文档内容
专题 03 二次函数中三角形存在性的三种考法
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一、等腰三角形存在性........................................................................................2
题型二、直角三角形的存在性...................................................................................11
题型三、等腰直角三角形的存在性.................................................................................20
压轴能力测评（5题）...............................................................................................34
一、等腰三角形存在性
根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）
CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2
个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．
1、知识内容：
在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：
（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；
（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）
2、解题思路：
（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
二、直角三角形存在性
在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；
③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定
理。
以函数为背景的直角三角形存在性问题
1、知识内容：
在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出
垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直
角三角形．
2、解题思路：
（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．
题型一、等腰三角形存在性
【例1】．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交
轴于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，点 是 轴上一点，是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
(3)如图 ，点 是抛物线上且在直线 上方的一个动点，试求出 面积的最大值及此时点 的坐标．
【变式1】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线 与x轴于A，B两点，交y轴于
点C， ．(1)直线 过A，C两点，
①如图1，求抛物线的解析式；
②如图1，将直线 向右平移，A的对应点为B，且 ，以 为一腰作等腰三角形 ，求N
的坐标；
(2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线 交y轴于点H，若 ，求a的值．
【变式2】．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，已知 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点 的坐标；
如果不存在，请说明理由；
(3)点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当 面积 最大时，求
点 的坐标及 的最大值．
【变式3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点 ．直线 与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点P的坐标及该面积的
最大值；
(3)在y轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存
在，说明理由．
题型二、直角三角形存在性
【例2】．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上， ，将线段 绕点
O顺时针旋转 到OB的位置，点A的横坐标为方程 的一个解且点A、B在y轴两侧；(1)求经过A、B、C的抛物线的解析式；
(2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使 为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
， ， 两点，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点 ， 的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存
在，请说明理由；
(3)如图，点 是直线 上的一个动点，连接 ， ，是否存在点 使 最小，若存在，请
求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
【变式2】．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线 经过 ， 两点，
与y轴交于点C，连接 ， ， ．(1)求抛物线的表达式；
(2)求证： 平分 ；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 是以 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐
标；若不存在，说明理由．
【变式3】．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y
轴相交于点C，对称轴为直线 ，顶点为D，点B的坐标为 ．(1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______；
(2) 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使 是以 为斜边的直角三角形？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数 的自变量x满足 时，函数y的最小值为 ，求m的值．
题型三、等腰直角三角形的存在性
【例3】．（23-24九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点
A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶
点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】．（23-24九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系 中，二次函数 的
图象与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．(1)写出点 、 、 的坐标；
(2)过动点 作平行于 轴的直线 ，直线 与二次函数 的图象相交于点 ， ．
①若 ，以 为直径作 ，当 与 轴相切时，求 的值；
②直线 上是否存在一点 ，使得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出 的值：若不存在，请
说明理由．
【变式2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ，点 在抛物线上．(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点 在第二象限内，且 的面积为3时，求点 的坐标；
(3)在直线 上是否存在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图
象与x轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)已知 为抛物线上一点， 为抛物线对称轴 上一点，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，
且 ，求出点 的坐标；
(3)如图 ， 为第一象限内抛物线上一点，连接 交 轴于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，在点
运动过程中， 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
1．（23-24九年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，(1)求抛物线的解析式；
(2)平移抛物线，平移后的顶点为 ．
①如果 ，设直线 ，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线不全是上升趋势，求 的取值范围；
②若平移后的新抛物线交 轴于点 ，且 恰好为顶角是 的等腰三角形，求点 的坐标、
2．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是
直线 ，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接 、 、
．求四边形 的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线 上一点，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直
接写出点M的坐标．
3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点 为二次函数 的顶点，直线 与
该二次函数图象交于 两点（点 在 轴上），与二次函数图象的对称轴交于点 ．(1)求 的值及点 坐标；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 的取值范围；
(3)连接 、 ，求 的面积；
(4)在该二次函数的对称轴上是否存在点 ，使得以 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写
出符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使 的值最小，此时P的坐标为 ；
(3)点 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 、点 重合），过点 作 轴于点 ，交直线
于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部分？若能，请求出点 的坐标；
若不能，请说明理由；
(4)若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐标．
5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 的图像与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且 ．(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接 ，作 的角平分线交抛物线于点D，求点D的坐标；
(3)在（2）的情况下，若点E为抛物线的顶点，作直线 ，将抛物线沿直线 平移，点E平移后的对应
点为F，过点D作x轴的垂线与平移后的抛物线交于点G．在平移过程中，是否存在这样的点F，使得由
三个点D、G、F构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
