AC∶BD＝________．
【答案】4∶3【分析】
由圆周角定理,易证得 和 的对应角相等,则可判定 ;根据相似三角形的面积比等于
相似比的平方即可求出AC、BD的比例关系.
【详解】
S ∶S ＝16∶9
△ACP △DBP
AC∶BD＝4∶3.故答案为：4:3.
【点睛】
本题主要考查的是圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，本题关键在于相似关系.
12．(本题4分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝
∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝ .下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE
全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜CE≤6.4.其中正确的结论是______________.(填序
号)
【答案】①、②、③、④．
【解析】试题分析：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正
确，
②AB=AC=10 ， ∠ ADE=∠B=α ， cosα= ， ∴ BC=2ABcosB=2×10× =16 ， ∵ BD=6 ， ∴ DC=10 ，
∴AB=DC，
在△ABD与△DCE中，∠BAD＝∠CDE ∠B＝∠C AB＝DC ∴△ABD≌△DCE（ASA）． 故②正确，
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即
AD⊥BC，
∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα= ，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα= ．AB=10，
∴cosB= = ∴BD= ． 故③错误．
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，∴ ∴
整理得： -16y+64=64-10x， 即 =64-10x， ∴0＜x≤6.4． 故④正确．
考点：（1）、三角形全等；（2）、三角形相似.
13．(本题4分)直线y＝k1x＋b与双曲线y＝ 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b
＜ 的解集是_______．
【答案】0＜x＜1或x＞5．
【分析】
根据函数图象，可得一次函数图象在上方的部分，可得答案
【详解】
解：∵直线y=kx+b与双曲线y= 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，
1
∴不等式kx+b＜ 的解集是0＜x＜1或x＞5．
1
故答案为：0＜x＜1或x＞5．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象在下方的部分是不等式的解集．
14．(本题4分)有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，
使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG=2DE，则矩形的面积为
_____mm2．【答案】800
【分析】
如图，设AH交DG于点K．设DE=x，则DG=2x，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，设AH交DG于点K．设DE=x，则DG=2x，
∵DG∥BC，
四边形 为矩形，
四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x=20，
∴DE=20，DG=40，
∴矩形EFGD的面积为40×20=800mm2
故答案为800．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题．
15．(本题4分)如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝ ，AB⊥AP．如
果OB⊥OP，那么OB的长为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩
形．想办法求出OM、BM即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN
是矩形．
∵∠POB＝∠PAB＝90°，
∴P、O、B、A四点共圆，
∴∠AOB＝∠APB，
∴tan∠AOM＝tan∠APB＝ ＝ ，设AM＝4k，OM＝3k，
在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，
解得k＝ （负根已经舍弃），
∴AM＝ ，OM＝ ，AN＝MN﹣AM＝ ，
∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，
∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，
∴△AMB∽△PNA，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BM＝ ，
∴OB＝OM﹣BM＝1．
故答案为1
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐
角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．
16．(本题4分)如图，A是反比例函数 的图象上一点，过点A作AB∥y轴交反比例函数 的图象交于
点B，已知△OAB的面积为5，则k的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
延长AB，与x轴交于点C，由AB与y轴平行，得到BC垂直于x轴，利用反比例函数k的几何意义表示
出三角形AOC与三角形BOC面积，由三角形AOC面积减去三角形BOC面积表示出三角形AOB面积，将
已知三角形AOB面积代入求出k的值即可．
【详解】
延长BA，与y轴交于点C，∵AB∥x轴，
∴BC⊥y轴，
∵A是反比例函数y= （x＞0）图象上一点，B为反比例函数 （x＞0）的图象上的点，
∴S = ，S = ，
△AOC △BOC
∵S =5，即6- =5，
△AOB
解得：k=2，
故答案为2.
【点睛】
此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
17．(本题4分)如图为三个并列的边长相同的正方形，则 ____________ ．
【答案】90°
【分析】
如图，运用勾股定理分别求出 、 、 的长度（用 表示），求出 与 的三边之比，证
明 ；借助三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】
解：设每个小正方形的边长为 ，
由勾股定理得：
， ，
，
， ， ；
，同理可求：
， ，，
，
；
，且 ，
，
故答案为：90°．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图中相
似三角形，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
18．(本题4分)在阳光下，小刚的影子长为 米，同时测得小刚的头顶距离其影子的顶端 米，若此时小
刚旁边小树的影长为 米，则小树的高为________米．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知小刚、地面和影子组成的三角形是直角三角形，先根据勾股定理求出小刚的身高，然后根据
相似三角形对应边成比例求出小树的高即可．
【详解】
如图，由题意得，A′C′=2.5米，B′C′=2米，
在Rt△A′B′C′中，A′B′= =1.5，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴ ，即 ，
解得：AB=4.5，
即小树高为4.5米，
故答案为4.5．【点睛】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模
型来解决问题．
19．(本题4分)如图，矩形 中， ， 、 分别是 、 的中点， ，若矩形
与矩形 相似，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用矩形相似的性质得到两个矩形长和宽的比例相同，然后求出AD的长.
【详解】
矩形 与矩形 相似
所以DM:AB=MN:BC
即DM:4=4:2DM
解得DM=2 ，所以 的长为 .
【点睛】
本题主要考察矩形相似的性质，利用矩形长宽比例对应相等求解是关键.
20．(本题4分)在平行四边形 中， 为靠近点 的 的三等分点，连结 ，交 于点 ，
，则 为_____．【答案】
【分析】
根据平行四边形的对边相等可得 ，然后结合三等分点求出 ，再根据平行得相似，根
据相似比求出AF、FC的比，然后求解即可．
【详解】
解：在 中， ， ，
为 的三等分
∴ ∽
又 ， ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的边之比等于相似比，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、
FC的比是解题的关键．
三、解答题(共50分)
21．(本题10分)如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M．M，求证：
△AMN∽△DCA．
【答案】证明见解析
【分析】
连接AC，MN，根据垂直的定义得到∠AMC=∠ANC=90°，推出A，M，N，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACM=∠ANM，∠MAN=∠MCN，根据平行线的性质得到∠D=∠MCN，∠DAC=∠ACM，等量代换
得到∠DAC=∠ANM，∠D=∠MAN，于是得到结论．
【详解】
连接AC，MN，如图
∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMC=∠ANC=90°，
∴A，M，N，C四点共圆，
∴∠ACM=∠ANM，∠MAN=∠MCN，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D=∠MCN，∠DAC=∠ACM，
∴∠DAC=∠ANM，∠D=∠MAN，
∴△AMN∽△DCA．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，平行四边形的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的
判定定理是解题的关键．
22．(本题10分)请用学过的方法研究一类新函数 （k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数 的图象（可以不列表）；
（2）对于函数 ，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
（3）函数 的图象可以经过怎样的变化得到函数 的图象？【答案】（1）画图见解析；（2）答案见解析；（3）向左平移2个单位长度
【解析】
试题分析：（1）在平面直角坐标系中画函数 的图象即可；（2）当k>0、k<0时，讨论
x、y的关系；（3）x的值加2，即图象向左平移2个单位长度；
试题解析：
（1）如图所示：
（2）若k>0，
当x<0时，y随x的增大而增大，
当x>0时，y随x的增大而减小；
若k<0，
当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；
（3）函数 的图象向左平移2个单位长度得到函数 的图象．
23．(本题10分)如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝ (x＞0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，
3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲
线于点C，连接CP.
(1)求k1与k2的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)直接写出线段AB扫过的面积．
【答案】（1）k＝2，k＝8；（2） ；（3）22
1 2
【详解】
试题分析：（1）把点P（2，4）代入直线y=kx，把点P（2，4）代入双曲线y= ，可得k 与k 的值；
1 1 2
（2）根据平移的性质，求得C（6， ），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；
（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四
边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．
试题解析：（1）把点P（2，4）代入直线y=kx，可得4=2k，
1 1
∴k=2，
1
把点P（2，4）代入双曲线y= ，可得k=2×4=8；
2
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
如图，延长A'C交x轴于D，由平移可得，A'P=AO=4，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点C的横坐标为2+4=6，
当x=6时，y= = ，即C（6， ），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把P（2，4），C（6， ）代入可得
，解得 ，
∴直线PC的表达式为y=﹣ x+ ；
（3）如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点A'的纵坐标为4，即A'D=4，
如图，过B'作B'E⊥y轴于E，
∵PB'∥y轴，P（2，4），
∴点B'的横坐标为2，即B'E=2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积
=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．考点：1、反比例函数与一次函数的交点问题；2、待定系数法求一次函数解析式；3、坐标与图形变化﹣
平移
24．(本题10分)如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数 （ ）的图象经过点A
（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为 ．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数 的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【详解】
试题分析：（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入 ，可求出k的值；
（2）先分别求出x=1和3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
试题解析：（1）∵A（2，m），∴OB=2，AB=m，∴ = OB•AB= = ，∴ ，∴点A
的坐标为（2， ），把A（2， ）代入 ，得 = ，∴ ；（2）∵当x=1时，y=1；当 时， ，又∵反比例函数 在 时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为 ．
考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数的性质；3．反比例函数图象上点的坐标特征．
25．(本题10分)如图，反比例函数 图象在第一象限的分支上有一点 ，过点C的直线
（ ，b为常数）与x轴交于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）6
【分析】
（1）将点C代到反比例函数解析式中，可求得结果；
（2）求出直线解析式，即可得解；
【详解】
（1）∵点 在反比例函数 图象在第一象限的分支上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）当 时， ，
∴交点坐标为 ，
∵ 和 在直线 上，∴ ，解得 ，
∴ ，
∵ 在直线上，
∴令 ，则 ，
∴ ，
∴S ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确分析计算是解题的关键．
